考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）

这是一份考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版），共68页。试卷主要包含了二次函数的表达式，二次函数的图象特征与最值，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程，二次函数图象上点的坐标特征等内容，欢迎下载使用。
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点

二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。



一、 二次函数的表达式
二、 二次函数的图象特征与最值
三、 二次函数图象与系数的关系
四、 二次函数与方程、不等式（组）
五、 二次函数图象上点的坐标特征

考向一、二次函数的表达式
1. 二次函数的3种表达式及其性质作用
名称
通式
适用范围
一般式
y＝ax2+bx+c（a≠0）
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式
顶点式
y＝a（x-m）2+h（a≠0）
当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式
交点式
y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）
其中，（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式
相互联系
二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；

2. 二次函数平移的方法：
①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），
②“左加右减（x），上加下减（y）”；

1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 　﹣3x2　，一次项系数为 　﹣16　，常数项为 　12　．
【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把一元二次方程化成一般形式．
【解答】解：∵方程y＝（2﹣3x）（6+x）化为一般形式是y＝﹣3x2﹣16x+12，
∴二次项﹣3x2，一次项系数为﹣16，常数项为12．
故答案为：﹣3x2，﹣16，12．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣3）2+3 B．y＝2（x+3）2+3
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x+3）2+2
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【解答】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+1+2＝y＝2（x+3）2+3；
故选：B．
4．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）
【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），将该顶点向下平移3个单位长度所得的顶点坐标是（0，﹣3）．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 　1≤a≤7　．

【分析】求出抛物线y＝mx2+2mx+m+3顶点坐标，从而可知向右平移a（a＞0）个单位长度后顶点的坐标，即可列出关于a的不等式，解得答案．
【解答】解：∵y＝mx2+2mx+m+3＝m（x+1）2+3，
∴抛物线y＝mx2+2mx+m+3的顶点坐标为（﹣1，3），
抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为（a﹣1，3），
∵平移后的抛物线的顶点在线段AB上，
∴0≤a﹣1≤6，
∴1≤a≤7，
故答案为：1≤a≤7．
考向二、二次函数的图象特征与最值
1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
对称轴：直线；顶点坐标：；
开口向上 a＞0 二次函数有最小值；

开口向下 a＜0 二次函数有最大值；
2. 图象的增减性问题：
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；

平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，
利用排除法，得到最后答案。

1．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．函数有最小值1，有最大值3
B．函数有最小值﹣1，有最大值3
C．函数有最小值﹣1，有最大值0
D．函数有最小值﹣1，无最大值
【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案．
【解答】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3，
∴函数有最小值﹣1，有最大值3，
故选：B．
2．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　）

A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞c＞d．
故选：B．

3．如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、﹣b、a+b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，﹣b＞0，
∴一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象在第一、二、四象限，
故选：B．
4．在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，矛盾，不合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，一致，符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，不合题意；
D、由y＝ax2+bx可知，抛物线经过原点，不合题意；
故选：B．
5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，分两种情况讨论得到关于m的方程解方程即可求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数最小值为1，
当m+1＜1，即m＜0时，x＝m+1时y取最小值，
∴m＝（m+1﹣1）2+1，即m2﹣m+1＝0（无解），
当m≥1时，x＝m时y取最小值，
∵m＝（m﹣1）2+1，
解得m＝1或2，
∴整数m的值为1或2，
故选：C．
6．如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 　　．

【分析】设P（x，﹣x2+2x+2），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+4+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设P（x，﹣x2+2x+2），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+4+2x＝﹣2x2+6x+4＝﹣2（x﹣）2+，
当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为：．
考向三、二次函数图象与系数的关系
a的特征与作用
b的特征与作用(a与b“左同右异”）
c的特征与作用










