江苏省八市联考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）含解析

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江苏省八市联考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）
【原卷 1 题】 知识点 判断两个集合的包含关系,根据交集结果求集合或参数,补集的概念及运算

【正确答案】
A
【试题解析】


1-1（基础） 已知集合，，则（ ）
A.Ü B.Ü C. D.
【正确答案】 D

1-2（基础） 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

1-3（巩固） 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

1-4（巩固） 设为全集，、为非空子集，，则下列关系中错误的是（ ）
A.Ü B.Ü
C. D.
【正确答案】 B

1-5（提升） 已知､是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

1-6（提升） 已知全集U，M，N是U的非空子集，且，则必有（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

【原卷 2 题】 知识点 复数代数形式的乘法运算,复数的除法运算

【正确答案】
C
【试题解析】


2-1（基础） 已知复数z满足,则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-2（基础） 已知复数满足（为虚数单位），则复数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-3（巩固） 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

2-4（巩固） 已知i是虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

2-5（提升） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

2-6（提升） 复数满足：，则（ ）
A.1+2i B.－1+2i C.1－2i D.－1－2i
【正确答案】 C

【原卷 3 题】 知识点 二项展开式各项的系数和,求指定项的系数

【正确答案】
B
【试题解析】


3-1（基础） 若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
【正确答案】 B

3-2（基础） 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A.36 B.30 C.15 D.10
【正确答案】 C

3-3（巩固） 已知的展开式中第3项是常数项，则（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【正确答案】 A

3-4（巩固） 已知的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（ ）
A.200 B.280 C. D.
【正确答案】 D

3-5（提升） 已知，二项式展开式中常数项为，且的展开式中所有项系数和为192，则的展开式中常数项为（ ）
A.66 B.36 C.30 D.6
【正确答案】 B

3-6（提升） 在的展开式中，各项的二项式系数的和与所有项的系数之和的差等于64，则展开式中常数项为（ ）
A. B.15 C. D.20
【正确答案】 C

【原卷 4 题】 知识点 距离测量问题,高度测量问题


【正确答案】
B
【试题解析】




4-1（基础） 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）

A.20 B.16 C.27 D.9
【正确答案】 A

4-2（基础） 如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为（ ）（精确到）参考数据：，

A. B. C. D.
【正确答案】 D

4-3（巩固） 笔峰塔矗立在淦河岸边，是咸宁市现存古迹之一．小张同学为测量笔峰塔的高度，如图，选取了与塔底部D在同一水平面上的两点，在A点和B点处测得C点的仰角分别为 和 ，测得米，，则笔峰塔的高度 为（ ）

A.20米 B.25米 C.米 D.米
【正确答案】 B

4-4（巩固） 今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）

A.59 B.60 C.65 D.68
【正确答案】 A

4-5（提升） 雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的､两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪､（如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（ ）（参考数据：，）

A.70.5 B.71 C.71.5 D.72
【正确答案】 C

4-6（提升） 洛阳栾川老君山形成于十九亿年前的大陆造山运动，造就了其千姿百态、群峰竞秀、拔地通天、气势磅礴的景观，塑造了“华夏绿色心脏，世界地质奇观”的主题形象.某旅游爱好者在老君山山脚（处的海拔高度约为830m）测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走1200m到达处，在处测得山顶的仰角为75°，则老君山的海拔高度约为（ ）（参考数值：，）

A.1469m B.1869m C.2299m D.2399m
【正确答案】 C

【原卷 5 题】 知识点 向量的线性运算的几何应用

【正确答案】
D
【试题解析】



5-1（基础） 在中，点是边上一点，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

5-2（基础） 在平行四边形ABCD中，F是边BC的中点，点E满足．若，则（ ）
A. B.1 C. D.3
【正确答案】 C

5-3（巩固） 已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ）
A.7 B.6 C.3 D.2
【正确答案】 A

5-4（巩固） 在中，在射线上，且满足，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

5-5（提升） 如图，在中，，，直线交于点，若，则（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

5-6（提升） 已知等腰直角三角形中，，，分别是边，的中点，若，其中，为实数，则（ ）
A. B.1 C.2 D.
【正确答案】 D

【原卷 6 题】 知识点 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数,由正弦（型）函数的周期性求值,利用正弦函数的对称性求参数

【正确答案】
C
【试题解析】



6-1（基础） 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-2（基础） 已知函数的最小正周期为，且将的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-3（巩固） 记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-4（巩固） 设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

6-5（提升） 已知函数的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

6-6（提升） 设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 7 题】 知识点 由奇偶性求函数解析式,求已知指数型函数的最值,基本不等式求和的最小值

【正确答案】
B
【试题解析】



7-1（基础） 已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（ ）
A.3 B. C.1 D.2
【正确答案】 D

7-2（基础） 是定义在上的偶函数，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

7-3（巩固） 已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
【正确答案】 B

7-4（巩固） 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的最小值为（ ）
A. B.0 C. D.1
【正确答案】 D

7-5（提升） 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】 D

7-6（提升） 已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（ ）.
A. B. C.1 D.
【正确答案】 B

【原卷 8 题】 知识点 圆的弦长与中点弦,双曲线定义的理解,利用定义解决双曲线中焦点三角形问题,求双曲线的离心率或离心率的取值范围


【正确答案】
D
【试题解析】






8-1（基础） 已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-2（基础） 已知双曲线的一条渐近线上存在关于原点对称的两点和，若双曲线的左、右焦点与组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-3（巩固） 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为虚轴的一个端点，为坐标原点，直线与的一条渐近线交于点，若与的面积相等，则的离心率为（ ）
A. B.2 C.或 D.2或
【正确答案】 B

8-4（巩固） 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C.2 D.3
【正确答案】 D

8-5（提升） 双曲线的两个焦点为，以C的虚轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的渐近线交于点H，若的面积为，则C的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
【正确答案】 D

8-6（提升） 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，F是该双曲线的焦点，且满足，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.5
【正确答案】 D

【原卷 9 题】 知识点 计算几个数的平均数,计算几个数据的极差、方差、标准差,总体百分位数的估计


【正确答案】
A B D
【试题解析】




9-1（基础） 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13
C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为15
【正确答案】 ABD

9-2（基础） 小爱同学在一周内自测体温（单位：℃）依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的（ ）
A.平均数为36.3 B.方差为0.04
C.中位数为36.3 D.第80百分位数为36.55
【正确答案】 AC

9-3（巩固） 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所需要先进行体温检测.某学校对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A.乙同学体温的极差为
B.甲同学体温的分位数为
C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D.甲同学体温的众数为和，中位数与平均数相等
【正确答案】 BC

9-4（巩固） 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.
成绩
60
65
70
75
80
85
90
人数
2
3
3
5
4
2
1
下列结论正确的是（ ）
A.这20人成绩的众数为75
B.这20人成绩的极差为30
C.这20人成绩的分位数为65
D.这20人成绩的平均数为75
【正确答案】 AB

9-5（提升） 树人中学班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：）的数据如下：
男生：、、、、、、、、、、、、、、、；
女生：、、、、、、、、、、、、、、、
以下判断中正确的是（ ）
A.女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于
B.男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是
C.男生每周锻炼身体的平均时长大于的概率的估计值为
D.与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
【正确答案】 BD

9-6（提升） 小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（ ）
A.用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是
B.这10个分数的第60百分位数为91
C.这10个分数的平均数大于中位数
D.去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小
【正确答案】 BD

【原卷 10 题】 知识点 求等差数列前n项和,求等比数列前n项和

【正确答案】
A C
【试题解析】




10-1（基础） 已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【正确答案】 ABC

10-2（基础） 已知等差数列满足，．数列的前项和为，数列的前项和为，若，则的可能取值为（ ）
A.98 B.99 C.100 D.101
【正确答案】 CD

10-3（巩固） 已知数列为等差数列，是其前n项和，，，数列的前n项和为，若对一切都有恒成立，则整数m的可能值为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
【正确答案】 BCD

10-4（巩固） 已知，记的前项和为，若数列，记的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的值可能是（ ）
A. B.0 C. D.2
【正确答案】 AD

10-5（提升） 已知等差数列的前n项和为，且若存在实数a，b，使得，且，当时，取得最大值，则的值可能为（ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
【正确答案】 BC

10-6（提升） 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（ ）
A.25 B.26 C.27 D.28
【正确答案】 CD

【原卷 11 题】 知识点 球的表面积的有关计算,多面体与球体内切外接问题,求异面直线所成的角,证明线面平行


【正确答案】
B C
【试题解析】




11-1（基础） 在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，，的中点，则（ ）
A.AC⊥BP
B.⊥平面EFPQ
C.平面平面EFPQ
D.直线CE和所成角的余弦值为
【正确答案】 AC

