湖南省新高考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）含解析

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湖南省新高考2023届高三数学专项突破模拟题库（二模）
【原卷 1 题】 知识点 交集的概念及运算,解不含参数的一元二次不等式

【正确答案】
C
【试题解析】


1-1（基础） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-2（基础） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-3（巩固） 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

1-4（巩固） 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

1-5（提升） 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

1-6（提升） 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

【原卷 2 题】 知识点 复数的除法运算,判断复数对应的点所在的象限,共轭复数的概念及计算

【正确答案】
A
【试题解析】


2-1（基础） 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 C

2-2（基础） 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 A

2-3（巩固） 已知i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 D

2-4（巩固） 已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【正确答案】 C

2-5（提升） 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

2-6（提升） 若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（　　）
A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2
【正确答案】 B

【原卷 3 题】 知识点 数量积的运算律,求投影向量

【正确答案】
C
【试题解析】


3-1（基础） 已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-2（基础） 已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

3-3（巩固） 已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

3-4（巩固） 设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-5（提升） 在中，，若，则向量在上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-6（提升） 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 4 题】 知识点 已知切线（斜率）求参数,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则

【正确答案】
B
【试题解析】


4-1（基础） 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ）
A. B. C.0 D.1
【正确答案】 C

4-2（基础） 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

4-3（巩固） 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ）
A. B. C.1 D.－1
【正确答案】 A

4-4（巩固） 曲线在点处的切线垂直于直线，则（ ）
A.1 B. C. D.
【正确答案】 D

4-5（提升） 若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
【正确答案】 D

4-6（提升） 已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

【原卷 5 题】 知识点 求等差数列前n项和的最值,等比数列的简单应用

【正确答案】
B
【试题解析】


5-1（基础） 已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【正确答案】 B

5-2（基础） 设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【正确答案】 C

5-3（巩固） 在等比数列中，()，且，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于（ ）
A. B.或 C.或 D.
【正确答案】 B

5-4（巩固） 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A.3 B.6 C.4或5 D.6或7
【正确答案】 C

5-5（提升） 若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
【正确答案】 D

5-6（提升） 对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.的最小值为
【正确答案】 B

【原卷 6 题】 知识点 球的表面积的有关计算,证明线面垂直,多面体与球体内切外接问题

【正确答案】
D
【试题解析】


6-1（基础） 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）
A.30 B. C. D.
【正确答案】 D

6-2（基础） 《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，垂直于平面，四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

6-3（巩固） 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ）
A.72 B. C. D.
【正确答案】 B

6-4（巩固） 中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为，短边为2，如图分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几何体的外接球表面积是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

6-5（提升） 中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

6-6（提升） “阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

【原卷 7 题】 知识点 比较指数幂的大小,用导数判断或证明已知函数的单调性,比较对数式的大小

【正确答案】
A
【试题解析】


7-1（基础） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

7-2（基础） 已知,则( )
A. B. C. D.
【正确答案】 A

7-3（巩固） 设，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-4（巩固） 已知，则之间的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B

7-5（提升） 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

7-6（提升） 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

【原卷 8 题】 知识点 求点到直线的距离,圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）

【正确答案】
D
【试题解析】


8-1（基础） 已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【正确答案】 A

8-2（基础） 已知半径为的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

8-3（巩固） 设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-4（巩固） 设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

8-5（提升） 设P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D

8-6（提升） 已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】 C

【原卷 9 题】 知识点 独立事件的判断,总体百分位数的估计,相关关系与函数关系的概念及辨析,求指定项的系数

【正确答案】
A C D
【试题解析】


9-1（基础） 下列说法中正确的是（ ）
A.若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
B.已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大
D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
【正确答案】 AD

9-2（基础） 某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2016年至2020年共5年的借阅数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
年借阅量（万册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得关于的回归直线方程为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7
C.与的相关系数
D.2023年的借阅量一定为6.6万册
【正确答案】 ABC

9-3（巩固） 下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员进行射击训练，其中一组训练共射击九次，射击的环数分别为 则这组射击训练数据的70分位数为
B.已知随机变量服从，若，则
C.在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1
D.用模型拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，若通过这样的变换后，所得到经验回归方程为，则
【正确答案】 ABD

9-4（巩固） 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A.数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是2
B.若事件、的概率满足，且，则、相互独立
C.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断，独立
D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【正确答案】 BD

9-5（提升） 下列结论正确的有（ ）
A.若随机变量，满足，则
B.若随机变量，且，则
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【正确答案】 BC

9-6（提升） 以下说法正确的是（ ）
A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D.已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥
【正确答案】 ACD

【原卷 10 题】 知识点 数量积的运算律,锥体体积的有关计算,由平面的基本性质作截面图形,证明线面平行

【正确答案】
A C
【试题解析】


10-1（基础） 如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. B.该几何体外接球的体积为
C.若为中点，则平面 D.的最小值为
【正确答案】 ACD

10-2（基础） 正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）

A.与是异面直线
B.平面平面
C.存在点使得
D.当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
【正确答案】 BD

10-3（巩固） 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.三棱锥的体积为定值
C.
D.异面直线与所成角的余弦值为
【正确答案】 ABD

10-4（巩固） 如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

A.若直线与平面平行，则三棱锥的体积为
B.若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直
C.若，则的最小值为
D.若，则的最大值为
【正确答案】 ABC

10-5（提升） 在平面四边形ABCD中，，AD＝CD＝2，AB＝1，，沿AC将折起，使得点B到达点的位置，得到三棱锥．则下列说法正确的是（ ）

A.三棱锥体积的最大值为
B.为定值
C.直线AC与所成角的余弦值的取值范围为
D.对任意点，线段AD上必存在点N，使得
【正确答案】 ABD

10-6（提升） 在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（ ）

A.若，则四面体的体积为定值
B.若平面，则的最小值为
C.若的外心为，则为定值2
D.若，则点的轨迹长度为
【正确答案】 ABD

【原卷 11 题】 知识点 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题,求双曲线的离心率或离心率的取值范围,求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,求弦中点所在的直线方程或斜率