二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。

1．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（　　）

A．②③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
【分析】利用图象开口方向，对称轴位置和与y轴交点判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，取x＝﹣3，得出y的范围可判断③，根据a+b+c＝0，对称轴得出b＝2a，c＝﹣3a，即可得出8a﹣2b+c＝a，可判断④；根据﹣0.5和﹣2到对称轴的距离可判断⑤．
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确，
由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，③正确，
∵a+b+c＝0，
∴b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，
∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；
∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，
∵1＞0.5，
∴当x＝﹣2时的函数值大于x＝﹣0.5时的函数值，
∴y1＜y2，故⑤错误，
∴正确的有②③④，
故选：B．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
⃯
﹣1
0
1
3
⃯
y
⃯
0
﹣1.5
﹣2
0
⃯
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；
②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；
④若y＞0，则x＞3；
⑤a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②④ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
当x＝1时，y＝﹣2
∴抛物线的顶点为（1，﹣2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式，
所以①正确；
∵由表格可知x＝1时函数的值最小，
∴抛物线的开口向上，
故②错误；
∵x＝0与x＝2关于对称轴对称，
∴x＝0时，y＝﹣1.5，x＝2时，y＝﹣1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2，
故③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，x＝﹣1时，y＝0，
∴x＝3时，y＝0，
∴若y＞0，则x＞3或x＜﹣1，
故④错误；
∴a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．
所以⑤正确；
综上所述：其中正确的结论有①③⑤．
故选：D．
3．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B． C．或a＞0 D．
【分析】将交点问题转化为方程解的问题求解．
【解答】解：当a＝0时，若k＝0，直线y＝2与直线y＝0没有交点，不合题意．
当a＝1时，二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．
由kx﹣2k+2＝x2﹣2x﹣3得：x2﹣（k+2）x+2k﹣5．
Δ＝（k+2）2﹣4（2k﹣5）＝k2﹣4k+24
＝（k﹣2）2+20．
无论k为何值，（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0．
直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，
∴a＝1符合题意．
故排除B，D．
当a＝﹣1时，二次函数为：y＝﹣x2+2x+3．
由kx﹣2k＝2＝﹣x2+2x+3得：x2+（k﹣2）x﹣1＝0，
Δ＝（k﹣2）2+4＞0．
∴直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点．
∴a＝﹣1符合题意．
故排除A．
故选：C．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；
②a﹣b+c＞1；
③abc＞0；
④4a﹣2b+c＜0；
⑤c﹣a＞1．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【分析】由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c＝1＞0，对称轴x＝﹣1，则再结合图象判断各结论．
【解答】解：由图象可得：a＜0，b＜0，c＝1＞0，对称轴x＝﹣1，
①x＝1时，a+b+c＜0，正确；
②x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④4a﹣2b+c＜0，错误，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0；
⑤x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣＝﹣1，b＝2a，c﹣a＞1，正确．
故选：B．
5．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m
（1）①函数的顶点坐标为 　（m，2m）　（用含m的代数式表示）；
②该顶点所在直线的解析式为 　y＝2x　；在平面直角坐标系中画出该直线的图象；
（2）当m＝1时，二次函数关系式为 　y＝x2﹣2x+3　，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A（﹣3，1）、B（1，1）连结AB．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围；
（4）把二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（x≤2m）的图象记为G，当G的最低点到x轴的距离为1时，直接写出m的值．

【分析】（1）①把解析式化成顶点式即可求解；②根据顶点坐标即可求得；
（2）根据解析式画出函数的图象即可；
（3）分类讨论抛物线顶点落在AB上，点A和点B落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解；
（4）分两种情况讨论得到关于m的方程，解方程组即可求得．
【解答】解：（1）①∵y＝x2﹣2mx+m2+2m＝（x﹣m）2+2m，
∴函数的顶点坐标为（m，2m）；
②可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y＝2x．
即顶点所在直线的解析式为y＝2x．
画出直线y＝2x如图1，
故答案为：（m，2m）；y＝2x；
（2）当m＝1时，二次函数关系式为y＝x2﹣2x+3，
此函数的图象如图1，
故答案为：y＝x2﹣2x+3；
（3）抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m开口向上，对称轴为直线x＝m，抛物线顶点坐标为（m，2m），
当抛物线顶点落在AB时，2m＝1，
解得m＝，满足题意．
把A（﹣3，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m得1＝9+6m+m2+2m，
解得m＝﹣4±2，
把B（1，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m得1＝1﹣2m+m2+2m，
解得m＝0，
∴﹣4﹣2≤m≤0满足题意，
综上所述，m＝或﹣4﹣2≤m≤0；
（4）∵顶点（m，2m），与y轴的交点为（0，m2+2m）；
当m＜0时，则2m＝﹣1，即m＝﹣，
当m＞0时，则m2+2m＝1，即m＝﹣1，
故m的值为﹣或﹣1．