11-2（基础） 如图，在正方体中，P是正方形的中心，E是PC的中点，则以下结论（ ）

A.平面BDE B.平面平面BDE
C. D.异面直线PC与AB所成的角为
【正确答案】 ABC

11-3（巩固） 在正方体中，若是棱上一动点，是线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A.存在直线与直线平行
B.异面直线所成的角可以为
C.直线与平面所成的角可以为
D.平面平面
【正确答案】 ACD

11-4（巩固） 如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（ ）

A.
B.直线PC与直线异面
C.存在点P使得PC与所成的角为60°
D.存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°
【正确答案】 ABD

11-5（提升） 如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）

A.三棱锥的体积为定值
B.异面直线BC与MP所成的最大角为45°
C.不存在点P使得
D.当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
【正确答案】 AD

11-6（提升） 在棱长为1的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A.过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.点P为正方形内一点，当//平面时，DP的最小值为
D.当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为
【正确答案】 BCD

【原卷 12 题】 知识点 用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数证明不等式,由已知条件判断所给不等式是否正确

【正确答案】
A B D
【作答统计】
ABD:0人/占0% A:1人/占100% B:1人/占100% C:0人/占0% D:1人/占100%
【试题解析】






12-1（基础） 已知实数a,b满足:且,则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 ACD

12-2（基础） 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 AD

12-3（巩固） 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 AD

12-4（巩固） 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 BD

12-5（提升） 已知m，n关于x方程的两个根，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 ACD

12-6（提升） 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 ACD

【原卷 13 题】 知识点 根据抛物线的方程求参数

【正确答案】

【试题解析】



13-1（基础） 过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与在第一象限内交于点A，点，若，则________.
【正确答案】 4

13-2（基础） 已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为5，线段的中点的横坐标是2，则＝______．
【正确答案】 1

13-3（巩固） 已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．
【正确答案】 1

13-4（巩固） 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【正确答案】

13-5（提升） 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，的准线与轴相交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若，，则的标准方程为______．
【正确答案】

13-6（提升） 已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．
【正确答案】 4

【原卷 14 题】 知识点 求过一点的切线方程

【正确答案】

【试题解析】



14-1（基础） 写出曲线过点的一条切线方程__________．
【正确答案】 或（写出其中的一个答案即可）

14-2（基础） 直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【正确答案】 （答案不唯一）

14-3（巩固） 写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【正确答案】 （答案不唯一）

14-4（巩固） 若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】

14-5（提升） 已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．
【正确答案】 （或或或）

14-6（提升） 已知函数，若过点存在2条直线与曲线相切，请写出满足条件的一个t值：______．
【正确答案】 或0.5（不唯一）

【原卷 15 题】 知识点 柱体体积的有关计算

【正确答案】

【试题解析】



15-1（基础） 如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．

【正确答案】 96

15-2（基础） 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积为__．

【正确答案】 26000πcm3

15-3（巩固） 在正方体中，，M为棱BC的中点，过直线AM的平面满足平面，则平面截正方体所得较小部分与较大部分的体积的比值为______．
【正确答案】

15-4（巩固） 如图，直四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过，，三点的平面记为，与平面的交点为．则此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比为__．

【正确答案】 或

15-5（提升） 正方体容器中盛满水，，分别是的中点，若个小孔分别位于三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的________.（用分数表示）

【正确答案】

15-6（提升） 如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______．

【正确答案】

【原卷 16 题】 知识点 求等比数列前n项和,函数新定义

【正确答案】

【试题解析】



16-1（基础） 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则__________，为数列的前项和，则__________.
【正确答案】 1 4718

16-2（基础） 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__________，且这个数列的前21项和的值为___________．
【正确答案】 3 52

16-3（巩固） 若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为，经实际操作可得，，，，…，根据这一规律，得到二阶等差数列，则________；若将圆形纸片最多分成1276块，则_________.
【正确答案】 37 50

16-4（巩固） 若表示不超过x的最大整数（例如：，），数列满足，.
（1）______；
（2）______.
【正确答案】 3

16-5（提升） 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设是一个“0，1数列”，定义数列为数列中每个0都变为“”，每个1都变为“”所得到的新数列.例如数列，则数列.已知数列，记数列，则数列的所有项之和为___________；数列的所有项之和为___________.
【正确答案】 （说明：第二空也可以写成

16-6（提升） 已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【正确答案】 2 115

【原卷 17 题】 知识点 已知正（余）弦求余（正）弦,用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用

【正确答案】


【试题解析】




17-1（基础） 在中，角所对的边分别为，已知
1、求的值；
2、若，则的面积.
【正确答案】 1、 2、

17-2（基础） 在中，角所对的边分别是，已知 .
1、求的值；
2、若，求的面积.
【正确答案】 1、 2、

17-3（巩固） 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
1、求B的值；
2、若，且，求的面积．
【正确答案】 1、； 2、

17-4（巩固） 已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.
1、求cosA；
2、若，，求三角形的面积.
【正确答案】 1、 2、

17-5（提升） 已知分别为三个内角的对边，.
（1）若是上的点，且平分角，，，求；
（2）若，，求的面积.
【正确答案】 （1）；（2）.

17-6（提升） △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
1、求；
2、若a＝2，c＝4，求△ABC的面积.
【正确答案】 1、 2、

【原卷 18 题】 知识点 求等差数列前n项和,分组（并项）法求和,利用an与sn关系求通项或项

【正确答案】

【试题解析】






18-1（基础） 已知数列的前项和，，，．
1、计算的值，求的通项公式；
2、设，求数列的前项和．
【正确答案】 1、， 2、

18-2（基础） 设数列{}的前项和为，已知＝＋．
1、求数列{}的通项公式；
2、若数列{}满足＝－＋，求数列{}的前项和．
【正确答案】 1、； 2、

18-3（巩固） 已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
1、求数列的通项公式：
2、保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【正确答案】 1、 2、2101

18-4（巩固） 已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
1、求数列，的通项公式；
2、若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.
【正确答案】 1、，； 2、

18-5（提升） 设正项数列的前项和为，且.
1、求的通项公式；
2、数列满足.设在数列且不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【正确答案】 1、 2、5651

18-6（提升） 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列．
1、求数列和的通项公式；
2、记为区间中的整数个数，求数列的前项和．
【正确答案】 1、， 2、

【原卷 19 题】 知识点 证明线面平行,面面平行证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法

【正确答案】

【试题解析】









19-1（基础） 在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.

1、求证：平面;
2、若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-2（基础） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

1、若，求证：直线平面PAB；
2、求二面角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-3（巩固） 如图，在三棱锥中，平面平面，E，F，N分别为的中点，点G在上，．

1、证明：平面．
2、求平面与平面的夹角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-4（巩固） 如图， 四棱锥 中， 侧面底面， 底面为梯形，， 且，．作交于点， 连接交于点．

1、设 是线段上的点， 试探究： 当在什么位置时， 有平面;
2、求平面 与平面所成二面角的正弦值．
【正确答案】 1、当点 ​是线段​上靠近点​的三等分点时， 有​平面​．
2、​．

19-5（提升） 在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）已知平面平面，求二面角的余弦值.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.

19-6（提升） 如图，四棱锥中，，且，直线与平面的所成角为分别是和的中点.

1、证明：平面；
2、求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

【原卷 20 题】 知识点 相关系数的计算,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值





【正确答案】

【试题解析】







20-1（基础） 某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i名学生的成绩为，其中，分别为第i名学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
86
88
83
84
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
1、根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．
参考数据：，，．
2、规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀．对优秀赋分1，对不优秀赋分0．从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望．
【正确答案】 1、“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关；说明见解析
2、分布列见解析；期望为

20-2（基础） 某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第i天的平均气温，表示第i天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：
，，．
1、根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；
2、现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白免价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数．
【正确答案】 1、可用线性回归模型拟合y与x的关系.
2、B家庭的损失较大

20-3（巩固） 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如下表：
数学成绩
90
99
101
104
111
112
113
117
123
130
物理成绩
65
66
52
67
72
73
72
77
69
87
（1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程（精确到0.01）；
（2）已知参加该次考试的10000多考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望．
参考数据：







1100
700
77714
122270
49730


参考公式：
①对于一组数据，，…，，
样本相关系数，当时，，其回归直线的斜率为．
②对于一组数据：，，…，，其方差．
③若随机变量，则，，．
【正确答案】 （1）有，；
（2）8413.

