考点19 相似三角形模型-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版）

这是一份考点19 相似三角形模型-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（原卷版），共17页。试卷主要包含了A字图及其变型“斜A型”，8字图及其变型“蝴蝶型”，一般母子型，一线三等角，手拉手相似模型等内容，欢迎下载使用。
考点19 相似三角形基本模型

相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显，所以被总结了很多的模型，比如：A字图、8字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。而掌握了这类模型的套路后，可以更快的应对相似三角形类的应用。所以考生需要对该考点完全掌握。



一、 A字图及其变型
二、 8字图及其变型
三、 一般母子型
四、 一线三等角
五、 手拉手模型
考向一、A字图及其变型“斜A型”
当∠ADE=∠ACB时
△ADE∽△ACB
性质：

当DE∥BC时
△ADE∽△ABC
性质：





变型



☆：斜A型在圆中的应用：
如图可得：△PAB∽△PCD



1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（　　）

A．1：2：5 B．1：4：25 C．1：3：25 D．1：3：21
3．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 　 　平方厘米．

4．如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么△ABC的面积是 　 　cm2．

5．如图▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC、BD交于点G，EC交AD于F，已知EA：AB＝1：2．
（1）求EF：EC；
（2）求FG：GC．

考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”
当AB∥CD时
△AOB∽△DOC
性质：

当∠A=∠C时
△AJB∽△CJD
性质：




变型



1．如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG：S△DEG等于（　　）

A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2
3．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为 　 　．

4．如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F．
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求的值．

5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
（1）在图①中，的值为 　 　；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

其中：
∠A是公共角
AB是公共边
BD与BC是对应边
当∠ABD=∠ACB时
△ABD∽△ACB
性质：

考向三、一般母子型：




联系应用：
切割线定理：如图，PB为圆O切线，B为切点，
则：△PAB∽△PBC
得：


1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，有下列条件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD•BA．其中能判断△ABC是直角三角形的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 　 　．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．


考向四、一线三等角：
同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）





异侧型




1．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（　　）时，可使AC⊥CE．

A．3 B．2或4 C． D．2或3
2．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正确的结论有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝34，cos∠ABC＝，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF＝EC，交BC的延长线于点F，设BD＝x．
（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；
（2）若CE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD＝∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．



考向五、手拉手相似模型：

模型名称
几何模型
图形特点
具有性质

相似型手拉手

△ABC∽△ADE
A、 D、E逆时针
A、B、C逆时针
连结BD、CE
①△ABD∽△ACE
②△AOB∽△HOC
③旋转角相等
④A、B、C、H四点共圆
“反向”相似型手拉手

△ABC∽△ADE
A、D、E顺时针
A、B、C逆时针
A、D、E`逆时针
作△ADE关于AD对称的△ADE`
性质同上①②③


1．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'＝，则BE的长为（　　）

A．1 B． C． D．2
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　 　．

3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．
①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．



1．（2022秋•泗阳县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC＝6m．则建筑物CD的高是（　　）

A．4m B．9m C．8m D．6m
2．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022秋•海淀区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝　 　．

4．（2022秋•万州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF＜FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为 　 　．

5．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N两点．请完成下列探究：
（1）若AC＝2，则AN•BM的值为 　 　；
（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为 　 　．

6．（2022秋•驻马店期末）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．

7．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长．

8．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．

9．（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．
（1）若CE＝4，求AE的长；
（2）若CD＝6，求AB的长；
（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．

10．（2022•文山州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作⨀O，交CD延长线于点F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）当⨀O与CD相切于点D时，求⨀O的半径；
（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．



1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
3．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
4．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）

A． B． C． D．
5．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
7．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（　　）

A． B． C． D．
8．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　 　．

9．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 　 　．


10．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　 　．

11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．




1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）

A． B． C． D．
2．（2022•南岗区三模）如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
3．（2022•南岗区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交BD于点F，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．（2022•鹿城区校级三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2022•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'＝，则BE的长为（　　）

A．1 B． C． D．2
6．（2022•瓯海区模拟）如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC分别交AG，HG于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG的面积为S，△GDF的面积为9S，则阴影部分的面积为（　　）

A．20S B．21S C．22S D．24S
7．（2022•婺城区校级模拟）如图是一个5×6的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠BPC的值为 　 　．

8．（2022•东城区二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 　 　cm．

9．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为 　 　．

10．（2022•嘉兴一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD：DB＝AE：EC＝2：3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DE＝4，求BC的长．

11．（2022•金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE．
（1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值；
（2）当AD＝2时，
①若△DPE与△BPE相似，求DP的长．
②若△PEF是等腰三角形，求DE的长．