【正确答案】
A D
【试题解析】


11-1（基础） 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A.的面积为 B.点的横坐标为2或
C.的渐近线方程为 D.以线段为直径的圆的方程为
【正确答案】 AB

11-2（基础） 已知双曲线的左右焦点分别为，点与位于双曲线右支上的关于y轴对称，点与关于x轴对称，，M为双曲线上一动点（不与重合），且直线与的斜率均存在，则（ ）
A.
B.
C.四边形的面积为
D.直线与的斜率之积为3
【正确答案】 ACD

11-3（巩固） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴交于点，交双曲线右支于点，且，下列选项正确的有（ ）
A.
B.双曲线渐近线的方程为
C.
D.的内切圆半径是
【正确答案】 ABD

11-4（巩固） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为 B.
C.的面积为 D.
【正确答案】 AB

11-5（提升） 已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（     ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点
C.点在变化过程中，面积的取值范围是
D.若，则的内切圆面积为
【正确答案】 AC

11-6（提升） 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为
B.过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4
C.若的角平分线与轴交点为，则
D.若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则
【正确答案】 ACD

【原卷 12 题】 知识点 判断证明抽象函数的周期性,判断或证明函数的对称性,简单复合函数的导数

【正确答案】
A B D
【试题解析】


12-1（基础） 设定义在上的函数的导函数分别为，若，且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.的图象关于对称
C. D.函数为周期函数，且周期为8
【正确答案】 AD

12-2（基础） 已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（ ）
A.的图象关于对称
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
【正确答案】 BCD

12-3（巩固） 已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
B.g(2023)＝2
C.
D.若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点
【正确答案】 ACD

12-4（巩固） 已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A.函数为偶函数 B.函数的图像关于点对称
C. D.
【正确答案】 ACD

12-5（提升） 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数的周期为2
D.
【正确答案】 ABD

12-6（提升） 已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（ ）
A. B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于直线对称 D.
【正确答案】 ABC

【原卷 13 题】 知识点 利用全概率公式求概率

【正确答案】

【试题解析】


13-1（基础） 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【正确答案】 5%

13-2（基础） 现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.
【正确答案】

13-3（巩固） 已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为，若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为__________．
【正确答案】

13-4（巩固） 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.
【正确答案】

13-5（提升） 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.
【正确答案】

13-6（提升） 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．
【正确答案】

【原卷 14 题】 知识点 利用正弦型函数的单调性求参数,二倍角的余弦公式,辅助角公式

【正确答案】
2
【试题解析】


14-1（基础） 已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______.
【正确答案】 或或或（写出其中一个即可）.

14-2（基础） 已知函数，若，，且函数在上单调，则实数的值______．
【正确答案】 或0.5

14-3（巩固） 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围______．
【正确答案】

14-4（巩固） 已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则ω的取值范围是___________.
【正确答案】

14-5（提升） 已知函数，若有且只有一个整数，使得在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【正确答案】

14-6（提升） 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是______.
【正确答案】

【原卷 15 题】 知识点 根据抛物线上的点求标准方程,与抛物线焦点弦有关的几何性质,根据韦达定理求参数

【正确答案】
4
【试题解析】


15-1（基础） 设抛物线，过焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，满足，过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交x轴于点C，若四边形的面积，则p＝______.
【正确答案】

15-2（基础） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为直线与抛物线在第一象限交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若的面积为，则______.
【正确答案】

15-3（巩固） 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则______.
【正确答案】

15-4（巩固） 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为D，E，若，则p=______．
【正确答案】 2

15-5（提升） 在平面直角坐标系中，设点是抛物线上的一点，以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于两点，记，若，且的面积为，则实数的值为_______
【正确答案】

15-6（提升） 已知A，B，C，D为抛物线上不同的四点，直线AB，CD交于点，直线AD经过E的焦点F，若直线AD的斜率为直线BC斜率的4倍，则______．
【正确答案】 2

【原卷 16 题】 知识点 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数研究能成立问题

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.（其中）
【正确答案】

16-2（基础） 函数，若存在使得，则实数的取值范围是______．
【正确答案】

16-3（巩固） 已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是________ ．
【正确答案】

16-4（巩固） 已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________.
【正确答案】

16-5（提升） 已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数a的取值范围为______．
【正确答案】

16-6（提升） 已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为__________．
【正确答案】

【原卷 17 题】 知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理解三角形,余弦定理解三角形,基本不等式求和的最小值

【正确答案】

【试题解析】


17-1（基础） 在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，．
1、证明：；
2、求的最小值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、5

17-2（基础） 已知的内角的对边分别为，，，，且．
1、求的大小；
2、若的平分线交于点，且，求的取值范围．
【正确答案】 1、
2、

17-3（巩固） 已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且.
1、求证：；
2、求的最小值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

17-4（巩固） 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.

17-5（提升） 已知的内角所对边分别为，且
1、证明：；
2、求的最大值.
【正确答案】 1、证明见解析； 2、

17-6（提升） 记的内角，，的对边分别为，，．已知．
1、求的值：
2、求的最大值．
【正确答案】 1、
2、

【原卷 18 题】 知识点 由递推关系式求通项公式,错位相减法求和,数列不等式恒成立问题

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 已知数列满足，且.
1、求的通项公式；
2、设，数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数λ的取值范围.
【正确答案】 1、
2、

18-2（基础） 已知数列的前项和为，若，且，．
1、求数列的通项公式；
2、若数列满足，若的前项和恒成立，求整数的最小值．
【正确答案】 1、
2、2

18-3（巩固） 数列满足.
1、求的通项公式；
2、设，数列的前n项和为.若对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值.
【正确答案】 1、；
2、

18-4（巩固） 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，，都有．
1、求数列、的通项公式；
2、设，，恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、，
2、

18-5（提升） 在数列中，，.
1、求数列的通项公式；
2、已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【正确答案】 1、
2、

18-6（提升） 已知数列满足，且．
1、求数列的通项公式；
2、设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、
2、

【原卷 19 题】 知识点 证明线面垂直,面面角的向量求法

【正确答案】

【试题解析】


19-1（基础） 如图，在直三棱柱中，二面角的大小为，且，．

1、求证：平面；
2、若是棱的中点，求二面角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-2（基础） 在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面底面ABC，，，点E在线段SB上，且．

1、证明：平面ACE；
2、求二面角的正弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-3（巩固） 如图，在直五棱柱中，底面由一个矩形与一个组成，，，，为侧棱的中点．

1、求证：平面；
2、求二面角的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-4（巩固） 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

1、求证：BC⊥平面ACD；
2、求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-5（提升） 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，，E为BC上一点，F为DE的中点，且三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3．

1、证明：DE⊥平面PAF；
2、若PE与平面ABCD所成角为，求二面角A-PB-F的余弦值．
【正确答案】 1、证明见解析 2、

19-6（提升） 如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.