20-4（巩固） 2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次）
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
销售量y（百件）
80
87
75
86
100
79
93
68
85
77
参考数据：．
1、已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；
2、规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主㨨中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望．
（附：，相关系数）
【正确答案】 1、 2、答案见解析

20-5（提升） 某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，表示2018年月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：

1
2
3
4
5
6
7
8

12
14
20
22
24
20
26
30
（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；
（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.
参考数据：，，，，.
参考公式：相关系数.
【正确答案】 （1）答案见解析；（2）分布列见解析，千元.

20-6（提升） 全国 “两会”召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求．下表是2011年至2020年历年全国政协提案的数量统计．
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
提案数量y
（单位：千件）
5.762
6.069
5.641
5.875
5.857
5.769
5.21
5.36
5.488
5.044
1、请用相关系数说明y与x之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求y关于x的一元线性回归方程；（运算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）
2、中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众志成城．其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种．为方便市民合理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和40分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且上午去接种疫苗的概率分别为，要使两市民需要等待时间的总和的期望值不超过60分钟，求实数p的取值范围．
参考公式：相关系数，．
参考数据：．
【正确答案】 1、能， 2、

【原卷 21 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的弦长,求椭圆中的最值问题


【正确答案】

【试题解析】












21-1（基础） 已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
1、求椭圆的标准方程；
2、记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
【正确答案】 1、 2、

21-2（基础） 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.
1、求椭圆的方程；
2、若直线与椭圆交于、两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.
【正确答案】 1、 2、

21-3（巩固） 已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
1、求椭圆的的标准方程；
2、若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.
【正确答案】 1、 2、3

21-4（巩固） 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
1、求椭圆的方程；
2、过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【正确答案】 1、 2、

21-5（提升） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.

1、求椭圆的标准方程；
2、过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.
①若直线过左焦点，求四边形的面积；
②求的最大值.
【正确答案】 1、 2、①；②.

21-6（提升） 已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
1、求椭圆的方程；
2、设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【正确答案】 1、 2、

【原卷 22 题】 知识点 由函数的单调区间求参数,利用导数研究不等式恒成立问题,含参分类讨论求函数的单调区间,函数极值点的辨析

【正确答案】

【试题解析】












22-1（基础） 已知．
1、若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
2、若函数有两个极值点，证明：．
【正确答案】 1、； 2、证明见解析.

22-2（基础） 设函数，且.
1、求的取值范围；
2、若，且，求证.
【正确答案】 1、 2、证明见解析

22-3（巩固） 已知函数(为自然对数的底数).
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，函数的两个极值点为，证明.
【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.

22-4（巩固） 已知函数．
（1）若单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.

22-5（提升） 已知函数．
1、为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；
2、若函数有两个不同的极值点，证明：．
【正确答案】 1、 2、证明过程见详解

22-6（提升） 已知函数.
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，证明.
【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.


答案解析


1-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据对数函数的单调性化简集合，逐一判断各选项即可.
详解:
由，解得，所以，又，
对于A：Ü不成立，A错；
对于B：Ü不成立，B错；
对于C：不成立，C错；
对于D：，D正确．
故选：D
1-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
解一元二次不等式化简集合，再根据集合的包含关系求解即可.
详解:
由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：C
1-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据补集、子集的知识确定正确选项.
详解:
表示集合的补集，
因为，
所以．
故选：A
1-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用韦恩图法逐项判断，可得出合适的选项.
详解:
如下图所示：

由图可知，Ü，Ü，因为Ü，则，
，ACD选项都对，B错.
故选：B.
1-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
通过，得到之间的关系，再结合韦恩图即可得到答案.
详解:
由可得 ，如图，

由图①②，，，，A,B,C错误；
由图②，D正确.
故选：D.
1-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据补集的运算性质可得解.
详解:
由，根据补集的性质可得：，即
由图可知
故选：B
2-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
将当作未知数解出来,再化简即可.
详解:
由得

故选:A.
2-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的运算性质代入计算，即可得到结果.
详解:
由题意，可变形为，
则复数，
故选:．
2-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
利用复数的四则运算直接求得.
详解:
因为，
所以.
故选：D
2-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的除法运算法则求解即可.
详解:
．
故选：A
2-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用复数的除法运算直接求解.
详解:
因为，所以.
故选：B
2-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由复数的四则运算求解即可.
详解:
由，得.
故选：C
3-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.
详解:
在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，
于是得展开式的通项为，
令，得，常数项为.
故选：B
3-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
令，则可得所有项的系数和为，再根据二项展开式的通项，代入整理求解．
详解:
令，则可得所有项的系数和为且，解得
∵的展开式中的通项
∴当时，展开式中的常数项为
故选：C．
3-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
求出，解方程即得解.
详解:
解：的展开式的通项，
当时，
则，解得．
故选：A
3-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据题意将代入，由各项系数的和为4可求得的值，再根据二次项展开式求出的通项
，分别与和相乘得到常数项，可求出的值，再合并即可得到结果.
详解:
由题意，令，得到展开式的各项系数和为，所以，解得.所以
，展开式的通项为
，令，解得；令，解得，
所以展开式中的常数项为.选项D正确，
故选D.
3-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用二项式的通项公式求某一项.
详解:
设二项式 展开式中的第 项为常数项，则 ，
，所以 ，
令 ，则 ，所以或舍去，
所以 ，又因为 ， 所以，
所以 的展开式中的常数项，由展开式中的常数项和 的项构成，则 ，
当为常数项时，，；
当为含 的项时， ，，；
所以 的展开式中的常数项为 .
故选：B
3-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
二项式系数的和为，令，得所有项的系数和为0，可得：，从而，然后可得二项式展开式的通项为：，最后计算可得常数项.
详解:
由题意得二项式系数的和为，
令，得所有项的系数和为0，则，解得，
所以的通项公式为，
令，得，所以展开式中常数项为，
故选：C.
点睛:
本题考查二项式定理及其性质、二项式系数及项的系数间的关系、通项公式、常数项等基础知识；考查分析问题解决问题的能力，属于常考题.
4-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用平似的有关知识即可解出．
详解:
由平似知识可知，，，所以，解得，从而．
故选：A．
4-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.
详解:
在直角三角形中，，
在三角形中，，
，
由正弦定理得.
在直角三角形中，


.
故选：D
4-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
设，根据已知条件表示出，,然后由余弦定理列式解方程，即可求得答案.
详解:
依题意，，
设，在、中，，，
所以，,
在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以笔峰塔的高度为25米,
故选:B.
4-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.
详解:
如图所示：

由题意得：，
在中，，
在中，由正弦定理得，

所以，
在中， ，
所以，
所以赛道造型最高点A距离地面的高度约59.
故选：A.
4-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
在中由正弦定理求得，在直角中，，
将平面画成平面图，以地平线为基准，根据各个高度关系求MN的高度.
详解:
在中，，，
所以，
由正弦定理得 ，
所以，
在直角中，，
将平面画成平面图如图所示：

由题意知：，， ，
.
故选：C.
4-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
依题意画出图形，令，利用锐角三角函数计算可得；
详解:
解：依题意可得如下图形，其中，，，，
则，令，，，
所以，
，
则，即，
所以
其中


所以
，
所以点的海拔约为

故选：C
5-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
利用向量共线定理设，，通过线性运算得，结合题目条件得到方程组，解出即可.
详解:
作出如图所示图形：

三点共线，故可设，，
则，
，，解得.
故选：D.
5-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由向量线性运算的几何应用，表示出，从而直接求值.
详解:
由题意知，，，，，
所以，
又，所以，，所以．
故选：C．
5-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用平面向量的线性运算可求出，则得到，的值，进而即可求解．
详解:
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，，故.
故选：A．
5-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
设，根据平面向量的线性运算，表示出，结合题设可得关于参数的方程，即可求得答案.
详解:
由于在射线上,设，