考向四、二次函数与方程、不等式（组）
1. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系：
1) 求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0
②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。
2) 利用△判断抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交点个数：
①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数
∵△=b2-4ac，
∴△＞0，抛物线与x轴有2个交点；
△=0，抛物线与x轴有1个交点；
△＜0，抛物线与x轴无交点；
②求抛物线与某直线l的交点个数→联立抛物线与直线l解析式，得新组成的一元二次方程，
后续求交点个数方法同上；
3) 一元二次方程方程ax2+bx+c=n的解的几何意义：
表示抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝n的交点横坐标；
2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式之间的关系：
利用图象的交点坐标和上下关系，直接确定不等式的解集，常见关系如下：
①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方时，自变量x的取值范围；
②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方时，自变量x的取值范围；
③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m上方时，自变量x的取值范围；
④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m下方时，自变量x的取值范围；

1．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由抛物线的解析式可求出顶点的横纵坐标，结合已知条件即可判断抛物线y＝ax2+bx+c的顶点所在象限．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
∵顶点的横坐标为﹣，纵坐标为，a＞0，b＜0，
∴﹣＞0，＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在第四象限，
故选：D．
2．对于二次函数y＝x2+4x+7，下列说法正确的是（　　）
A．当x＜0，y随x的增大而减小
B．当x＝﹣2时，y有最小值3
C．图象的顶点坐标为（2，3）
D．图象与x轴有两个交点
【分析】配方后确定对称轴、开口方向、增减性后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵y＝（x+2）2+3，
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，3），
当x＝﹣2时，y有最小值3，
当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；
当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
故A、C、D错误，B正确，
故选：B．
3．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.06
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
4．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N，则当y1＜y2时，自变量x的取值范围是 　﹣1＜x＜2　．

【分析】根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．
【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为M（﹣1，4），N（2，1），
当y1＜y2时，则直线图象要在抛物线图象的上方，
∴﹣1＜x＜2，
∴当y1＜y2时，，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
5．如图，已知抛物线y1＝x2+mx与x轴交于点A（2，0）．
（1）求m的值和顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式y2；
（3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围．

【分析】（1）将点A坐标代入抛物线解析式中即可求得m的值，再将抛物线解析式化为顶点式，一次即可解答；
（2）设直线AM的解析式y2＝kx+b（k≠0），根据待定系数法即可求解；
（3）根据图象即可得到结果．
【解答】解：（1）∵抛物线y1＝x2+mx与x轴交于点A（2，0），
∴0＝4+2m，
解得：m＝﹣2，
∴抛物线解析式为y1＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴m＝﹣2，M（1，﹣1）；
（2）设直线AM的解析式y2＝kx+b（k≠0），
∵y2＝kx+b过点A（2，0）和点M（1，﹣1），
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式y2＝x﹣2；
（3）由图象可知，
当y1＞y2时，x＞2或x＜1．
考向五、二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征主要考点：
1. 点在图象上，点的特征符合其解析式
2. 和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题
3. 和其他几何图形结合，综合考察两者的性质

1．已知函数y＝（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【解答】解：函数y＝（x﹣2）2的对称轴为直线x＝2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，
点A到对称轴的距离为|﹣1﹣2|＝3，
点B到对称轴的距离为|1﹣2|＝1，
点C到对称轴的距离为|4﹣2|＝2，
∵3＞2＞1，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
2．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为 　（﹣，）　．

【分析】连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD＝BD，设BD＝t，则OD＝t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2＝t，得出BD＝，OD＝，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【解答】解：连接BC交OA于D，如图，

∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴OD＝BD，
设BD＝t，
则OD＝t，
∴B（t，t），
把B（t，t）代入y＝2x2得2t2＝t，
解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴BD＝，OD＝，
故C点坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
3．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　3　．

