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考点13 线段、角、相交线与平行线-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）
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这是一份考点13 线段、角、相交线与平行线-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版），共49页。试卷主要包含了下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
考点13 线段、角、相交线与平行线
有关线段、角、相交线与平行线的考点，在中考数学中属于基础考点，对其考察的难度及常见度都不大，而且大多都集中在相交线与平行线中。但是该考点是几何图形学习的基础，任何复杂图形都是在该考点只上一步步积累起来的，所以，该考点的性质常融合在其他几何图形的考察之中，对该考点的复习也直接影响后期对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
一、 点与线
二、 角
三、 相交线
四、 平行线
考向一：点与线
点线相关定义及其性质
相关
定义
连接两点间的线段的线段的长度叫做两点间的距离
C是线段AB的中点→
相关
性质
两点确定一条直线
两点之间线段最短
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短
【分析】利用直线、射线、线段的定义判断．
【解答】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确；
过一点能作无数条直线，B选项正确；
射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确；
射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误．
故选：D．
2．已知线段AB＝6cm，在线段AB所在的直线上截取BC＝4cm，点D为BC中点，则AD＝（ ）
A．8cm B．2cm C．4cm或2cm D．4cm或8cm
【分析】由于C点的位置不能确定，故应分点C在点B的左侧或右侧两种情况进行讨论．
【解答】解：当点C在点B的左侧时，如图1所示：
∵AB＝6cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣4＝2（cm）
∵点D为BC中点，
∴CD＝BC＝×4＝2（cm），
∴AD＝AC+CD＝2+2＝4（cm）；
当点C在点B的右侧时，如图2所示；
∵点D为BC中点，
∴BD＝BC＝×4＝2（cm），
∴AD＝AB+BD＝6+2＝8（cm）；
综上所述，AD的长为4cm或8cm．
故选：D．
3．如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 21 条线段．
【分析】根据在一直线上有n点，一共能组成线段的条数的公式：，代入可直接选出答案．
【解答】解：可以根据公式计算，＝21．
故答案为：21．
4．济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．
【解答】解：如图，图中有5个站点．
经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有4+3+2+1＝10（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为2×10＝20（种）．
故选：A．
5．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b﹣c＝ 1 ．
【分析】根据直线、线段、射线的定义判解答即可．
【解答】解：图中只有AD1条直线，故a＝1；
图中共有6条射线，故b＝6；
图中共有6条线段，故c＝6；
∴a+b﹣c＝1+6﹣6＝1，
故答案为：1．
考向二：角
角的定义、性质及其他相关：
定义
角的表示方法
①用三个大写字母表示；②用一个大写字母表示；③用数字或希腊字母并在顶点处加弧线
角平分线
从一个角的顶点引出，将一个角分成两个相等的角的射线
互余
如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角，简称互余
互补
如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角，简称互补
性质
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
角度单位换算
1°=60′， 1′=60 ″，1°=3600″．
1′=°，1″=′
分类
①锐角α：；②直角α：；③钝角α：；④平角α：；⑤周角α：.
1．一副三角板如图所示放置，则∠AOB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，再根据角的和差关系可得∠AOB＝∠1+∠2，进而算出角度．
【解答】解：如图：
根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，
∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，
故选：C．
2．如图所示，将一块直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝22°，那么∠BOD＝（ ）
A．68° B．58° C．78° D．22°
【分析】根据平角的定义和直角的意义，由角的和差关系计算即可求解．
【解答】解：∵∠AOC＝22°，
∴∠BOD＝180°﹣22°﹣90°＝68°．
故选：A．
3．如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝20°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【分析】首先利用已知得出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠BOE＝∠EOC，
∴设∠BOE＝x，则∠COE＝3x，
∵∠DOE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°﹣x，
∴2（60°﹣x）+x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，故①不正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠AOD+∠DOE＝90°，则∠EOC＝∠AOE＝90°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确；
正确的有3个．
故选：B．
4．已知∠2是∠1的余角，且∠1＝35°，则∠2的补角等于（ ）
A．145° B．125° C．115° D．65°
【分析】首先根据余角定义算出∠2的度数，再计算出∠2的补角即可．
【解答】解：∵∠2是∠1的余角，且∠1＝35°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝55°，
∴∠2的补角为：180°﹣55°＝125°．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．52°
【分析】先求出∠DOC、∠BOC的度数，再根据角平分线求得∠AOB，即可求解．
【解答】解：∵，∠BOD＝13°，
∴∠DOC＝3∠BOD＝39°，
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝26°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝65°；
故选：B．
考向三：相交线
相交线相关定义及其性质
相关
定义
点到直线的距离的定义
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
相关
性质
对顶角的性质
对顶角相等
垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
垂线段的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
1．为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，王明设计了如下方案：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数，王明这样做的依据是 对顶角相等 ．
【分析】根据对顶角的性质可得答案．
【解答】解：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数，王明这样做的依据是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°48′，则∠AOE的度数是 50°24' ；∠AOC的补角度数是 129°36' ；与∠AOD相等的角有 ∠BOC和∠BOE ．
【分析】利用角平分线的定义，补角的定义，对顶角的定义进行分析即可．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°48′，
∴∠AOD＝∠BOC，∠AOE＝∠AOC＝∠EOC＝50°24'，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOE+∠DOE＝∠BOD+∠DOE，
即∠AOC＝∠DOE，
∴∠AOC的补角的度数为：180°﹣50°24'＝129°36'．
故答案为：50°24'，129°36'，∠BOC和∠DOE．