则

,
因为，故，解得，
故选：D
5-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即.
详解:
根据图示可知，三点共线，由共线定理可知，
存在实数使得,
又，所以，
又三点共线，所以，解得，
即可得，所以，
所以，即，可得，
又，即可得.
故选：A
5-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算.
详解:
由题意可得：，
若，则，
可得，故.
故选：D.
6-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用正切型函数的对称性可得出的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.
详解:
因为函数的图象的一个对称中心为，
所以，，可得，
，则，故函数的最小正周期为，
当时，可知函数的一个最小正周期为.
故选：C.
6-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得，由可得，即可求解.
详解:
将函数图象向右平移个单位长度，
得，图象关于y轴对称，
则函数为偶函数，
所以，解得；
又，所以，所以，
则.
故选：A.
6-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据已知条件列方程，求得的表达式，进而求得的最小值.
详解:
由于，所以，
由于，所以，则，
由于为的一条对称轴，
所以，
由于，所以的最小值为.
故选：A
6-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图像的一条对称轴在区间内，求出的取值范围，验证周期得答案
详解:
解：，
由，得，
取，得，取，得，
由，得，此时，
由，得，此时，不合题意，
依次当取其它整数时，不合题意，所以的取值范围为，
故选：C
6-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由周期为，可得.根据对称中心以及正弦函数的对称性可得或.分别将或代入，得出范围，根据正弦函数的单调性即可得出的值.
详解:
由已知函数的最小正周期为，可得.
又函数图象关于点对称，所以有，
所以，又，所以或.
当时，，由可得，
因为函数在上单调递减，不满足题意；
当时，，由可得，
因为函数在上单调递增，满足题意.
所以.
故选：D.
6-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间内，求出的取值范围，验证周期得答案.
详解:
，
由，得，
取，得，取，得，
由，得，此时，
由，得，此时，不合题意，
依次当取其它整数时，不合题意，所以的取值范围为，
故选：D
7-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先由函数为偶函数求出的值，即可写出的解析式，然后令，则，最后利用二次函数的图象与性质分情况求出的值，即可求得结果．
详解:
解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，
令，则．易知在上是增函数，所以．
因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去．
综上，，
故选：D．
7-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据偶函数的定义域关于原点对称可求出的值，进而可得定义域，再由偶函数的定义求出的值可得的解析式，再求的最小值即可.
详解:
因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，可得，
所以，定义域为
因为即对于恒成立，
所以，即对于恒成立，
所以，
所以，当时，
故选：D.
7-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值.
详解:
由和分别是定义在上的偶函数和奇函数，
则，，
故，①
，②
①+②得，故，
令，则，则，
当且仅当，即时取等，
故的最小值为1，
故选：B.
7-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由题，将代入，进而根据奇偶函数的性质得出方程组，进而求解可得，再根据基本不等式求解即可.
详解:
由题，将代入得，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得，当且仅当即时取等号.
故选：D
7-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
详解:
因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得，
综上，．
故选：D．
7-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.
详解:
解：为奇函数，为偶函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由，即，
得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最小值为.
故选：B.
8-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设该双曲线的左焦点为，分析可知四边形为矩形，利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
详解:
因为双曲线的右焦点为，所以，设该双曲线的左焦点为.
由题意可知为、的中点，则四边形为平行四边形，
因为，所以，四边形为矩形，所以，，
由的面积为，得，则.
又，则，
所以.
则由双曲线的定义可得，所以，则离心率.
故选：C.
8-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设，根据矩形对角线长相等和矩形面积可构造方程组，化简得到关于的齐次方程，解方程可求得离心率.
详解:
由双曲线方程知其渐近线方程为：，
不妨设在上，设，则，，
四边形为矩形，，，
矩形的面积，
由得：，即，
解得：，.
故选：C.
8-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据题意可得直线的方程，由条件可得，然后根据两个三角形的面积相等，即可得到结果.
详解:
根据对称性，不妨设，
由已知，得，，直线的方程为，
若点在第一象限，则联立直线与直线，得，
，即；
若点在第二象限，联立直线与直线，得，
同理可得；
分别设点和点到直线的距离为，，则，
由与的面积相等，得，
即，所以离心率．
故选:B
8-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
利用三角形的内切圆圆心到各边距离都等于半径，从而得到，，，再由找到的等量关系，进而求得离心率的值.
详解:
设的内切圆半径为，则，，，
所以，又,，所以，即，所以，
故选：D.
8-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据几何关系表示出切线的方程为，进而可求点的坐标，表示出三角形的面积，利用齐次化法求离心率.
详解:

如图，不妨设切线的倾斜角为锐角，
过的直线与圆相切于点，
则,且所以，
所以，即切线的斜率等于，
所以切线的方程为，
联立，解得，
所以，
所以，即，
解得或（舍），
所以，则，即，
所以离心率为，
故选:D.
8-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
不妨设F是该双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得，即可求出离心率.
详解:
不妨设F是该双曲线的右焦点，设左焦点为，则F，在以AB为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接，则四边形为矩形，

则可得，，
所以，
又因为，
所以，得，
所以.
故选：D.
9-1【基础】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．
详解:
将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为，故D 正确．
故选：ABD．
9-2【基础】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
分别求出平均数，方差，中位数和第80百分位数，即可判断.
详解:
把数据从小到大排列后：36.1，36.1，36.2， 36.3， 36.3，36.5， 36.6.
所以平均数为.故A正确；
方差为


.
故B错误.
中位数为36.3.故C正确；
因为，所以第80百分位数为第6个数字36.5.故D错误.
故选：AC.
9-3【巩固】 【正确答案】 BC
【试题解析】 分析:
根据折线图，结合极值，百分位数，方差，众数，中位数和平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
详解:
对于A选项，乙同学体温的最大值为，最小值为，故极差为，A错；
对于B选项，甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，
又，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第个数据，即，B对；
对于C选项，乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，
故乙同学体温的平均数为：，
故乙同学体温的方差；
又甲同学体温的平均数为：，
故甲同学体温的方差，
又，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C对；
对D：甲同学体温的众数为,，；
中位数为与平均数相等，D错.
故选：BC.
9-4【巩固】 【正确答案】 AB
【试题解析】 分析:
对于A，众数是出现次数最多的数；
对于B，极差是最大值减最小值；
对于C，根据百分位数的计算公式即可；
对于D，根据平均数的计算公式即可.
详解:
根据表格可知：
这20人成绩的众数为75，故A对；
极差为故B对;
，所以分位数为，故C错；
平均数为.故D错
故选：AB
9-5【提升】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
根据平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用频率估计概率可判断C选项；利用极差与男生、女生锻炼的平均时长的分布可判断D选项.
详解:
对于A选项，由平均数公式可知，
女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于
，A错；
对于B选项，因为，
因此，男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是，B对；
对于C选项，男生每周锻炼身体的平均时长大于的有周，
所求概率为，C错；
对于D选项，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内共有个，女生有个，
男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的共个，女生为个，
男生每周锻炼身体的平均时长的极差为，女生为，
据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，
所以，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大，D对.
故选：BD.
9-6【提升】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
对于A，根据古典概型的概率公式计算判断，对于B，根据百分位数的定义计算判断，对于C，计算出平均数和中位数进行判断，对于D，通过计算平均数和方差进行判断即可.
详解:
从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；
，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：这10个数的平均数为．
因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：
10个数的方差为．
去掉70和10后，平均数为，
方差为，
，，所以D正确．
故选： BD．
10-1【基础】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的.
详解:
①
②
②①得，
，当时，，当时，，满足上式，
故，
，
故，
，
故.
故选：ABC.
10-2【基础】 【正确答案】 CD
【试题解析】 分析:
根据等差数列定义求得从而得到，将表示出来，根据裂项相消法即可得到结果.
详解:
设等差数列的公差为．依题意有，解得，所以，，，
所以．因为，即，所以，所以可以取100，101，
故选:CD．
10-3【巩固】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
根据，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由恒成立求解.
详解:
因为数列为等差数列，是其前项和，，.
设首项为，公差为，
所以，解得，
故，
所以，
所以.
因为对于一切都有恒成立，
所以，解得，
故选：BCD.
10-4【巩固】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
结合对数运算及数列求和依次求得，求得，则问题等价于对任意的恒成立，即可根据二次函数的性质列式求解.
详解:
由题意知，，故，
由，得， ，
则不等式恒成立等价于1恒成立，而，∴问题等价于对任意的恒成立.
设，则，即，解得：或.
故选：AD.
10-5【提升】 【正确答案】 BC
【试题解析】 分析:
根据题意和等差数列的性质可得，构造函数、，利用导数研究两个函数的性质可得，即，进而，得，结合数列的单调性即可求解.
详解:
，
即而，
即有
令，则有，
令函数，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故，从而有，
则有，当且仅当时，等号成立.
同理，即，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立.
又，所以，故有，
所以，，则
从而，解得，又，，
所以故是单调递减数列，当或时，取得最大值，
所以或
故选：BC.
10-6【提升】 【正确答案】 CD
【试题解析】 分析:
由题意得到数列的前项依次为 ，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解.
详解:
由题意，数列的前项依次为 ，
利用列举法，可得当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
不满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
不满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
满足，
所以使得成立的的可能取值为.
故选：CD.
点睛:
本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11-1【基础】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
A选项，作出辅助线，得到AC⊥BD，，得到线面垂直，证明出AC⊥BP；B选项，假设⊥平面EFPQ，推出矛盾，B错误；C选项，作出辅助线，得到，，证明出面面平行；D选项，作出辅助线，找到异面直线CE和所成角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.
详解:
对于A，如图1所示，因为AB＝BC，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又因为几何体为长方体，所以⊥平面ABCD，
因为平面，所以，
又因为，平面，
所以⊥平面，又因为平面，
所以AC⊥BP，故结论正确；