1、求证：平面；
2、若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、

【原卷 20 题】知识点 计算古典概型问题的概率,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,排列组合综合

【正确答案】

【试题解析】


20-1（基础） 为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
1、若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
2、从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，1

20-2（基础） 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：
①一个人摸球，另一人不摸球；
②摸球的人摸出的球后不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .
1、若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
2、若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，

20-3（巩固） 在节日里为了促销各大商场八仙过海各显神通，推出了花样繁多的促销活动，某大超市为了拉升节日的喜庆气氛和提升销售业绩，举行了购物抽奖促销活动，购物满500元可获得一次抽奖机会，抽奖方法如下：在盒子里放着除颜色外其他均相同的5个小球（红球和黑球各1个，白球3个），不放回地摸球，每次摸1球，摸到黑球就停止摸奖，摸到红球奖励40元，摸到白球奖励10元，摸到黑球不奖励．
1、求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
2、记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列及数学期望．
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，35

20-4（巩固） 现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
1、求取到的白球数不少于2个的概率；
2、设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
【正确答案】 1、 2、

20-5（提升） 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.
1、求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；
2、在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【正确答案】 1、； 2、

20-6（提升） 猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．
1、求甲能获得奖品的概率；
2、记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．
【正确答案】 1、 2、分布列见解析，

【原卷 21 题】 知识点 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的直线过定点问题

【正确答案】

【试题解析】


21-1（基础） 在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，右焦点与的焦点重合，过定点，（不与椭圆的顶点和中心重合）且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，
1、求椭圆的方程；
2、若，当面积取最大值时，求直线的方程；
3、是否存在定点，使得点关于轴的对称点恒在直线上？说明理由.
【正确答案】 1、； 2、； 3、存在，理由见解析.

21-2（基础） 已知椭圆经过两点，
1、求椭圆的方程；
2、已知直线过定点，与椭圆交于两点､，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求的值；
3、试问：第（2）问中的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由.
【正确答案】 1、 2、 3、存在，最大值

21-3（巩固） 已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.

1、求四边形为坐标原点的面积的最大值；
2、求证：直线过定点，并求出点的坐标.
【正确答案】 1、最大值为 2、证明见解析，

21-4（巩固） 设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.
1、求椭圆的方程；
2、设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.
①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；
②求面积的最大值.
【正确答案】 1、 2、①证明见解析，定点；②

21-5（提升） 已知椭圆的离心率为，且过点．
1、求E的方程；
2、设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．
①证明：直线CD恒过定点；
②求面积的最大值．
【正确答案】 1、； 2、

21-6（提升） 已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
1、求椭圆C的方程；
2、若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．
【正确答案】 1、 2、①证明见解析；②

【原卷 22 题】 知识点 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数求函数的单调区间（不含参）,利用导数研究不等式恒成立问题

【正确答案】


【试题解析】


22-1（基础） 已知函数．
1、当时，讨论的单调性；
2、当时，，求的取值范围．
【正确答案】 1、单调递增区间为，函数的单调递减区间为； 2、．

22-2（基础） 已知函数
1、求的单调区间和极值；
2、若对任意，成立，求实数m的最大值．
【正确答案】 1、单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
2、4

22-3（巩固） 已知函数．
1、当时，求的单调区间；
2、设函数，若恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为 2、

22-4（巩固） 已知函数，其中.
1、当时，求的单调区间；
2、若对任意，都有求实数的取值范围.
【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为； 2、

22-5（提升） 已知函数，.
1、当时，求的单调区间；
2、若恒成立，求的取值范围.
【正确答案】 1、单调递增区间为，无单调递减区间 2、

22-6（提升） 已知函数．
1、求函数的单调区间；
2、若，恒成立，求实数a的取值范围．
【正确答案】 1、单调递增区间为，单调递减区间为和 2、


答案解析


1-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
化简集合，根据交集的定义求解即可.
详解:
因为，
所以，又，
所以.
故选：C.
1-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求解中二次不等式，再求解交集即可.
详解:
由得，解得，所以.
故选：C.
1-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
分别化简集合，由集合的交集运算即可得出结论.
详解:
由题意可得，，则．
故选：C.
1-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
详解:
因为，，
因此，.
故选：C.
1-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
解不等式求出集合，再求交集即可.
详解:
∵集合，
，
则
故选：A.
1-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
化简集合，根据交集的概念可求出结果.
详解:
由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A
2-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据复数的除法运算化简复数，由复数的几何意义即可求解.
详解:
由题意得，所以在复平面内对应的点为,位于第三象限.
故选:C
2-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.
详解:
根据复数的运算法则，可得，
所以在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
2-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据除法运算求出复数，得到，即可确定点的位置.
详解:
由可知，，
，
∴在复平面内对应的点坐标为，故点位于第四象限，
故选：D.
2-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案.
详解:
因为复数，
所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限.
故选：C．
2-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用复数的运算法则，求出复数，结合复数的几何意义求出结果
详解:
解：
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得或.
所以，实数的取值范围为.
故选：C
2-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用复数除法运算化简，根据在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此确定正确选项.
详解:
依题意，
由于在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，故的值可以是.
故选：B
3-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.
详解:
因为两个单位向量和的夹角为120°，
所以，
所以，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：C.
3-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用投影向量定义即可求得在上的投影向量.
详解:
在上的投影向量是
故选：B
3-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.
详解:
设向量，的夹角为，
因为，
所以，
所以，
所以在上的投影向量为：，
故选：A.
3-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由，求得，再利用投影向量的定义求解.
详解:
解：因为，，，
所以 ，解得，
所以 在上的投影向量为，
故选：C
3-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据给定条件，利用正弦定理求出，进而求出，再利用向量投影的意义计算作答.
详解:
在中，，，由正弦定理得：，
即有，整理得，解得，，
因此，，，
，
所以向量在上的投影是.
故选：C
3-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．
详解:
如图，