3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，那么∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．36° C．20° D．40°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故选：B．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOC＝180°×＝60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
故选：A．
5．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故选：B．
考向四：平行线
一．平行线的性质与判定
判定
1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2.同位角相等，两直线平行
3.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
4.内错角相等，两直线平行
5.同旁内角互补，两直线平行
性质
1.两直线平行，同位角相等
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补
4.经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
二．两平行线间的距离
平行线间的距离处处相等
平行线等积模型
如图：若l1∥l2，A、B在l2上，C、D在l1上；
则有：①；②
三.平移的性质∶
（1）平移不改变图形的形状和大小.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
☆.在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段。
1．如图，∠1＝∠2＝60°，∠3＝76°，则∠4的度数为（ ）
A．102° B．103° C．104° D．105°
【分析】先根据对顶角相等可得∠5＝∠2＝60°，再根据平行线的判定可得a∥b，然后根据平行线的性质即可得．
【解答】解：如图，∵∠2＝60°，
∴∠5＝∠2＝60°，
∵∠1＝60°，
∴∠5＝∠1，
∴a∥b，
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣76°＝104°，
故选：C．
2．如图，∠1＝60°，下列推理正确的是（ ）
①若∠2＝60°，则AB∥CD；②若∠5＝60°，则AB∥CD；
③若∠3＝120°，则AB∥CD；④若∠4＝120°，则AB∥CD．
A．①② B．②④ C．②③④ D．②③
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠2＝60°，不能判定AB∥CD，
故①不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠5＝60°，
∴∠2＝∠5，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
由∠1＝60°，∠3＝120°，不能判定AB∥CD，
故③不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠4＝120°，
∴∠2+∠4＝180°，
∴AB∥CD，
故④符合题意；
故选：B．
3．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为 45° ．
【分析】过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，可得∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，由∠M＝∠N+∠HGN，可得∠HGN＝β﹣α，从而∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝2β+α，又∠BGH+∠GHD＝180°，即知α+β＝45°，故∠MHG＝α+β＝45°．
【解答】解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：
设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，
∴∠AGM＝180°﹣2α，
∵GH平分∠AGM，
∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，
∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，
∵∠M＝∠N+∠HGN，
∴2α+β＝×2α+∠HGN，
∴∠HGN＝β﹣α，
∵HE∥CN，
∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，
∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，
∵AB∥CD，
∴∠BGH+∠GHD＝180°，
∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，
∴α+β＝45°，
∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，
故答案为：45°．
4．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135°或45° ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
当DE∥AC时，如图②，∠CAE＝45°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°或45°．
1．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．
【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
3．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
4．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 135 °．
【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
5．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
6．（2022•台湾）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）．若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
【分析】根据线段的和差定义求解．
【解答】解：该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长＝3×7+（1.6﹣0.4﹣0.5）＝21.7（公尺），
故选：A．
7．（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，
故选：A．
8．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
9．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
10．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．（2022•内蒙古）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
【分析】由邻补角的定义可求得∠3＝33°27'，再由平行线的性质可得∠4＝∠3＝33°27'，利用三角形的外角性质即可求∠2．
【解答】解：如图，
∵∠1＝146°33′，
∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝33°27'，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，
∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．
故选：A．
12．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，
∵∠B＝30°
∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；
故选：C．
13．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
14．（2022•大连）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故选：A．
15．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，
故选：A．
16．（2022•深圳）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【分析】由题意得：∠ACB＝45°，∠F＝30°，利用平行线的性质可求∠DCB＝30°，进而可求解．
【解答】解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，
∵BC∥EF，
∴∠DCB＝∠F＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