对于B，如图2所示，

假设⊥平面EFPQ.
因为平面EFPQ，所以⊥.
因为P，Q分别为棱，的中点，所以四边形为平行四边形，故，
所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；
对于C，如图3所示，连接BD，，，，由条件可知，
因为平面，平面，所以平面，
又，，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，
所以平面平面EFPQ，故结论正确；

对于D，如图4所示，

在CD上取靠近D的一个四等分点G，连接FG，，取中点，连接，
则是的中点，所以，
又四边形为平行四边形，所以，故，
所以CE和所成角即为或其补角，设，则AD＝CD＝2，
由勾股定理得，，
，
所以，故结论错误.
故选：AC.
11-2【基础】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
利用线面平行判定定理即可证得选项A 正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B 正确；利用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.
详解:
选项A：设AC与BD交于点，连接OE，则，
又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE，故A正确；
选项B：连接PO，因为平面ABCD，
所以，又，，
所以平面PAC，又平面BDE，
所以平面平面BDE，故B正确；
选项C：因为平面PAC，平面PAC，所以，故C正确；
选项D：因为，所以异面直线PC与AB所成的角为或其补角，
设正方体的棱长为1，连接PD，则，，
在中，，
所以异面直线PC与AB所成的角不等于，故D错误．

故选：ABC．
11-3【巩固】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
根据两直线位置关系的判断可知直线与直线相交或异面，知A错误；过点作，由异面直线所成角的定义可知两直线成角为，设，由构造方程可求得，知B正确；由线面角的定义可知所求角为，设，由无解可知C错误；作，可证得四点共面，进而确定两平面总是相交，知D错误.
详解:
对于A，平面，平面，
当与重合时，与相交；当与不重合时，与异面；
即不存在直线与直线平行，A错误；

对于B，过点作，交于点，连接，

，或其补角即为异面直线所成角；
平面，平面，又平面，；
设正方体的棱长为，，则，
，，，
若，则，解得：，
异面直线所成的角可以为，B正确；
对于C，连接，交于点，连接，

平面，平面，，
四边形为正方形，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为，，则，，
，
若，则，方程无解，
直线与平面所成的角不能为，C错误；
对于D，作，交于点，连接，

，四点共面，
平面，与不平行，与相交，
即平面与平面总是相交，D错误.
故选：ACD.
11-4【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
由线面垂直的判定定理可判断A；证明平面，PC平面，可判断B；求出PC与所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC与底面ABCD所成的角为60°时，的长度可判断D.
详解:
对A，在正方体中，易得，底面，
平面，，
，平面，则平面，
因为平面，所以，故A正确；
对B，因为平面，平面，平面，且，
所以直线PC与直线异面，故B正确；
对C，因为，所以PC与所成的角即为PC与所成的角，
由图可知，当点位于点处时，最大，此时，
所以PC与所成的角恒小于60°，故C不正确；
对D，过点作平面交直线于点，则，
设正方体的边长为，PC与底面ABCD所成的角即为，
若，则，
则，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.
故D正确.

故选：ABD.
11-5【提升】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
对于A，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积即可.
详解:
点到平面的距离为为定值，
又，
所以，即三棱锥的体积为定值，故正确；
设中点为，连接，

则即为异面直线与所成的角
在中，
所以异面直线与所成的最小角为45°，故不正确；
若为中点，则，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正确；
取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，

所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为，故正确．
故选：．
11-6【提升】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
对于A：根据平行关系求截面，进而可得周长；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：根据面面平行分析判断；对于D：转化为长方体的外接球分析运算.
详解:
对于A：连接，
因为为的中点，则//，
又因为//，，则为平行四边形，可得//，
则//，
过作//，设，则//，
可得，
连接，设，连接，
可得过点，E，F的平面截正方体所得的截面为五边形，
因为，则，
可得，
所以截面周长为，故A错误；

对于B：因为//，则异面直线与所成角为，
可得，所以，故B正确；

对于C：取的中点，连接，
由题意可得：//，，则为平行四边形，所以//，
又因为//，，且//，，
可得//，，则为平行四边形，所以//，
可得//，
平面，平面，则//平面，
又因为//，且//，可得//，
平面，平面，则//平面，
，平面，所以平面//平面，
则点P在线段上，可得，
所以当点P为线段的中点时，取到最小值，
故C正确；

对于D：三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，
因为，可得外接球的半径，
所以外接球的表面积，故D正确；
故选：BCD.
12-1【基础】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可.
详解:
解:由题知,


当且仅当时取等,
故有:
关于选项A,构造
,
所以在上单调递增,
,
即,
故选项A正确;
关于选项B,
不妨取代入,
可得不成立,
故选项B错误;
关于选项C,

,
,
故选项C正确;
关于选项D,
构造,

令,

在单调递减,
当时，,
,
即
即单调递减,
,
即,
,
,
,
故选项D正确.
故选:ACD
12-2【基础】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
分别构造函数，求导确定这些函数的单调性，即可利用单调性求解.
详解:
令故当时，，故在单调递增，
由于，故，即，进而，故A正确，
令，当时， ，所以在单调递减，在时，此时单调递增，
由于的大小关系无法确定，故的大小关系也无法确定，故 B错误，
令，，
令，则，
在上单调递增，，
，在上单调递减，
，
，故C不正确；
构造函数，
记，所以在单调递增，所以，
因此，所以在单调递增，由于，所以，进而，即，故D正确，
故选：AD
点睛:
方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
12-3【巩固】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
对于AB选项，将式子变形成，设，，B选项的判断可以通过值域，值域的包含关系进行判断，然后结合B选项去判断A，对于C选项可以举反例说明，对于D选项可以通过同构建立不等式来判断.
详解:
由得.
设，，故，，递减，，，递增，故；
设，，故，，递减，，，递增，故.
于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正数，B选项错误；
不妨取，则，令，当时，根据上述分析，即存在这样的，使得，若C成立，则，推出，即C不一定成立，C选项错误；
由上述分析，当时，，当时，递增，若，所以，A选项正确；
若，根据指数函数的值域，，即成立；
若，此时，由可得，，故，设，则，故当时，故递增，而，，故，由，于是，D选项正确.
故选：AD
12-4【巩固】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
构造函数，利用导数得出，由基本不等式判断A；由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.
详解:
解：因为正数，满足，
所以，构造函数，，
令，恒成立，所以在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，
所以在上单调递增，由，可得，
对于A，，所以，故A错误
对于B，由，可得，所以，故B正确
对于C，由，可得，则，故C错误
对于D，由，可得，，所以，所以，故D正确．
故选：BD．
12-5【提升】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
根据函数的图象可得，结合条件可得，，利用对勾函数的性质可判断A，构造函数，根据函数的单调性可判断B，构造函数，利用导数研究函数的性质结合条件可判断CD.
详解:
画出函数与的大致图象，

由题可知，即，
所以，又，
所以，可得，，
由对勾函数的性质可知，故A正确；
设函数，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
又，
所以， ，即，故B错误；
设函数，则，
由，可得单调递增，
由，可得单调递减，
因为，
所以，即，
所以，即，故C正确；
又，，
所以，即，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
点睛:
关键点点睛：
本题关键点是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据不等式的“形状”变换函数“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
12-6【提升】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
利用导数分析函数的单调性，分析可知，由可得出，即，可得出，，利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出的值，可判断B选项；可知，其中，分析函数的单调性可判断C选项；构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合放缩法可判断D选项.
详解:
因为函数的定义域为，函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，且，
即，，即，
因为，，由零点存在定理可知，，
且，所以，.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，令，其中，
，则函数在上单调递增，
所以，，C对；
对于D选项，令，其中，
则，
当时，，，则，
则在上单调递增，因为，
，
又因为，所以，D对.
故选：ACD.
点睛:
关键点点睛：本题考查函数零点相关的不等式相关的问题，解本题的关键在于分析得出，通过指对同构得出，即，再结合函数的单调性来进行判断.
13-1【基础】 【正确答案】 4
【试题解析】 分析:
确定抛物线的焦点坐标，求得，根据列式计算，可得答案.
详解:
由题意可知，令，则，故，
由，得：，
故4
13-2【基础】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:
设，，中点坐标为，根据抛物线定义可得，再结合线段AB的中点的横坐标是2，可得，即可得答案.
详解:
解：设，，中点坐标为，
则，，
解得.
故1.
13-3【巩固】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:
根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入求解.
详解:
设，则,即，
所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，
由得,将代入抛物线中得所以，
故1