由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故选：D．
4-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解.
详解:
曲线，.
令，解得，则.
所以直线y＝x＋b与曲线相切于点，
所以点在直线y＝x＋b上，则，解得.
故选：C.
4-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解.
详解:
设切点坐标为，
因为，所以，
所以切线的斜率，解得，
又，即，
所以.
故选：A.
4-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
求出函数的导数，再利用导数的几何意义并结合垂直的条件，列式求解作答.
详解:
函数，求导得，则曲线在点处的切线斜率，
又该切线与直线垂直，因此，解得，
所以.
故选：A
4-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.
详解:
，所以，
因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，
故即，
故选：D.
4-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由导数的几何意义可求得的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出的值，再结合函数解析式可求得的值.
详解:
因为，则，则，
可得，所以，曲线在处的切线方程为，
将切点的坐标代入切线方程可得，解得，
又因为，解得，因此，，.
故选：D.
4-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等式可求得实数的取值范围.
详解:
函数的定义域为，且，
因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，
所以，对任意的恒成立，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，解得.
故选：B.
5-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．
详解:
等差数列中，，
则，，
∴，
解得，．
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：B．
5-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.
详解:
在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
5-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据等比数列基本量的计算可得进而得，根据等差数列的求和公式即可求解.
详解:
设等比数列的公比为，由得由于，所以，故，
故为等差数列，且首项为4，故，
所以，
该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，故当或9时，取到最大值.
故选：B
5-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案.
详解:
，
故，
因为，所以或5时，取得最大值.
故选：C
5-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.
详解:
由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
5-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
A选项，根据条件得到，求出；利用等差数列求和公式及分组求和得到；先得到，解不等式，得到时，且；并利用等差数列求和公式求出最小值.
详解:
由题意可知，，则①，
当时，，
当时，②，
①-②得，，解得，当时也成立，
，A正确；


，B错误；
，令，解得：，且，
故当或9时，的前项和取最小值，
最小值为，CD正确．
故选：B
6-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由，底面，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.
详解:
如图所示：

因为，底面，，，
所以将三棱锥放在长、宽、高分别为的长方体中，
三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
外接球的直径，
利用张衡的结论可得，则，
所以球的表面积为.
故选：D.
6-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
以为棱把补形成一个长方体，是长方体的对角线，是长方体外接球的直径，也是外接球的直径，由此计算出后可得面积．
详解:
是阳马，以为棱补形成一个长方体，如图，则是长方体的对角线，
而是该长方体外接球的直径，也是外接球的直径，
由已知，
球的表面积为．
故选：B．

6-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由球的性质确定三棱锥外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.
详解:
如图1，

取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，
以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，

则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．
由张衡的结论，，所以，
则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B．
6-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由题意作出折叠后图形，可得出三棱锥的棱长及三棱锥是长方体内一部分，利用外接球直径为长方体的体对角线求解即可.
详解:
叠后重合于，重合于，平面与平面沿折叠后重合后得平面，得到如图，

又因为即垂直，
即垂直，
所以平面，平面，所以三点共线，
所以，，，
所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为，外接球半径为，则，
因为，所以，
所以，所以外接球表面积为.
故选：A
6-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
如图，根据球的性质可得平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当O在线段上和O在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.
详解:
如图，连接AC，BD，设，
因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，
则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．
连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，
连接EP，FQ，在与中，易知，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．
设，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球O的表面积，
故选：D．

点睛:
求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．由此出发，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置．
6-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径即可求解.
详解:

如图，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，
其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为，
则有，，所以，
故该半正多面体的外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D
7-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.
详解:
令，则，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，，
因为，所以.
故选：D.
7-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
构造函数,利用其单调性即可比较a,b,c的大小.
详解:
，，，
设，
,令,得，
当单调递增，
当单调递减，
所以，
所以,即,所以，
所以,即,所以，
所以.
故选：A
7-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用函数单调性比较数的大小.
详解:
设，则，
当时，，当时，，
即当时，取得最小值，
即有，．
令，则，
令，易得在上单调递增，
∴当时，，，
在上单调递增，
，即，
，.
故选：B．
7-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
构造函数，由，利用其单调性比较.
详解:
设，
则，
令得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，
所以，即，
故选：B
7-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.05换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.05的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
详解:
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0,+∞)上单调递减，
所以，即，即b 综上，，
故选：B.
点睛:
关键点睛：本题关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
7-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
运用对数运算将a、b、c化简，构造函数，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果.
详解:
由，得，
由．得，
由，得．
设函数，则，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又因为，
所以，
又因为，，，
所以，
又因为，，，
所以a，b，c均大于，
又因为在上单调递增，
所以．
故选：A.
8-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线上的点到圆的最小距离.
详解:
圆中圆心为，半径，
圆心到直线的距离：，
则，
故选：A．
8-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
首先求得圆心的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由此可知所求最大值为到直线的距离加上半径，结合点到直线距离公式可得结果.
详解:
设圆的圆心为，则，
则圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离的最大值为.
故选：D.
8-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求答案．
详解:
由圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，
则的面积，
要使的面积的最小，则最小，又，
即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离，
，
即的面积的最小值为．
故选：C．
8-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先求得切线的方程，根据直线和圆的直至关系求得的最小值.
详解:
，，则l的方程为，即，
因为圆心到l的距离为，
所以的最小值为.
故选：A
8-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，设，利用函数思想可求.
详解:
依题意P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径．设．圆心到椭圆的最大距离．所以P，Q两点间的最大距离是．
故选：D．
8-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设直线l为.取圆O的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值.过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值．
详解:
由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，
设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的轨迹方程为，
即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，
则E到l的最小距离为．
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，
∴，
即，
即．
故选：C．