17．（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
【分析】根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
故选：C．
18．（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故选：D．
19．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．15°
【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴它的对顶角是120°，
∵a∥b，
∴∠2＝60°．
故选：A．
20．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120° B．122° C．132° D．148°
【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
21．（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
22．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
23．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 25° ．
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
24．（2022•绵阳）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 110° ．
【分析】延长ED交CB的延长线于点G，利用三角形内角和定理可得求出∠E，∠C的度数，再利用平行线的性质可求出∠G的度数，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
1．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；
B、∠1和∠3是同位角，故B正确；
C、∠2和∠3是内错角，故C错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．
故选：B．
2．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
3．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ 90 °．
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
4．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ 40° ．
【分析】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．
【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．
5．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ 120 °．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
6．（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是 30 °．
【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
7．（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1
＝75°﹣25°
＝50°．
故选：D．
8．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【分析】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故选：B．
9．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【分析】由平行的判定求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
10．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．
【解答】解：如图：
∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
11．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（ ）
A．48° B．66° C．72° D．78°
【分析】先根据折叠的性质可得出∠BAD＝∠BAD1，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAD1的度数，最后根据周角是360°可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD1，
∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，
∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，
∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．
故选：C．
12．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
13．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
14．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
15．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
故选：C．
16．（2022•威海）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【分析】由P（0，2）平移得到M（1，4），横坐标加1，纵坐标加2；因此Q（3，0）要平移得到N点，也是横坐标加1，纵坐标加2，得到点的坐标为（4，2）．
【解答】解：如图所示，
∵P（0，2），Q（3，0）M（1，4），
MN∥PQ，
∴N（4，2）．
故选：C．
17．（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（ ）
A．57° B．63° C．67° D．73°
【分析】由AC＝BC，∠C＝120°，可得∠CBA＝30°，再由a∥b，可得∠2＝∠CBA+∠1＝73°．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CBA＝∠CAB＝，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．
故选：D．
18．（2022•娄底）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（ ）
A．20° B．80° C．100° D．120°
【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．
【解答】解：如图，
由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
19．（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
20．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵AB∥ED，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
21．（2022•广元）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：C．
22．（2022•德阳）如图，直线m∥n，∠1＝100°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠5＝100°，再根据三角形的外角性质即可得解．
【解答】解：如图：
∵直线m∥n，∠1＝100°，
∴∠5＝∠1＝100°，
∵∠3＝∠4+∠5，∠4＝∠2＝30°，
∴∠3＝30°+100°＝130°．
故选：C．
23．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是 15° ．
【分析】根据题意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝180°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
故答案为：15°．
24．（2022•镇江）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝ 105 °．
【分析】利用平行和对顶角相等求出∠DOA，根据三角形内角和求出∠D，根据外角性质求出∠1．
【解答】解：如图，设DE交AB于O点，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BOE＝45°，
∴∠DOA＝∠BOE＝45°，
∠D＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠1＝∠D+∠DOA＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