【分析】设A（a，a2），则B（﹣a，a2），利用抛物线的对称性和点的坐标的特征得到AB＝2a，点 A、点B到x轴的距离为a2，利用矩形的性质得到点 C、点D关于y轴对称，HD＝HC＝a，则E（﹣a，），F（a，），利用矩形的面积公式可得到关于a的方程，利用立方根的意义即可求得a值，则结论可求．
【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴为y轴，
∵点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，
∴点 A、点B关于y轴对称，
设A（a，a2），则B（﹣a，a2），a＞0．
∴AB＝2a，点 A、点B到x轴的距离为a2．
∵点 C、点D为线段AB的三等分点，
∴CD＝a．
设CD与y轴交于点H，
由题意，点 C、点D关于y轴对称，
∴HD＝HC＝a，
∵矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，
∴E（﹣a，），F（a，），
∵EF∥x轴，
∴点 E、F到x轴的距离为2，
∵AB∥x轴，
∴DE＝CF＝，
∵矩形CDEF的面积为2，
∴CD•CF＝2，
∴a•＝2，
∴，
∴a＝．
∴AB＝2a＝3．
故答案为：3．
4．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都为等边三角形，则△A2022B2023A2023的边长为 　2023　．

【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y＝x2中，求a、b、c的值，得出规律．
【解答】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，

设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入中，得＝×a2，解得a＝1，即A0A1＝1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入中，得1+＝×b2，解得b＝2，即A1A2＝2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入中，得3+＝×c2，解得c＝3，即A2A3＝3，
…
依此类推由此可得△A2022B2023A2023的边长＝2023，
故答案为：2023．
5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）若P（m+3，n1），Q（m，n2）也是该二次函数图象上的两个点，且n1＜n2，求实数m的取值范围；
（3）若点T（t，2t）不在该二次函数的图象上，求c的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，再根据对称轴公式列得，由此求出b；
（2）将点P、Q代入函数解析式得到不等式，由此得到m的取值范围；
（3）由抛物线与直线y＝2x没有交点，即方程﹣x2+4x+c＝2x没有实数根，根据判别式列得Δ＜0，由此求出c的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＝﹣2，x2＝6时，y1＝y2．
∴点A、B关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得b＝4；
（2）∵P（m+3，n1），Q（m，n2）也是该二次函数y＝﹣x2+4x+c图象上的两个点，且n1＜n2，
∴﹣（m+3）2+4（m+3）+c＜﹣m2+4m+c，
解得；
（3）由题意得，抛物线与直线y＝2x没有交点，
即方程﹣x2+4x+c＝2x没有实数根，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，Δ＝（﹣2）2+4c＜0，
解得c＜﹣1，
故c的取值范围为c＜﹣1．

1．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：B．
2．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
3．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
4．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（　　）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
5．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
6．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
7．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
8．（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，
∴c＝．
故选：B．
9．（2022•泰州）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；
B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；
C．y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；
D．y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；
故选：D．
10．（2022•朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
12．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a+b＝0，由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，由抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点
【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；
故选：D．
13．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
14．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　①②③　．（填写代表正确结论的序号）

【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a+b＝0，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
16．（2022•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣＝，
∴a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
17．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 　y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4　．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x轴上，
∴＝0，
解得：k＝﹣1，
∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，
∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．
18．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
19．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　（﹣5，﹣4）或（0，1）　．

【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，

∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），

∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
20．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．

1．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断．
【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
2．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
3．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
4．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
5．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
6．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，
∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，
故选：D．
7．（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，
∴3＜x2＜4，①正确，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a+2b＜0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
由题意可知x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴a+c＜0，
∴b2﹣4ac＞a+c，
∴b2＞a+c+4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c＜0，
∴a＞c，
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴b＞c，
所以④错误；
故选：B．
8．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，
故选：C．
9．（2022•鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴﹣＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
10．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c＜0时，a、b、c的大小关系或当c＞0时，a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
11．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解．
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选：D．
12．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
13．（2022•铜仁市）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【分析】设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），由∠OAC＝∠OCB可得△OAC∽△OCB，从而可得|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，由一元二次方程根与系数的关系可得x1•x2＝，进而求解．
【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），
∴OC＝c，
∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2＝OA•OB，
即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，
令ax2+bx+c＝0，
根据根与系数的关系知x1•x2＝，
∴，
故ac＝﹣1，
故选：A．
14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 　6　．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
15．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确．
如图：

设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
16．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　8　．
【分析】方法1、先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），
∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，
∴2+2＝2（﹣2+2），
∴n＝8，
故答案为：8．

方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
两函数的图象如图所示：

由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：8．
17．（2022•牡丹江）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 　　．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．

【分析】（1）利用待定系数法即可得出；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得D的坐标，进一步求得点P的坐标，令x＝0即可求得C的坐标，利用勾股定理即可求得CP的长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝＝．
故答案为：．
18．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
19．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．