13-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可
详解:
依题意可得，所以抛物线的方程为.
故
13-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
首先根据题意得到，从而得到，设直线的方程为，与抛物线联立得到，再根据焦半径公式求解即可.
详解:
如图所示：

，，
∴，∴，
即，
∴，∴，
不妨令点在第一象限，则直线的方程为，
联立，得，即，
所以，解得，所以的标准方程为．
故
13-6【提升】 【正确答案】 4
【试题解析】 分析:
首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.
详解:
设，，则，
设直线的方程为，联立抛物线方程有
，，，
则，直线的方程为，
令，则，则，
则得，

∴，∴，，又，
则，∴点，，解得．
故4.
14-1【基础】 【正确答案】 或（写出其中的一个答案即可）
【试题解析】 分析:
首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.
详解:
解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故或（写出其中的一个答案即可）
14-2【基础】 【正确答案】 （答案不唯一）
【试题解析】 分析:
先对求导，再假设直线l与的切点为，斜率为，从而得到关于的方程组，解之即可求得直线l的方程.
详解:
因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故（答案不唯一）.
14-3【巩固】 【正确答案】 （答案不唯一）
【试题解析】 分析:
首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点，利用导数的几何意义，列式求参数的值.
详解:
设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故 （答案不唯一）
14-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
设出切点，求出切线方程，问题转化为无实根，求出方程有实数解对应的的范围，由此可得结论.
详解:
设点为曲线C上任意一点，
由，得，
则曲线C在点B处的切线l的方程为．
据题意，切线l不经过点，
则关于的方程无实根，
即无实根，
假设方程有解.
因为时，方程无解，
所以方程有解等价于方程有解，
设，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
又当时，；当时，.
，，当时，；当时，，
根据以上信息，作出函数的大致图象，

观察图象，可得当时，方程有解，
所以或，
所以由无实根，可得，
所以的取值范围是.
故答案为.
14-5【提升】 【正确答案】 （或或或）
【试题解析】 分析:
设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的方程代入切线方程，可得出，设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，易知、关于的方程的两个根，且，利用三次方程根与系数的关系可求得实数的值.
详解:
设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，且，
因为这两条切线关于直线对称，则，
所以，，
易知、关于的方程的两个根，设该方程的第三个根为，
则，
则，
所以，，
因为过点恰能作两条直线与曲线相切，
则关于的方程只有两个不等的实根，不妨设，
则，
若，则，可得，解得；
若，则，所以，，可得，，
所以，，解得.
综上所述，或.
故（或或或）.
点睛:
关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线的切线求参数的值，解题的关键在于写出切线方程后，将切点坐标转化为三次方程的根，结合三次方程根与系数的关系求解.
14-6【提升】 【正确答案】 或0.5（不唯一）
【试题解析】 分析:
先求得切线方程，根据切线过点（t，0），得到，令，根据过点存在2条直线与曲线相切，利用导数法求解.
详解:
解：设切点坐标为，
因为，
所以，则，
所以切线方程为：，
因为切线过点（t，0）,
所以，即，
令，则，
当时，，当时，，
且当时，，当时，，
所以当时，函数取得极大值，
因为过点存在2条直线与曲线相切，
所以，
故（不唯一）
15-1【基础】 【正确答案】 96
【试题解析】 分析:
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，再由柱体的体积公式计算即可得出答案.
详解:
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，
使，所以V几何体＝V三棱柱.
故答案为.

15-2【基础】 【正确答案】 26000πcm3
【试题解析】 分析:
将相同的两个几何体对接为圆柱，由圆柱的体积求解即可.
详解:

将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的体积是新圆柱体积的一半，所求体积为：．
故26000πcm3．
15-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再求出较小部分的体积作答.
详解:
在正方体中，取的中点，连接，如图，

有，而正方体的对角面是矩形，则，
因为，则，又平面，平面，即有，
而平面，因此平面，
因为平面，于是平面平面，依题意，平面即为平面，
令的延长线与延长线的交点为，的延长线与延长线的交点为，
显然，即点与重合，记为，
因此
，又正方体的体积，
所以平面截正方体所得较小部分与较大部分的体积的比值为.
故
15-4【巩固】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
根据已知得出平面，即可得到，则，则点为的中点，连接，，设，梯形的高为，，则，将四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为，，计算出与，即可得出，通过求出，即可得出答案.
详解:
直四棱柱中，四边形为梯形，，
平面，
平面与平面、平面的交线平行，
，
，
，
为的中点，
如图，连接，，设，梯形的高为，

四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为，，
设，则，
则，
，
，
又，
，
则此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比．
15-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据正方体中剩下的水最多时，水平面必经过三个小孔中的两个，分别讨论水平面经过、和，另一个小孔在水平面上方的情况，作出截面，结合函数最值和基本不等式可求得流出水的最小体积，对比三种情况可得最终结果.
详解:
当正方体中剩下的水最多时，水平面必经过三个小孔中的两个；设正方体的棱长为，则，；
①当水平面经过小孔，另一个小孔在水平面上方；
设过的平面与棱的交点分别为，则流出的水的最小体积是台体的体积，如下图所示，

设，则，
由∽得：，
（当且仅当，即时取等号），
又，此时正方体中的水最多会剩下原体积的；
②当水平面经过小孔，另一个小孔在水平面的上方；
设过的平面与棱的交点分别为，则流出的水的最小体积是台体的体积，如下图所示，

设，
∽，，
，
当时，，
又，此时正方体中的水最多会剩下原体积的；
③当水平面经过小孔，另一个小孔在水平面上方，
设过的平面与棱的交点分别为，则流出的水的最小体积是三棱柱的体积，

设，则，
又，此时正方体中的水最多会剩下原体积的；
综上所述：正方体中的水最多会剩下原体积的.
故答案为.
15-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC,
据此计算即可得解.
详解:
如图，在正方体中，

若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC,
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设正方体内水的体积为V，而，
而（升），
（升）
所以V的取值范围是.
故
16-1【基础】 【正确答案】 1 4718
【试题解析】 分析:
根据所给定义列出数列的前几项，即可得到数列是周期数列，且周期为，从而求出，再根据并项求和法计算可得.
详解:
空①因为，且，所以，，.
空②，又，所以，
即，
所以数列是以3为一个周期的数列，所以.
故1；4718.
16-2【基础】 【正确答案】 3 52
【试题解析】 分析:
由题意得对任意的恒成立，从而可求数列的通项公式，从而可求与.
详解:
根据“等和数列”的定义及公和为5，可得对任意的恒成立.
因为，所以.
所以.
所以.
故答案为:3;52.
16-3【巩固】 【正确答案】 37 50
【试题解析】 分析:
由二阶等差数列的定义结合所给条件求出数列的通项公式，再由通项公式求和所对应的项数.
详解:
因为数列为二阶等差数列，
所以数列为等差数列，
由，，，，
可得，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，，
将以上各式相加可得，，又，
所以，其中，经验证也满足该关系，
所以，
所以，
令，则，
解得.
故；.
16-4【巩固】 【正确答案】 3
【试题解析】 分析:
利用累加法求得，根据函数新定义求且，应用等差数列前n项和公式求.
详解:
由题设，，
所以，故，则，
而，则.
故3，
16-5【提升】 【正确答案】 （说明：第二空也可以写成
【试题解析】 分析:
空①根据新定义，利用递推关系得出结果即可；
空②根据，，得出，，联立得到，即求得结果.
详解:
空①中有2个1，3个；中有8个1，7个；中有22个1，23个0，数列的所有项之和为
空②设数列中0的个数为，的个数为，则，，
法一：两式相加有，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，所以①；两式相减有，且，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以②，
①-②得，数列的所有项之和即为1的个数，即为.
法二：
，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，
所以，又因为，所以，
即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，
数列的所有项之和即为1的个数，即为.
故①；②.
点睛:
方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.
16-6【提升】 【正确答案】 2 115
【试题解析】 分析:
第一空，求出，即可确定第二个理想数；
第二空，将数列分组可得到第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是前N组共个数，其和为，由此可得前N组共个数，其和为，继而判断当时，若，则是的一个理想数．从而根据项数，确定答案.
详解:
由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为，
第2组2个数：，，其和为，
第3组3个数：，，，其和为，
……，
第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是，前N组共个数，其和为，
当时，不可能是2的整数幂，
设第组还有t个数（），这t个数的和为，
所以项数，其前n项和，
当时，若，则是的一个理想数．
由项数，即得，
由，因此．
当时，，理想数为6；当时，，理想数为14；
当时，，理想数为30；当时，，理想数为62；
所以当项数时，所有理想数的和为．
故2；115
17-1【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据求，然后利用正弦定理和求即可；
（2）利用余弦定理和得到，然后利用面积公式求面积即可.
由于，则，因为，
由正弦定理知，则.
因为由余弦定理，得，
即，解得，而，
所以的面积.
17-2【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由求得，利用正弦定理边化角求得，即可求得答案；
（2）利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求得答案.
由于， ，则 ．
因为
由正弦定理知 ，则 ,
因为， ，所以， ,
故 ；
因为，，由余弦定理，得 ，
即 ，解得（负值舍去），而，
所以的面积.
17-3【巩固】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理统一为三角函数，再由两角和的正弦公式化简求出即可得解；
（2）由已知求出，再由正弦定理可得，联立已知求出，利用三角形面积公式求解.
，