25．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
1．（2022•威县校级模拟）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故选：C．
2．（2022•永年区校级一模）如图1，嘉琪同学的家在A处，书店在B处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助她选择一条最近的路线是（ ）
A．A→C→F→B B．A→C→D→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
【解答】解：根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
故选：A．
3．（2022•建湖县三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
4．（2022•靖西市模拟）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3
【分析】根据1°等于60′，八分化成度，可得答案．
【解答】解：∵12′÷60＝0.2°，
25°12′＝25.2°，
∴∠1＝∠3，
故选：C．
5．（2022•东城区二模）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝30°，则∠AOC的大小为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠BOC＝60°；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝120°．
故选：A．
6．（2022•南海区校级模拟）如图，AB∥CD，BD⊥BC，∠2＝50°，则∠1＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】在△BCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠1的度数．
【解答】解：在△BCD中，BD⊥BC，∠2＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°．
又∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BCD＝40°．
故选：A．
7．（2022•宁波模拟）一副三角板如图方式放置，其中∠E＝∠F＝45°，∠C＝2∠B＝60°，点A，D分别在EF，BC上，AB与ED相交于点G，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．50°
【分析】由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠EAG的度数，结合三角形的外角性质，即可求出∠BGE的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EAG＝∠B＝×60°＝30°．
∵∠BGE是△AEG的外角，
∴∠BGE＝∠E+∠EAG＝45°+30°＝75°．
故选：B．
8．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝35°，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
【分析】由平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵∠C＝35°，
∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝50°﹣35°＝15°，
故选：D．
9．（2022•大名县校级四模）如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠BFE＝∠DEF＝70°，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠DEF＝70°，
∴∠BFE＝∠DEF＝70°，
∵折叠的性质，
∴∠1＝180°﹣2∠BFE＝180°﹣140°＝40°．
故选：C．
10．（2022•定远县模拟）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；
②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；
③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；
④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．
其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①符合题意．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②符合题意．
∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③不符合题意．
由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④符合题意．
故选：B．
11．（2022•利通区校级一模）如图，在平行线a、b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A、B分别在直线a、b上，则∠1+∠2的度数为 90° ．
【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：过点C作CD∥a，
∴∠1＝∠ACD，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
12．（2022•东胜区二模）如图，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（见图中标示），若∠1＝65°，则∠2的度数是 25° ．
【分析】延长BE交CD于F，由AB∥CD知∠1+∠BFC＝180°，据此得出∠BFC＝110°，根据∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF可得答案．
【解答】解：如图，延长BE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠BFC＝180°，
∵∠1＝65°，
∴∠BFC＝115°，
∵∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF，
∴∠2＝∠BFC﹣∠DEF＝115°﹣90°＝25°，
故答案为：25°．
13．（2022•五华区校级模拟）如图，直线EF∥MN，直线BD分别与直线EF，MN交于点D，B，点C在直线EF上，AC⊥BD于点A．若∠ABM＝120°，则∠ACE的度数为 30° ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等先求出∠ADE，然后根据AC⊥BD求出∠CAD＝90°，再根据∠ADE＝∠CAD+∠ACE求解即可．
【解答】解：∵EF∥MN，∠ABM＝120°，
∴∠ADE＝∠ABM＝120°，
∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACE，
∴∠ACE＝∠ADE﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°．
故答案为：30°．
14．（2022•游仙区校级二模）如图，线段AB∥CD，AD与BC相交于点E，∠B﹣∠A＝30°，EM⊥CD于点M，EN平分∠CED交CD于点N，则∠MEN的度数是 15° ．
【分析】利用平行线的性质和三角形的内角和定理先用∠A表示出∠CED，再利用三角形的内角和、角平分线的定义用∠A表示出∠CEN、∠CEM，最后利用角的和差关系求出∠MEN．
【解答】解：∵∠B﹣∠A＝30°，
∴∠B＝30°+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝30°+∠A．
∴∠CED＝∠BEA＝180°﹣∠B﹣∠A
＝180°﹣（30°+∠A）﹣∠A
＝150°﹣2∠A．
∵EN平分∠CED，
∴∠CEN＝∠CED＝75°﹣∠A．
∵EM⊥CD，
∴∠CEM＝90°﹣∠C
＝90°﹣（30°+∠A）
＝60°﹣∠A．
∴∠MEN＝∠CEN﹣∠CEM
＝75°﹣∠A﹣（60°﹣∠A）
＝15°．
故答案为：15°．
15．（2022•江夏区模拟）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE＝150°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若∠F＝40°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠DCE+∠ADC＝180°，根据∠DCE＝150°，求出∠ADC，再根据平行线的性质证得∠BAD＝∠ADC，求出∠BAD即可；
（2）根据外角的性质求出∠ABF度数，再根据内角和定理求出∠FAB的度数，再进一步求出∠FAD，再利用平行线的性质求出∠E即可．
【解答】解：（1）∵CE∥AD，
∴∠DCE+∠ADC＝180°，
∵∠DCE＝150°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC＝30°；
（2）∵AD平分∠BDC，
∴∠BDA＝∠ADC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD+∠BDA＝60°，