点睛:
本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.
9-1【基础】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
对于A，利用方差的公式及众数的定义即可求解；
对于B，利用第百分位数的定义即可求解；
对于C，利用线性相关系数的值越接近于，相关性越强即可求解；
对于D，利用残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果即可求解.
详解:
对于A，由方差，得，即此组数据的众数唯一，故A正确；
对于B，数据2，3，5，7，8，9，9，11共有个，由可知，该组数据的第40百分位数为，故B错误；
对于C，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于，
故C错误；
对于D，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高,故D正确.
故选：AD.
9-2【基础】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
对A，根据回归直线过样本中心点可得；对B，根据百分位数的定义可得75%分位数；对C，根据回归直线的斜率可得的正负；对D，根据回归直线的意义可判断.
详解:
对于A，因为，，所以，得，A正确；
对于B，因为，所以4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，B正确；
对于C，由，可知C正确；
对于D，由A可知回归直线方程为，所以2023年的借阅量约为6.6万册，D错误．
故选：ABC．
9-3【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据百分位数的计算即可判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式以及方差的性质即可判断B，根据相关系数的性质即可求解C，根据线性经验回归方程和非线性之间的转化关系即可判断D.
详解:
对于A，将环数从小到大排列为 由于，故这组射击训练数据的70分位数为第七个数10.3，故A正确，
对于B，由二项分布的期望公式可得，由于 故，故B正确，
对于C，在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1，故C错误，
对于D，，又，所以，故D正确，
故选：ABD.
9-4【巩固】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
根据百分位数的定义判断A，根据相互独立事件及条件概率的概率公式判断B，根据独立性检验的定义判断C，根据相关系数的定义判断D.
详解:
解：对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，由，可得，即，
即，所以、相互独立，故B正确；
对于选项C，由可得出“零假设与独立”不成立，所以有的把握说，有关，故C错误；
对于选项D，样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故D正确；
故选：BD
9-5【提升】 【正确答案】 BC
【试题解析】 分析:
由方差的性质判断A；由正态分布的对称性判断B；由相关系数的定义判断C；根据百分位数的定义判断D.
详解:
对于A，由方差的性质可得，故A错误；
对于B，由正态分布的图象的对称性可得，故B正确；
对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；
对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，
乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，则，
解得，故，故D错误；
故选：BC
9-6【提升】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；
对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；
对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；
对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.
详解:
对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；
对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确；
对于D选项：因为，则，
则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
10-1【基础】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．
详解:
由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

可得，，，，，，
对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；
对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，
则该球的半径，
即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；
对于C选项：若为中点，则，
即，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
即，可得，
又平面，则平面，所以C选项正确；
对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），
则，
又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．
故选：ACD.
10-2【基础】 【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
选项A，可证明与共线；选项B，利用面面垂直的判定定理证明；选项C，假设结论成立能推出矛盾；选项D，截面是等腰梯形，可求面积.
详解:
因为、、共线，又，即、、、共面，因此与共面，故A选项不正确；
正方体中，，，，、平面，
平面，因为平面，∴平面平面，故B选项正确；
已知为线段上的动点（不包括两个端点），设，
假设存在点使得，则有：

解得，与重合，与已知矛盾，故C选项不正确；
当为线段中点时，为线段中点，连接，如图所示：

有，得 ，因为，同理,
过、、三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形，
正方体的棱长为2，，，，
过点作，交于点，由，，
从而可得等腰梯形的高为，∴截面等腰梯形的面积为，
所以过、、三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D选项正确；
故选：BD.
10-3【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据图形特点取的中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项.
详解:
解：直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，取的中点为，
由于，所以，如图以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设,，则，所以

则，又，所以，所以，
对于A，，设，
则，所以，则，故A正确；
对于B，因为，分别为，的中点，所以，又，则
又平面，平面，所以平面，故到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，由A选项得，，
所以，故C不正确；
对于D，由于，所以，所以，
故异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
10-4【巩固】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
取棱的中点，连接，进而证明平面平面得的轨迹即为线段，再讨论AB选项即可得判断；当时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.
详解:
解：取棱的中点，连接，
因为棱的中点，分别是棱的中点，
所以，，
因为，所以，
所以，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，
所以平面平面，
所以，直线与平面平行， 的轨迹即为线段，
故对于A选项， ，三棱锥的体积为，故A正确；
对于B选项，要使得与始终垂直，则面，故如图建立空间直角坐标系，则，
所以，，
所以且，解得，即，
所以，直线上存在唯一的点（中点），使得与始终垂直，故B正确；
当时，所以，解得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，
对于C选项，由于，故的最小值为，故C正确；
对于D选项，，当且仅当时等号成立，
所以，的最大值为，故D错误.
故选：ABC

10-5【提升】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据给定条件，在四边形中求出，取AD中点E，并求出相关量，在三棱锥中，求出点到平面判断A；利用向量运算计算判断B，C；借助向量建立关系式，由等式成立判断D作答.
详解:
在中，，，有，在中，，
由余弦定理得，而，则，又，
有，取的中点E，连交于，而，则有，连，则，如图，

在三棱锥中，，平面，
则平面，又平面，于是平面平面，在平面内过作于F，如图，

因为平面平面，因此平面，而为二面角的平面角，
，，
当且仅当F与H重合，即平面平面时取等号，又，
所以，即三棱锥体积的最大值为，A正确；
，
因此为定值2，B正确；
设直线AC与所成的角为，沿翻折，在此过程中，，即，
由选项B知，，
因此直线AC与所成角的余弦值的取值范围为，C不正确；
点在边上，令，显然，

，令，在翻折过程中，，
，则有，显然有，
即对任意的，都存在，，使得，
所以对任意点，线段AD上必存在点N，使得，D正确.
故选：ABD
点睛:
关键点睛：平面图形折叠问题，抓住折叠前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系是解题的关键.
10-6【提升】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.
详解:
对于A，取的中点分别为，连接，则，，，
因为，，
所以，，
所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形


在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，
在中，，，，
所以，所以，即的最小值为，
所以B正确，


对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，

对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，
又在中，，
所以，，
在中，，，，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，
在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，
故选：ABD.