【分析】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；

（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．
20．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．


1．（2023•临川区校级一模）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 　（2，﹣3）　．
【分析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝（x2﹣4x+4）﹣2﹣1
＝（x﹣2）2﹣3．
则其顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
2．（2022•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当1＜x≤5时的函数取值范围，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣5），
将x＝5代入y＝x2﹣4x﹣1得y＝4，
∴当1＜x≤5时，﹣5≤y≤4，
故选：D．
3．（2022•长治二模）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+5，则原抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4．
将抛物线y＝x2﹣6x+5向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
4．（2022•海珠区一模）若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【分析】根据二次函数解析式判断出开口方向和对称轴，再根据当2≤x≤5时，8≤y≤12，可得到x在顶点处取得最大值，即可求出a值．
【解答】解：在y＝ax2﹣6ax+3，a＜0，开口向下，对称轴为x＝3，
∵当2≤x≤5时，8≤y≤12，
∴x＝3时，y取得最大为12，
∴12＝9a﹣18a+3，
∴a＝﹣1．
故选：D．
5．（2022•长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．据此作答．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝．
顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1．
故选：C．
6．（2022•凤泉区校级一模）关于抛物线y＝﹣2x2+4x+1，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（1，3） D．x＞2时，y随x增大而减小
【分析】利用二次函数的图象与性质判断．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
﹣2＜0，开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣＝1，
顶点坐标（1，3），当x＞1时，y随x增大而减小，
∴只有C选项正确．
故选：C．
7．（2022•青县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【分析】由函数解析式可知函数的对称轴，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
所以点O2是原点；
故选：B．
8．（2022•成都模拟）将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+7）2+49 B．y＝（x+7）2﹣36
C．y＝（x﹣7）2+49 D．y＝（x﹣7）2﹣36
【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣14x+13＝（x﹣7）2﹣36．
故选：D．
9．（2022•德城区模拟）如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴一次函数y＝ax+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
10．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0． B．9a+3b+c＞0 C．abc＞0 D．a+b＞0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故A错误，不符合题意；
由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
故B错误，不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，
∴对称轴x＝﹣＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故C错误，不符合题意；
∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，
∴1＜x1+x2＜2，
∴＜＜1，
∴﹣＞，
∴b＞﹣a，
即a+b＞0，
故D正确，符合题意．
故选：D．
11．（2022•鹿城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　）

A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∵点（1.5，y3）关于直线x＝1的对称点是（0.5，y3），
∵﹣1＜0＜0.5，
∴y1＜y2＜y3，
故选：C．
12．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝及抛物线开口方向，再通过判断点A与点B到对称轴的距离求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，开口向下，
当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，
∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故选：A．
13．（2022•安顺模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（　　）
A．2012 B．2022 C．1006 D．1011
【分析】由抛物线解析式求出抛物线对称轴，设A，B在抛物线上，C在直线上，从而可得m与n的关系，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣5ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，
设A（x1，m），B（x2，m）在抛物线上，点C在直线上，则A，B关于对称轴对称，
∴x1+x2＝5，
∴n＝x1+x2+x3＝5+x3，
∴x3＝n﹣5，
把（x3，m）代入y＝2x+2022得m＝2x3+2022＝2n+2012，
∴m﹣2n＝2012，即m﹣n＝1006，
故选：C．
14．（2022•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：
x
……
﹣4
﹣
﹣
1
……
y
……
﹣


0
……
①abc＞0；
②当﹣3＜x＜1时，y＞0；
③4a+2b+c＞0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．
正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣与x＝﹣时，y值相等，得出对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对称性求得点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），即可判断④．
【解答】解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，
∴a＜0，开口向下，
∵对称轴为直线x＝（﹣）＝﹣1，
∴b＜0，
∵图象经过点（1，0），
∴c＞0，
∴abc＞0，故说法正确；

②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；

③当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故说法错误；

④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．
故选：B．
15．（2022•瑞安市校级三模）如图，将一个含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点A的坐标为（1，0），点C在y轴上．过点A，C作抛物线y＝2x2+bx+c，且点A为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点B，那么抛物线要沿对称轴向下平移（　　）