∵∠F＝40°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵AD∥EC，
∴∠FAD＝∠E＝110°．
考点13 线段、角、相交线与平行线
有关线段、角、相交线与平行线的考点，在中考数学中属于基础考点，对其考察的难度及常见度都不大，而且大多都集中在相交线与平行线中。但是该考点是几何图形学习的基础，任何复杂图形都是在该考点只上一步步积累起来的，所以，该考点的性质常融合在其他几何图形的考察之中，对该考点的复习也直接影响后期对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
一、 点与线
二、 角
三、 相交线
四、 平行线
考向一：点与线
点线相关定义及其性质
相关
定义
连接两点间的线段的线段的长度叫做两点间的距离
C是线段AB的中点→
相关
性质
两点确定一条直线
两点之间线段最短
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短
【分析】利用直线、射线、线段的定义判断．
【解答】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确；
过一点能作无数条直线，B选项正确；
射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确；
射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误．
故选：D．
2．已知线段AB＝6cm，在线段AB所在的直线上截取BC＝4cm，点D为BC中点，则AD＝（ ）
A．8cm B．2cm C．4cm或2cm D．4cm或8cm
【分析】由于C点的位置不能确定，故应分点C在点B的左侧或右侧两种情况进行讨论．
【解答】解：当点C在点B的左侧时，如图1所示：
∵AB＝6cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣4＝2（cm）
∵点D为BC中点，
∴CD＝BC＝×4＝2（cm），
∴AD＝AC+CD＝2+2＝4（cm）；
当点C在点B的右侧时，如图2所示；
∵点D为BC中点，
∴BD＝BC＝×4＝2（cm），
∴AD＝AB+BD＝6+2＝8（cm）；
综上所述，AD的长为4cm或8cm．
故选：D．
3．如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 21 条线段．
【分析】根据在一直线上有n点，一共能组成线段的条数的公式：，代入可直接选出答案．
【解答】解：可以根据公式计算，＝21．
故答案为：21．
4．济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．
【解答】解：如图，图中有5个站点．
经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有4+3+2+1＝10（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为2×10＝20（种）．
故选：A．
5．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b﹣c＝ 1 ．
【分析】根据直线、线段、射线的定义判解答即可．
【解答】解：图中只有AD1条直线，故a＝1；
图中共有6条射线，故b＝6；
图中共有6条线段，故c＝6；
∴a+b﹣c＝1+6﹣6＝1，
故答案为：1．
考向二：角
角的定义、性质及其他相关：
定义
角的表示方法
①用三个大写字母表示；②用一个大写字母表示；③用数字或希腊字母并在顶点处加弧线
角平分线
从一个角的顶点引出，将一个角分成两个相等的角的射线
互余
如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角，简称互余
互补
如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角，简称互补
性质
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
角度单位换算
1°=60′， 1′=60 ″，1°=3600″．
1′=°，1″=′
分类
①锐角α：；②直角α：；③钝角α：；④平角α：；⑤周角α：.
1．一副三角板如图所示放置，则∠AOB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，再根据角的和差关系可得∠AOB＝∠1+∠2，进而算出角度．
【解答】解：如图：
根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，
∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，
故选：C．
2．如图所示，将一块直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝22°，那么∠BOD＝（ ）
A．68° B．58° C．78° D．22°
【分析】根据平角的定义和直角的意义，由角的和差关系计算即可求解．
【解答】解：∵∠AOC＝22°，
∴∠BOD＝180°﹣22°﹣90°＝68°．
故选：A．
3．如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝20°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【分析】首先利用已知得出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠BOE＝∠EOC，
∴设∠BOE＝x，则∠COE＝3x，
∵∠DOE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°﹣x，
∴2（60°﹣x）+x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，故①不正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠AOD+∠DOE＝90°，则∠EOC＝∠AOE＝90°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确；
正确的有3个．
故选：B．
4．已知∠2是∠1的余角，且∠1＝35°，则∠2的补角等于（ ）
A．145° B．125° C．115° D．65°
【分析】首先根据余角定义算出∠2的度数，再计算出∠2的补角即可．
【解答】解：∵∠2是∠1的余角，且∠1＝35°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝55°，
∴∠2的补角为：180°﹣55°＝125°．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．52°
【分析】先求出∠DOC、∠BOC的度数，再根据角平分线求得∠AOB，即可求解．
【解答】解：∵，∠BOD＝13°，
∴∠DOC＝3∠BOD＝39°，
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝26°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝65°；
故选：B．
考向三：相交线
相交线相关定义及其性质
相关
定义
点到直线的距离的定义
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
相关
性质
对顶角的性质
对顶角相等
垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
垂线段的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
1．为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，王明设计了如下方案：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数，王明这样做的依据是 对顶角相等 ．
【分析】根据对顶角的性质可得答案．
【解答】解：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数，王明这样做的依据是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°48′，则∠AOE的度数是 50°24' ；∠AOC的补角度数是 129°36' ；与∠AOD相等的角有 ∠BOC和∠BOE ．
【分析】利用角平分线的定义，补角的定义，对顶角的定义进行分析即可．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°48′，
∴∠AOD＝∠BOC，∠AOE＝∠AOC＝∠EOC＝50°24'，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOE+∠DOE＝∠BOD+∠DOE，
即∠AOC＝∠DOE，
∴∠AOC的补角的度数为：180°﹣50°24'＝129°36'．
故答案为：50°24'，129°36'，∠BOC和∠DOE．
3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，那么∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．36° C．20° D．40°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故选：B．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOC＝180°×＝60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