点睛:
本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
11-1【基础】 【正确答案】 AB
【试题解析】 分析:
根据双曲线方程得a，b，c，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，由此即可判断C，D；联立渐近线与圆的方程，可求得坐标，由此即可判断A，B．
详解:
由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
又，所以为直径的圆方程为，故D错误；
由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确；
又，所以，故A正确．
故选：AB．
11-2【基础】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
根据双曲线的对称性和双曲线定义判断选项A；设，由余弦定理可得，即可判断选项B；利用梯形的面积公式计算判断选项C；设，利用斜率公式和双曲线的方程化简即可判断选项D.
详解:
根据双曲线的对称性，可得，所以，故A正确；
根据题意，四边形为等腰梯形，，设，由余弦定理可得，即，解得，所以，故B错误；
梯形的高为，所以四边形，的面积为，故C正确；
设，易知，所以，
则，
故D正确．
故选：ACD
点睛:
关键点睛：解答本题的关键是判断选项D，其关键在于利用点在双曲线上满足消元化简.
11-3【巩固】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
判断，结合，可判断A；判断出，求得，结合双曲线定义求出之间的关系，可判断B；利用三角形面积可判断C；根据三角形的等面积法求得内切圆半径，可判断D.
详解:
由于可知是的中点，又是的中点，所以，
故，由于，因此，故A正确；
由于，，故，
由双曲线的定义可知，，
因此渐近线方程为即，故B正确；
由于，故，故C错误；
设的内切圆半径为，根据等面积法得，
即，故D正确，
故选：ABD
11-4【巩固】 【正确答案】 AB
【试题解析】 分析:
先根据抛物线方程得出的坐标，即的值，进而求出，得出双曲线的方程.即可得出A项；联立双曲线与抛物线的方程，求出点坐标，即可求得的值，判断B项、得出的面积，判断C项、求得的值，根据余弦定理，得出的值，判断D项.
详解:

由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.
又，所以，
所以，双曲线的方程为.
对于A项，双曲线的的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得，，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，.
设，又，所以，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，因为，
所以，由余弦定理可得，，故D项错误.
故选：AB.
11-5【提升】 【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得，从而求得双曲线的方程，结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点三角形的性质、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
详解:
由题可得，
因为的内切圆与边相切于点，设的内切圆与分别切于，如图，
由切线长定理可知，，
所以，
，

所以双曲线的方程为，
对A，由题可得双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对B，由双曲线的性质可知过点的直线与渐近线平行时与双曲线有且仅有一个公共点，
又过点的直线斜率不存在时，即与双曲线有且仅有一个公共点，
故过点的直线存在三条直线与双曲线有且仅有一个交点，故B错误.
对C，因为面积为，因此只需求的范围即可，可取临界位置，
当与渐近线平行时，不妨设，令可得，
当与另一条渐近线平行时，不妨设，联立双曲线方程，
解得，即，所以，令可得，
所以，，故C正确；
对D，当时，则，，解得，
故的内切圆的周长为，
的面积为，
由题可知，故，，即，
所以，，设的内切圆的半径为，
则，即，的内切圆的面积为，故D错误.故选：AC.
点睛:
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法有：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
11-6【提升】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
首先由已知条件求得双曲线方程为，求出离心率判断A，由双曲线的性质求得最小值判断B，利用角平分线定理求得，计算三角形面积判断C，设，由导数求得切线方程后，求出点坐标，计算三角形面积判断D．
详解:
由题意知，
设，，则，
，，相减整理得，
，
，故，双曲线的方程为，
对于A：，故，选项A正确；
对于B：因实轴长，故选项B错误；
对于C：记，，，，，由角平分线定理得：，又，所以，于是，所以，，故选项C正确；
对于D：设，，，，
时，，，，
切线方程为，整理得,
同理时，，，，，
切线方程为，整理得,
时，或，切线方程为或，切线方程也可表示为,
所以过的切线方程为，与渐近线联立解得，故；与渐近线联立，解得，
于是，故选项D正确，
故选：ACD
12-1【基础】 【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
对于A项，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；
对于D项，根据找到与的关系，根据A项的表达式得到的周期；
对于C项，根据的表达式，令特值求解即可.
对于B项，根据，且为偶函数求出一个周期内仅有的两条对称轴，得结果.
详解:
对于A 项，为偶函数


令，则
，故A正确；
对于D 项，

用代替原来的得：①
又是偶函数

用代替原来的得：②
由①②结合得：③
又
用代替原来的得：④
由③④联立得：⑤
用代替原来的得：⑥
⑥⑤得：,所以函数为周期函数，且周期为8，
用代替原来的得：⑦
用代替原来的得：⑧
用代替原来的得：⑨
结合⑦⑧⑨得，
用代替原来的得：，
所以函数为周期函数，且周期为8，故D正确；
对于C 项，为满足题意的一组解，
但，故C错误.
对于B项，因为 为满足题意的一组解，
但不关于对称，所以B错误.
故选：AD
12-2【基础】 【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
根据可判断A,求导即可根据判断B，由为偶函数以及对称可判断C，根据函数的性质画出大致图象，即可由时，求解D.
详解:
由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，
又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：

由性质结合图可知：当时，，
由得，故 ，
当且时，此时无解，
当时，，解得 ，
当且时，由得
综上可得的解集为，故D正确，
故选：BCD
点睛:
本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12-3【巩固】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
详解:
因为f(1－x)是偶函数，
所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有，
因此函数关于直线对称，
由，
因此函数关于点对称，由
，所以函数的周期为4，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故选项B不正确；
由，令，得，因此选项C正确；
因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，
所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，函数有两个零点，
当时，由函数的周期为4，
可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，
故选：ACD
点睛:
关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键.
12-4【巩固】 【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
由，可设，，由，得，赋值，则有，即，函数的图像关于直线对称，又得，也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项
详解:
因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
故选：ACD．
点睛:
方法点睛： 一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．
12-5【提升】 【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
根据函数为偶函数集合图象变换可推出为偶函数，即得，利用特殊值判断A；对进行变形处理即可判断其对称性从而判断B；由为偶函数，且，代换处理即可判断C；根据的周期即周期内的特殊值关系得，，化简可判断D.
详解:
解：对于A，若为偶函数，则关于直线对称，将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得，
则函数关于直线对称，即为偶函数，所以，
则，所以，即，
令得，，所以，故A正确；
对于B，由可得，当时，，即，
令，则，所以，所以函数函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为为偶函数，则，
又，
所以，
则，
所以，即，
则，所以函数的周期为4，故C不正确；
对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，，
则