,
，，又，
即，又.
因为，且，所以，
则.
由正弦定理可得，即，化简得，
又，联立可解得
故△ABC的面积为.
17-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.
(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积．
因为，由正弦定理得
因为，所以.
因为角为钝角，所以角为锐角，所以
由(1)，由余弦定理，
得，所以，
解得或，不合题意舍去，
故的面积为=
17-5【提升】 【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）通过正弦定理进行角化边，然后结合余项定理，化简后再进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式进一步化简，得到A,B的关系，最后结合条件和余项定理解得答案；
（2）根据（1），结合二倍角公式求出sinA,sinC，然后通过正弦定理求出a，最后用面积公式求出答案.
详解:
（1）因为，所以.
又因为，所以，即.
所以，因为,
所以，，
则，所以，或（舍），所以，，所以，因为A,B,C为三角形ABC的内角，所以，，故.
（2）因为，所以，，则.
所以.
所以.
因为，所以，所以三角形ABC的面积为.
17-6【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）结合（1）的结果，由余弦定理求得b，再利用三角形面积公式求解.
解：由正弦定理及，
得，
即，
因为，所以，
所以，
故.
由余弦定理得，，
代入数据，得，
解得b＝3或b=-4（舍去），
故的面积.
18-1【基础】 【正确答案】 1、，
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；
解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
解：由（1）可得，


18-2【基础】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
(1)根据数列与的关系可得，结合等比数列的定义即可求解；
(2)由(1)可得，结合等比数列和等差数列前n项求和公式，利用分组求和法计算即可.
由知，
当时，，得；
当时，，
则，得，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故；
由(1)得，，



.
18-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、2101
【试题解析】 分析:
（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.
设数列的公差为，
因为是和的等比中项，
所以，即，
因为
所以或（舍）
所以，
所以通项公式
由（1）得，
因为与（）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以
18-4【巩固】 【正确答案】 1、，；
2、
【试题解析】 分析:
（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．
由题设得：，
∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，
∴，
当时，得：，
当，由①，②，
由①－②整理得：，，
∴，故，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.
依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，；
∴．
18-5【提升】 【正确答案】 1、
2、5651
【试题解析】 分析:
（1）利用数列前项和与通项公式的关系即可求得的通项公式；
（2）利用分组求和法即可求得数列的前项和
正项数列的前项和为，且①
则②
②①得，整理得
又，则，即
又由，可得或（舍）
则数列是首项为2公差为1的等差数列，则
由（1）可知，
则由，可得.
设数列的前项和为，数列的前项和为
则由在数列且不在数列中的项按从小到大的顺序
构成数列的前项和

18-6【提升】 【正确答案】 1、，
2、
【试题解析】 分析:
(1)根据关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;
(2)计算后再应用等差数列前项和公式,等比数列前项和公式分组求和即可.
因为，所以当时，；
当时，，
时也成立，所以．
设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且，
所以，
则，所以，所以．
因为为在区间中的整数个数，所以，
则
所以．
19-1【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
(1)根据题意由面面平行,证明线面平行即可;
(2)由可得到底面的长度和角度,由与平面所成角为可得到母线长,通过建立直角坐标系,求两个面的法向量,进而求得二面角大小的余弦值.
证明:为圆的直径,是上的两个三等分点,
,
,
均为等边三角形,
,
四边形是平行四边形,
,
又平面平面,
平面,
平面平面,
平面,
,
平面平面,
平面,
平面.
连接,则圆,
,
,
又,
以为原点,所在直线分别为轴,建系如图示:

则,
,
设平面的法向量,
,
令则,
而平面的法向量为,
,
即二面角的余弦值
19-2【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据线面平行的判定定理分析证明
（2）建系，利用空间向量求二面角.
取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，

因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，即，且，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
则，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
又N为BC的中点，则，
所以，，，，
设平面CPD的法向量为，
则，令，则，
设平面CPN的法向量为，
则，令，则，
所以，
由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．
19-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）由中位线得到两组线线平行，再得到线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质证明线面平行；
（2）利用空间向量计算二面角的余弦值即可.
证明：因为E，F，N分别为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面平面，
所以平面与平面的夹角即平面与平面的夹角．
以F为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

，

设平面的法向量为．
得可取．
设平面的法向量为．
得可取．
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19-4【巩固】 【正确答案】 1、当点 ​是线段​上靠近点​的三等分点时， 有​平面​．
2、​．
【试题解析】 分析:
（1）根据，得到，，即可推出平面∥平面，然后根据面面平行的性质即可得到∥平面；
（2）利用空间向量的方法求二面角即可.

当点是线段上靠近点的三等分点时，有∥平面．
证明： 取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点， 连接交于点．由底面为梯形，，，
所以， 则，又，所以，，
而平面，平面，平面，平面，则∥平面，∥平面，
又，所以平面∥平面,
又平面，所以∥平面．

因为，，即为正三角形，
又，，所以为正三角形，所以，
由平面平面，，平面，平面平面，得平面,
因为平面，平面，所以，，
于是，以为坐标原点， 可建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，即，
平面的一个法向量为，
设面 与面所成二面角的平面角为， 则
，因为，所以，
故平面 与平面所成二面角的正弦值为.
19-5【提升】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）取CD中点M，进而证明平面平面，然后通过面面平行的性质定理得到答案；
（2）连接AC交BD于O，根据条件证明AC⊥BD，PO⊥平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值.
详解:
（1）取的中点，连接，，

∵为中点，
∴，而平面，平面，∴平面，
又∵为等边三角形，∴
∵，，
∴，，
∴，∵BM,AD共面于平面ABCD,∴，
而平面，平面，∴平面，
又，∴平面平面，而平面，∴平面.
（2）根据条件，连接交于，连接，由对称性知，为中点，且，
∵平面平面，且交于BD，∴平面，
∵在中，AO⊥OD，AD=2，，则AO=1，，
又PD=2，∴，
在正中，∵，∴.
以O为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，令x=1，则，
，令a=1，则，
∴，
由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19-6【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）取的中点，连接，通过证明平面平面，可得平面；
（2）点A为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，直线与平面的所成角为，可得P坐标，后利用向量法可得平面与平面夹角的余弦值.
取的中点，连接，
是的中点，，
平面平面，
平面，
同理可得平面，
平面平面，
平面平面，平面，平面；
以点A为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得，
.
设，因，直线与平面的所成角为则.
又因则点的横坐标.
又，则，结合题图可知，
则，.
设是平面的一个法向量，则，
令，则.
设是平面的一个法向量，则
令，则.
又因两平面夹角范围为，设平面与平面夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为.