故选：A．
5．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故选：B．
考向四：平行线
一．平行线的性质与判定
判定
1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2.同位角相等，两直线平行
3.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
4.内错角相等，两直线平行
5.同旁内角互补，两直线平行
性质
1.两直线平行，同位角相等
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补
4.经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
二．两平行线间的距离
平行线间的距离处处相等
平行线等积模型
如图：若l1∥l2，A、B在l2上，C、D在l1上；
则有：①；②
三.平移的性质∶
（1）平移不改变图形的形状和大小.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
☆.在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段。
1．如图，∠1＝∠2＝60°，∠3＝76°，则∠4的度数为（ ）
A．102° B．103° C．104° D．105°
【分析】先根据对顶角相等可得∠5＝∠2＝60°，再根据平行线的判定可得a∥b，然后根据平行线的性质即可得．
【解答】解：如图，∵∠2＝60°，
∴∠5＝∠2＝60°，
∵∠1＝60°，
∴∠5＝∠1，
∴a∥b，
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣76°＝104°，
故选：C．
2．如图，∠1＝60°，下列推理正确的是（ ）
①若∠2＝60°，则AB∥CD；②若∠5＝60°，则AB∥CD；
③若∠3＝120°，则AB∥CD；④若∠4＝120°，则AB∥CD．
A．①② B．②④ C．②③④ D．②③
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠2＝60°，不能判定AB∥CD，
故①不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠5＝60°，
∴∠2＝∠5，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
由∠1＝60°，∠3＝120°，不能判定AB∥CD，
故③不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠4＝120°，
∴∠2+∠4＝180°，
∴AB∥CD，
故④符合题意；
故选：B．
3．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为 45° ．
【分析】过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，可得∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，由∠M＝∠N+∠HGN，可得∠HGN＝β﹣α，从而∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝2β+α，又∠BGH+∠GHD＝180°，即知α+β＝45°，故∠MHG＝α+β＝45°．
【解答】解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：
设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，
∴∠AGM＝180°﹣2α，
∵GH平分∠AGM，
∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，
∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，
∵∠M＝∠N+∠HGN，
∴2α+β＝×2α+∠HGN，
∴∠HGN＝β﹣α，
∵HE∥CN，
∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，
∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，
∵AB∥CD，
∴∠BGH+∠GHD＝180°，
∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，
∴α+β＝45°，
∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，
故答案为：45°．
4．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135°或45° ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
当DE∥AC时，如图②，∠CAE＝45°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°或45°．
1．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．
【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
3．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
4．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 135 °．
【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
5．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
6．（2022•台湾）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）．若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
【分析】根据线段的和差定义求解．
【解答】解：该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长＝3×7+（1.6﹣0.4﹣0.5）＝21.7（公尺），
故选：A．
7．（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，
故选：A．
8．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
9．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
10．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：C．
11．（2022•内蒙古）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
【分析】由邻补角的定义可求得∠3＝33°27'，再由平行线的性质可得∠4＝∠3＝33°27'，利用三角形的外角性质即可求∠2．
【解答】解：如图，
∵∠1＝146°33′，
∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝33°27'，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，
∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．
故选：A．
12．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，
∵∠B＝30°
∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；
故选：C．
13．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
14．（2022•大连）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故选：A．
15．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，
故选：A．
16．（2022•深圳）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【分析】由题意得：∠ACB＝45°，∠F＝30°，利用平行线的性质可求∠DCB＝30°，进而可求解．
【解答】解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，
∵BC∥EF，
∴∠DCB＝∠F＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
17．（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
【分析】根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
故选：C．
18．（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28° B．56° C．36° D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故选：D．