A．5个单位 B．6个单位 C．7个单位 D．8个单位
【分析】过B作BM⊥x轴于M，由抛物线的顶点为A，求解抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明△CAO≌△ABM，再求解B的坐标，再写出向下平移n个单位后的抛物线的解析式，代入B的坐标即可得到答案．
【解答】解：如图，过B作BM⊥x轴于M，

∵抛物线y＝2x2+bx+c的顶点为A（1，0），
∴，
∴b＝﹣4，
∴2﹣4+c＝0，
解得：c＝2，
∴抛物线为：y＝2x2﹣4x+2，
∴C（0，2），
∵AC＝AB，∠CAB＝∠COA＝∠AMB＝90°，
∴∠CAO+∠BAM＝∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠CAO＝∠ABM，
∴△CAO≌△ABM（AAS），
∴CO＝AM＝2，OA＝BM＝1，
∴B（3，1），
∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，设抛物线向下平移n个单位后过B点，
∴y＝2（x﹣1）2﹣n过B点，
∴8﹣n＝1，
解得：n＝7．
故选：C．
16．（2022•南充模拟）在直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0）的图象上，对于0＜n＜1，当x＝n+1，n﹣1，n﹣2时，依次对应的函数值y1，y2，y3中最大的是（　　）
A．y1 B．y2
C．y3 D．y1或y2（y1＝y2）
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵点（2，﹣2）在二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0）的图象上，
∴﹣2＝4a+2b﹣2，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵0＜n＜1，
∴|n+1﹣1|＝n，|n﹣1﹣1|＝2﹣n，|n﹣2﹣1|＝3﹣n，
∴3﹣n＞2﹣n＞n，
∵a＜0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
17．（2023•鼓楼区校级一模）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 　a＞0，c＜0　．
【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn＜0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，
∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，
∴mn＜0，
又∵mnc＞0，
∴c＜0，即抛物线与y轴的负半轴相交，
又∵抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），
∴函数开口向上，
∴a＞0．
故答案是：a＞0，c＜0．
18．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（　　）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．

A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及a的符号即可判断②；由16a+4b+c＝c即可判断③；由x＝5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴的交点即可判断⑤．
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又﹣＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正确；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
19．（2022•花都区二模）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
【分析】结合函数图象，写出抛物线在直线y2＝mx+n上方所对应的自变量的范围．
【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．
故选：C．
20．（2022•鹿城区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）点D在射线CO上，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝CD，求点E的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用对称轴公式求得对称轴即可；
（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0），则CD＝3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m，由轴对称性得FE＝2（1﹣m）＝2﹣2m，根据CD＝FE得出2﹣2m＝m2﹣2m，解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1．
（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0），
∴由轴对称性得FE＝2（1﹣m）＝2﹣2m，
∵CD＝3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m，CD＝FE，
∴2﹣2m＝m2﹣2m，
解得（舍去），
∴．
21．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝OB＝2OC，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n的解集：
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q，当PQ＝时，求P点的坐标．

【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝0，y＝ax2+bx+2＝0+2＝2，
∴B（0，2），
∵OA＝OB＝2OC，
∴A（﹣2，0），C（1，0），
把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
∵直线y＝mx+n与坐标轴交于A（﹣2，0），B（0，2）两点，
∴，
解得，
∴y＝x+2；
（2）∵不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n，
即﹣x2﹣x+2＞x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，
①如图1，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣2x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由图象知此时P点在第三象限，
∴x＝﹣﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），
③如图3，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，），
综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．



22．（2022•清丰县校级一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
﹣2
﹣
m
2
1
2
1
﹣
﹣2
…
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
其中，m＝　1　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象的对称性是：　关于y轴对称　．
②当x＞1时，写出y随x的变化规律：　y随x值的增大而减小　．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 　2　个交点，所以方程﹣x2+2|x|+1＝0有 　2　个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　1＜a＜2　．

【分析】（1）将x＝﹣2代入函数解析式即可求m；
（2）描点法画出函数图象即可；
（3）通过观察所画的函数图象，即可求解；
（4）通过观察所画的函数图象，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝1，
故答案为：1；
（2）如图所示：

（3）①函数关于y轴对称，
故答案为：关于y轴对称；
②当x＞1时，y随x值的增大而减小，
故答案为：y随x值的增大而减小；
（4）①函数图象与x轴有2个交点，﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根，
故答案为：2，2；
②当1＜a＜2时，﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，
故答案为：1＜a＜2．