20-1【基础】 【正确答案】 1、“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关；说明见解析
2、分布列见解析；期望为
【试题解析】 分析:
(1)根据公式计算出的值后可得出结果；
(2)由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4，然后求出概率，再用期望公式可求解.
由题意，，
所以“数学总评成绩”与“物理总评成绩”高度相关．
由题意得：X的可能取值为0，1，2，3，4．
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，所以
，，，
，，所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





所以．
20-2【基础】 【正确答案】 1、可用线性回归模型拟合y与x的关系.
2、B家庭的损失较大
【试题解析】 分析:
（1）计算相关系数，若接近1，则可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）A家庭符合二项分布，直接用公式求期望，B家庭先根据题意列出分布列再求期望.
由题可知
，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
设A家庭中套中小白兔的人数为，则，
所以．
设A家庭的盈利为元，则，
所以．
设B家庭中套中小白兔的人数为，
则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以．
设B家庭的盈利为元，则，
所以．
因为，所以B家庭的损失较大
20-3【巩固】 【正确答案】 （1）有，；
（2）8413.
【试题解析】 分析:
（1）根据参考公式求出相关系数，与比较可得结果，由参考公式和参考数据可求得关于的回归直线方程；
（2）求出，，从而求得，则，进而可得结果.
详解:
（1）相关系数

所以有95%的把握认为变量与具有线性相关关系.
，，
所以关于的回归直线方程为.
（2）由（1）可知，，
所以10000名考生的物理成绩，
所以，
所以物理成绩不低于61.5分的人数，
所以.
20-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、答案见解析
【试题解析】 分析:
（1）由相关系数求出，进而可得，即可求出回归直线方程；
（2）的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可．
因为，所以
所以，所以，
，
，
所以回归直线方程为．
金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，
，，，
所以的分布列为：

3
4
5




所以．
20-5【提升】 【正确答案】 （1）答案见解析；（2）分布列见解析，千元.
【试题解析】 分析:
（1）首先计算、再将已知条件中所给的数据代入相关系数的公式即可求解；
（2）奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，分别求出对应的概率，列出分布列、计算期望即可.
详解:
（1）依题意：，，

.
因为0.92非常趋近1，所以变量，线性相关性很强，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）二人所获奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元.
，，，
，，，
所以，奖金总额的分布列如下表：

0
3
5
6
8
10







千元.
点睛:
思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
20-6【提升】 【正确答案】 1、能，
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据题中数据求得相关系数，比较可得结论；求出，，即可得一元线性回归方程；
（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为，确定的可能取值，求得每个值对应的概率，可得其分布列，求出其数学期望的表达式，列出不等式，即可求得答案.
由题意可得，
因为，
根据参考数据，所以相关系数，即，
所以线性相关程度很高，可用直线拟合；
由，
所以，
即y关于x的线性回归程为．
设甲、乙两人需要排队的总时间为，则的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：

40
60
80
P



因此，
可得，又，
故实数p的取值范围为．
21-1【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据椭圆的离心率公式及，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）根据两点之间的距离公式，根据，，即可求得的取值范围；
由题意可知：，， ，则，
∴椭圆的标准方程：；
由题意可知：，
设，则，
∴，
由，当时，，当时，，
∴的取值范围；
21-2【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据焦距得到，结合三角形面积的最大值得到，利用求得，得到椭圆的方程；
（2）根据已知设出直线的方程，与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式得到，判断单调性即可求得最大值.
解：设椭圆的半焦距为，，，
的最大面积为，，
，
，
椭圆的方程为；
由题知，设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
∴，得，
，，
∴，
设，，
由复合函数的单调性知：
在上单调递增，在单调递减，
∴当时，，
故.
21-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、3
【试题解析】 分析:
（1）根据题意列方程组解决即可；
（2）设直线，联立方程得，得，由，得，再根据弦长公式解决即可.
由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
由（1）得，，
因为直线与椭圆交于，两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，
所以设直线，
联立方程，得，
所以，
，
所以


，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
21-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入即可得到椭圆方程；
（2）根据题意，先讨论两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，再讨论两条弦斜率均存在且不为0，此时设直线的方程为，则直线的方程为，联立椭圆与直线方程，结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长与弦长，即可得到结果.
∵，所以.
设椭圆方程为，将代入，得.
故椭圆方程为.
①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：
，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
综合②可知，的取值范围为.
21-5【提升】 【正确答案】 1、
2、①；②.
【试题解析】 分析:
（1）分析可得，再由的周长可求得、的值，可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）①将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，可求得，同理可求得，利用四边形的面积公式可求得四边形的面积；
②分直线、的斜率都存在、轴、轴三种情况讨论，求出的表达式或值，求出的取值范围，即可得解.
解：因为是等腰直角三角形，且，，
由勾股定理可得，即，则，
因为的周长为，可得，，，
因此，椭圆的标准方程为.
解：①当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，.
当直线过左焦点，则，则，
，则直线的斜率为，同理可得，
因此，四边形的面积为；
②当直线、的斜率都存在时，，
同理可得，
此时；
当直线轴时，联立，解得，
此时，
此时直线的方程为，联立，解得，
则，此时；
当轴时，同理可得.
综上所述，，即的最大值为.
点睛:
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21-6【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据已知条件可得出关于、、的方程，解出、的值，可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线不与轴平行或重合，设直线的方程为，利用直线与圆相切可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及基本不等式可求得的最大值.
解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
点睛:
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22-1【基础】 【正确答案】 1、；
2、证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.
（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.
函数定义域为，依题意，，成立，
即，成立，而当时，，因此，
而时，不是常数函数，于是得，
所以实数的取值范围是.
由（1）知，，因有两个极值点，则，即有两不等正根，
于是得，有，
，
，令，，
，显然函数在上单调递增，而，
因此，使得，即，当时，，当时，，
于是得在上单调递减，在上单调递增，，
显然在上单调递增，则，因此，即有，
所以.
点睛:
思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数的最值，使问题得到解决.
22-2【基础】 【正确答案】 1、
2、证明见解析
【试题解析】 分析:
（1）首先利用导数得到在内单调递增，再根据求解即可.
（2）首先根据得到，结合第（1）问得到，令，得到，即可证明结论.
函数的定义域为，
因为，
故在内单调递增，
由，可知.
因为，所以，
即，
即，
由（1）可知对任意，有，即，
因为，所以，
令，则有，
即，
则，
即，
即
故.
22-3【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）由题意得在上恒成立，然后结合二次不等式的恒成立与二次函数的性质可求；
（2）由题意得，是方程的两根，结合方程的根与系数关系可得，且，结合函数零点性质可表示出，
要证不等式成立，问题转化为证成立，然后结合要证不等式特点考虑构造函数，结合导数可求证．
详解:
解：（1）由条件知函数在上恒大于等于零，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
所以△或，
解得．
（2）当时函数存在两个极值点，且是方程的两根，所以，且，，，所以，，所以，又，由（1）可知，设，，则，故要证成立，只要证成立，下面证明不等式成立，构造函数，则，所以在上单调递增，，即成立，令，即得不等式，从而成立.
点睛:
要证明不等式成立，可先进行恒等变换后，采用构造函数法，结合导数来进行证明.
22-4【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）由题知对任意的，恒成立，进而得对任意的，恒成立，再结合二次函数性质即可得答案；
（2）由题知，是的两个根，进而得，，，则.再根据分析法得只需证，再结合，得，进而令，并构造函数，再研究函数的最值证明即可.
详解:
解：（1）由题知对任意的．恒成立，
即对任意的，恒成立．
易知函数在上单调递减，
因此，，
所以．
（2），
由题知，是的两个根，
即，是方程的两个根，
则得，
且，，则．
要证，只需证，
即证．
，
因为，所以，
从而．
令，则，．
设函数，
则，
设，
则，
易知存在，使得，
且当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此在上单调递减，
从而，
即，原命题得证．
点睛:
本题考查的知识是“了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间”，“理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值”. 考查运算求解能力、逻辑思维能力和综合应用能力.本题注重基础，强调函数的性质、导数的运算与应用、不等式的证明，突出考查函数与导数之间的联系，通过导数的运算、函数的化简体现了对数学应用学科素养的考查，不等式的证明旨在培养理性思维学科素养．其中，求解本题第（2）问的难点有二：一是利用分析法对所证不等式的转化；二是判断函数的单调性.
22-5【提升】 【正确答案】 1、
2、证明过程见详解
【试题解析】 分析:
（1）先求，将对任意的恒成立问题转化为对任意的恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数a的取值范围；
（2）结合（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当时，得到，满足条件，先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．
依题意得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又，当且仅当时取“=”，所以．
由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．
当时，令，
得，则，所以其两根为，
由韦达定理得，
又∵，∴，满足条件，
令，则，
∴，∴，
要证只需证，
即证，即证，即，
令，即证，
令，，
则，
所以在单增，，
故结论得证．
点睛:
关键点点睛：先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性是解答小问（2）的关键．
22-6【提升】 【正确答案】 （1）；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）求导，由已知得，分离参数得恒成立，由基本不等式可求得实数的取值范围；
（2）由已知得方程有两个正根.且有且.令，代换得，令，运用导函数研究函数的单调性和最值，由此可得证.
详解:
解：（1），
在上为增函数，，有，整理得：恒成立，
，由基本不等式知，，从而有，当且仅当时等号成立.
，故.
实数的取值范围为
（2）有两个极值点，方程有两个正根.
从而有且.
且均为正数，可设.①，
又当时，有恒成立，在上为减函数.
从而有，令.



又，即.②，由①②解得.
令，
，在上为减函数，
，，
从而得证.
点睛:
方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.