19．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．15°
【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴它的对顶角是120°，
∵a∥b，
∴∠2＝60°．
故选：A．
20．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120° B．122° C．132° D．148°
【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
21．（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
22．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
23．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 25° ．
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
24．（2022•绵阳）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 110° ．
【分析】延长ED交CB的延长线于点G，利用三角形内角和定理可得求出∠E，∠C的度数，再利用平行线的性质可求出∠G的度数，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
1．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；
B、∠1和∠3是同位角，故B正确；
C、∠2和∠3是内错角，故C错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．
故选：B．
2．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
3．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ 90 °．
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
4．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ 40° ．
【分析】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．
【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．
5．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ 120 °．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
6．（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是 30 °．
【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
7．（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1
＝75°﹣25°
＝50°．
故选：D．
8．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【分析】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故选：B．
9．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【分析】由平行的判定求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
10．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．
【解答】解：如图：
∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
11．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（ ）
A．48° B．66° C．72° D．78°
【分析】先根据折叠的性质可得出∠BAD＝∠BAD1，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAD1的度数，最后根据周角是360°可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD1，
∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，
∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，
∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．
故选：C．
12．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
13．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
14．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
15．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
故选：C．
16．（2022•威海）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【分析】由P（0，2）平移得到M（1，4），横坐标加1，纵坐标加2；因此Q（3，0）要平移得到N点，也是横坐标加1，纵坐标加2，得到点的坐标为（4，2）．
【解答】解：如图所示，
∵P（0，2），Q（3，0）M（1，4），
MN∥PQ，
∴N（4，2）．
故选：C．
17．（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（ ）
A．57° B．63° C．67° D．73°
【分析】由AC＝BC，∠C＝120°，可得∠CBA＝30°，再由a∥b，可得∠2＝∠CBA+∠1＝73°．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CBA＝∠CAB＝，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．
故选：D．
18．（2022•娄底）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（ ）
A．20° B．80° C．100° D．120°
【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．
【解答】解：如图，
由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
19．（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
20．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵AB∥ED，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
21．（2022•广元）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：C．
22．（2022•德阳）如图，直线m∥n，∠1＝100°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠5＝100°，再根据三角形的外角性质即可得解．
【解答】解：如图：
∵直线m∥n，∠1＝100°，
∴∠5＝∠1＝100°，
∵∠3＝∠4+∠5，∠4＝∠2＝30°，
∴∠3＝30°+100°＝130°．
故选：C．
23．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是 15° ．
【分析】根据题意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝180°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
故答案为：15°．
24．（2022•镇江）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝ 105 °．
【分析】利用平行和对顶角相等求出∠DOA，根据三角形内角和求出∠D，根据外角性质求出∠1．
【解答】解：如图，设DE交AB于O点，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BOE＝45°，
∴∠DOA＝∠BOE＝45°，
∠D＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠1＝∠D+∠DOA＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
25．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
1．（2022•威县校级模拟）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故选：C．
2．（2022•永年区校级一模）如图1，嘉琪同学的家在A处，书店在B处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助她选择一条最近的路线是（ ）
A．A→C→F→B B．A→C→D→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
【解答】解：根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
故选：A．
3．（2022•建湖县三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
4．（2022•靖西市模拟）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3
【分析】根据1°等于60′，八分化成度，可得答案．
【解答】解：∵12′÷60＝0.2°，
25°12′＝25.2°，
∴∠1＝∠3，
故选：C．
5．（2022•东城区二模）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝30°，则∠AOC的大小为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠BOC＝60°；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝120°．
故选：A．
6．（2022•南海区校级模拟）如图，AB∥CD，BD⊥BC，∠2＝50°，则∠1＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【分析】在△BCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠1的度数．
【解答】解：在△BCD中，BD⊥BC，∠2＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°．
又∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BCD＝40°．
故选：A．
7．（2022•宁波模拟）一副三角板如图方式放置，其中∠E＝∠F＝45°，∠C＝2∠B＝60°，点A，D分别在EF，BC上，AB与ED相交于点G，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．50°
【分析】由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠EAG的度数，结合三角形的外角性质，即可求出∠BGE的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EAG＝∠B＝×60°＝30°．
∵∠BGE是△AEG的外角，
∴∠BGE＝∠E+∠EAG＝45°+30°＝75°．
故选：B．
8．（2022•湘潭县校级模拟）如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝35°，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
【分析】由平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵∠C＝35°，
∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝50°﹣35°＝15°，
故选：D．
9．（2022•大名县校级四模）如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠BFE＝∠DEF＝70°，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠DEF＝70°，
∴∠BFE＝∠DEF＝70°，
∵折叠的性质，
∴∠1＝180°﹣2∠BFE＝180°﹣140°＝40°．
故选：C．
10．（2022•定远县模拟）将一副三角板按如图所示放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；
②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；
③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；
④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．
其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①符合题意．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②符合题意．
∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③不符合题意．
由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④符合题意．
故选：B．
11．（2022•利通区校级一模）如图，在平行线a、b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A、B分别在直线a、b上，则∠1+∠2的度数为 90° ．
【分析】过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：过点C作CD∥a，
∴∠1＝∠ACD，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
12．（2022•东胜区二模）如图，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（见图中标示），若∠1＝65°，则∠2的度数是 25° ．
【分析】延长BE交CD于F，由AB∥CD知∠1+∠BFC＝180°，据此得出∠BFC＝110°，根据∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF可得答案．
【解答】解：如图，延长BE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠BFC＝180°，
∵∠1＝65°，
∴∠BFC＝115°，
∵∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF，
∴∠2＝∠BFC﹣∠DEF＝115°﹣90°＝25°，
故答案为：25°．
13．（2022•五华区校级模拟）如图，直线EF∥MN，直线BD分别与直线EF，MN交于点D，B，点C在直线EF上，AC⊥BD于点A．若∠ABM＝120°，则∠ACE的度数为 30° ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等先求出∠ADE，然后根据AC⊥BD求出∠CAD＝90°，再根据∠ADE＝∠CAD+∠ACE求解即可．
【解答】解：∵EF∥MN，∠ABM＝120°，
∴∠ADE＝∠ABM＝120°，
∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACE，
∴∠ACE＝∠ADE﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°．
故答案为：30°．
14．（2022•游仙区校级二模）如图，线段AB∥CD，AD与BC相交于点E，∠B﹣∠A＝30°，EM⊥CD于点M，EN平分∠CED交CD于点N，则∠MEN的度数是 15° ．
【分析】利用平行线的性质和三角形的内角和定理先用∠A表示出∠CED，再利用三角形的内角和、角平分线的定义用∠A表示出∠CEN、∠CEM，最后利用角的和差关系求出∠MEN．
【解答】解：∵∠B﹣∠A＝30°，
∴∠B＝30°+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝30°+∠A．
∴∠CED＝∠BEA＝180°﹣∠B﹣∠A
＝180°﹣（30°+∠A）﹣∠A
＝150°﹣2∠A．
∵EN平分∠CED，
∴∠CEN＝∠CED＝75°﹣∠A．
∵EM⊥CD，
∴∠CEM＝90°﹣∠C
＝90°﹣（30°+∠A）
＝60°﹣∠A．
∴∠MEN＝∠CEN﹣∠CEM
＝75°﹣∠A﹣（60°﹣∠A）
＝15°．
故答案为：15°．
15．（2022•江夏区模拟）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE＝150°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若∠F＝40°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠DCE+∠ADC＝180°，根据∠DCE＝150°，求出∠ADC，再根据平行线的性质证得∠BAD＝∠ADC，求出∠BAD即可；
（2）根据外角的性质求出∠ABF度数，再根据内角和定理求出∠FAB的度数，再进一步求出∠FAD，再利用平行线的性质求出∠E即可．
【解答】解：（1）∵CE∥AD，
∴∠DCE+∠ADC＝180°，
∵∠DCE＝150°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC＝30°；
（2）∵AD平分∠BDC，
∴∠BDA＝∠ADC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD+∠BDA＝60°，
∵∠F＝40°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵AD∥EC，
∴∠FAD＝∠E＝110°．
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