，故D正确.
故选：ABD.
点睛:
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性结合合理赋值确定函数的对称性及周期性.
12-6【提升】 【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断D.
详解:
对于A，由为偶函数得，
则关于直线对称，即，
两边同时求导得，
令得，故A正确；
对于B，由关于直线对称得，
由得，
所以，即关于直线对称，故B正确；
对于C，对两边同时求导得，
由得，则，
所以关于直线对称，故C正确；
对于D，由得，
结合选项可知，，即，
所以，
所以4是函数的一个周期，
由得，4也是函数的一个周期，
由得，所以，故D错误.
故选：ABC.
点睛:
关键点点睛：此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称轴是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.
13-1【基础】 【正确答案】 5%
【试题解析】 分析:
令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解.
详解:
解：令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
故5%.
13-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意，结合互斥事件和独立事件的概率公式，即可求解.
详解:
因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，
且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，
所以抽到不合格品的概率为.
故答案为.
13-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据全概率公式计算可得.
详解:
记随机取一件产品由供应商提供为事件，由供应商提供为事件，为良品为事件，
则，，，，
由，即，解得，
即供应商提供的部件的良品率为.
故
13-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案.
详解:
设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”，
则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”,
B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”,
所以，，
故,,
故
，
故
13-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用全概率公式及条件概率公式计算可得.
详解:
设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以，
所以.
故
13-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．
详解:
解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，
在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
则小张决定采购该企业产品的概率；
故．
14-1【基础】 【正确答案】 或或或（写出其中一个即可）.
【试题解析】 分析:
由的图象关于对称，求得，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解.
详解:
因为函数的图象关于对称，可得，
解得，所以，
又因为在区间上单调，可得，
结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或或或.
故或或或（写出其中一个即可）.
14-2【基础】 【正确答案】 或0.5
【试题解析】 分析:
由，可知时，取得最大值，且函数在上单调，即，即可求解实数的值．
详解:
由，可知时，取得最大值，
即，可得：且在上是单调函数，
，即可得：．当时，可得，故得实数的值为．
故．
14-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由已知推得，根据的范围推得，根据正弦函数的单调性，即可得出的范围.
详解:
由已知可得，.
因为，，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以，，所以.
又，所以.
故答案为.
14-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
将代入的解析式，求φ的值, 结合正弦函数的图象与性质列关于ω的不等式组，即可得解.
详解:
由题意得，∴，又，∴，
∴，
∵的图象过点，且在区间上单调递增，
∴作出的大致图象如图所示，
其中为在y轴左边的第一个零点，为在y轴右边的第一个极大值点，

∴，∴，得，
∴，得，∴ ω的取值范围是.
故
14-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数的单调性可构造不等式组得到的范围，当时，可知有两个解，不合题意；当时，可确定，由此可推导得到的范围.
详解:
由题意得：，
要使在上是增函数，则需，又，
解得：；
当时，则和均满足条件，不合题意；
当时，由得：，
由得：，
则要使只取一个整数，需，即，
解得：，，
又，，则，
，即实数的取值范围为.
故答案为.
点睛:
关键点点睛：本题考查根据正弦型函数单调性求解参数范围问题，解题关键是能够利用根据正弦型函数的单调区间来构造不等式组，通过分类讨论的方式可确定整数唯一的解，进而确定变量的取值范围.
14-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用二倍角公式公式将函数解析式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
详解:

  
 ，
即，
是函数含原点的递增区间，又函数在上单调递增，
， 即，解得，又，， 
又函数在区间上恰好取得一次最大值， 
根据正弦函数的性质可知，，
即函数在，处取得最大值，可得，，
综上，可得
故
15-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
设AB直线方程为（m＞0），联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，由，得，求出，，利用梯形面积公式列出方程，求出答案.
详解:
由题意知，
设AB直线方程为（m＞0），
联立，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
解得：，，
因为四边形为梯形，
所以，
解得.

故答案为.
15-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
作出图形，分析可知为等边三角形，确定该三角形的边长，利用三角形的面积公式可求得的值.
详解:
如下图所示：

设抛物线的准线交轴于点，则，
由抛物线的定义可得，因为直线的斜率为，则，
易知轴，则，故为等边三角形，
因为，则，故，
所以，是边长为的等边三角形，故，
，因此，.
故答案为.
15-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
设出直线AB的方程,联立抛物线方程，表达出D点坐标，作出辅助线，求出，得到四边形DM FN为平行四边形，利用面积列出方程，求出.
详解:
由题意可知，，直线的方程为.
设，由，得.
所以，所以.
由，得.
如图所示，作轴于点，则.

因为，故，
，又，故.
又，得四边形为平行四边形.
所以其面积为，解得.
故
15-4【巩固】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
利用三角形面积公式、梯形面积公式及面积关系得到，设直线方程，与抛物线联立，韦达定理，求出，利用三角形面积求出即可.
详解:
由题意可知，设，
则，
，
因为，所以.
由题意可知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，联立整理得，
则，，
从而，解得，
故，即.
因为，所以，解得.
故2
15-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用二倍角和同角三角函数关系式化简已知等式可求得，进而得到，确定为等边三角形，则用可表示出，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造方程求得的值.
详解:

由得：，
，，
，，解得：，
，，为等边三角形，
设准线与轴交点为，则，，
则圆的半径，
，解得.
故答案为.
点睛:
关键点点睛：本题考查抛物线中的三角形面积问题，解题关键是能够结合抛物线定义，利用所求变量表示出已知中的三角形面积，从而构造方程来进行求解；其中涉及到利用三角恒等变换知识来化简已知等式求得所需角的问题.
15-6【提升】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
先设过的直线方程为，并与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到，，再设（且），从而可得，然后设直线AD的方程为，将直线AD的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到，进而可得，由，结合斜率计算公式列等式，即可得p的值．
详解:
设过的直线方程为，由整理得，
所以，，
设（且），则，
设直线AD的方程为，(由题意可知直线AD的斜率不为0)
由整理得，
所以，则，，即．
因为，所以，则，即
所以，
，
由得，，整理得，
因为，所以．
故2
16-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意，将式子变形为，结合，即可得到结果.
详解:
关于的不等式有解，则有解，
设，则，
当时，，当时，；
所以在上递减，在上递增，
所以，即，
又，
当时（与显然在有交点，故此方程有解），等号成立，
所以.
故答案为:
点睛:
关键点点睛：本题解题关键是将改写成，再利用常见不等式放缩得到.
16-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
将条件存在使得转化为在区间上，求，再根据导函数的性质即可求得在区间上的，进而解不等式即可．
详解:
存在使得等价于在区间上，
由，则，，
若，则，此时单调递减，所以成立；
若，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
如果，则，得；
如果，则，得，
综上，实数的取值范围为．
故．
16-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先求出在区间上的最小值和在上的最小值，由题意知，即可求出的取值范围.
详解:
∵，∴，
∴当时，，在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为；
又∵，
∴由二次函数知识，在上的最小值为，
若，，使成立，等价于，即，
∴实数的取值范围是.
故答案为.
16-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
理解题意，转化为最值问题求解
详解:
由题意得
，时，故在上单调递增，
，时，时
故在上单调递增，在上单调递减，
，解得
故
16-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
首先将不等式整理为，分别构造函数与，然后利用导数研究的函数性质并将作出其图象，进而将原问题转化为两函数图像的交点问题，结合函数图象即可求出参数的取值范围.
详解:
已知，即，
令，，，
则，易知在上单调递增，又，，所以存在实数，使得，
且当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又，
是过定点的直线，所以画出函数和的大致图象如图所示，

令，，，由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，
而，所以，
因为，所以，即实数a的取值范围是．
故
点睛:
关键点点睛：解决本题的关键是将不等式变形为，并构造函数与，将原问题转化为两函数图像的交点问题，进而通过导数画出与的大致图像，通过数形结合的方法求出参数的取值范围，该方法是解决函数整数解问题或者零点问题的一种重要手段.
16-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先对全分离，即，构造新函数，求导求单调性判断最值点，若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需大于最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.
详解:
解：若，即，
因为，所以，即，记，
故只需有且仅有两个整数使得成立即可，
所以，
记，所以，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使得，即，
在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，所以有最小值，
因为，且，
，而，
若使有且仅有两个整数，
只需即可，解得.
故
点睛:
方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：
（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；
（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；
（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.
17-1【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、5
【试题解析】 分析:
（1）利用二倍角公式，两角和正弦公式化简条件等式可得，由此证明结论；
（2）结合余弦定理知，利用基本不等式求其最小值.
因为，
所以，
，

又，
∴，
∴，
故．
∵
∴，
当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为5．
17-2【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算；
（2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围.
∵，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
注意到，且，则，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
若的平分线交于点，则，
∵，则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为.
17-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，利用正弦定理将化简，利用同角三角函数基本关系可证明等式成立；
（2）由题意可知，，利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，进而可求的最小值.
证明：
，
.
由题意知，
由，可知，且，
，仅当时等号成立，此时，
.
17-4【巩固】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由向量的线性运算、向量数量积的定义以及余弦定理化角为边即可求证；
（2）由余弦定理可得，将（1）中结论代入，再利用基本不等式即可求证.
详解:
（1）证明:在中，角所对的边为，，，
由，
可得，
由向量数量积的定义可得：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得：，故原命题成立；
（2）由（1）知：即，
所以，
当且仅当即时，上式取得等号，
即的最小值为，因为，
所以，
即的取值范围为.
17-5【提升】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、
【试题解析】 分析:
（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；
（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.
，，

，
由正弦定理可得
由（1）知，则
由余弦定理可得
，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，
由知，为锐角，
所以的最大值为，的最大值为
17-6【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；
（2）由余弦定理表示出，借助条件消去边，利用基本不等式求出的范围，进而求出的最大值．
由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
18-1【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出，即可得到本题答案；
（2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案.
因为，所以是公比为2的等比数列，
所以，故，
故.
，
则，
所以，
两式相减得，，
因此.
由，可得，所以，
该式对任意的恒成立，则.
令，则，
当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，
所以当时，，
所以实数λ的取值范围是.
18-2【基础】 【正确答案】 1、
2、2
【试题解析】 分析:
（1）根据和题中递推公式列式化解，求出通项公式，继而求出数列的通项公式；
（2）根据错位相减法求解出前项和，根据通项公式求出取值范围，进而求出整数的最小值．
，
∴，为首项，公差的等差数列，
∴，，当时，，因此
，
，
作差可得：，
∴，又因为当时，，整数的最小值为2．
18-3【巩固】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）当时，求出，当时，利用求出，检验后得到答案；
（2）利用错位相减法得到，不等式转化为，令，作差法得到的单调性，从而得到的最大值，得到m的最小值.
取，由，得；
当时，由，得，
两式相减得，整理得；
当n＝1时，也适合上式.
综上，；
由（1）知，得
，，
两式相减得，
整理得.
由题意对于任意正整数n，均有恒成立，则，即恒成立.
设，由，
则当时，，即；
当时，，即.
于是的最大值为，所以，即m的最小值是.
18-4【巩固】 【正确答案】 1、，
2、
【试题解析】 分析:
（1）利用，再写一式，两式相减，可得出，再由已知可得出，分析可知数列为常数列，可求得数列的通项公式，由题意判断数列为等比数列，直接写出通项公式；
（2）利用错位相减法求求出，在将不等式转化为恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数的取值范围.
解：因为，所以当时，，两式相减得，
所以，即，
又因为，则，满足，
所以，数列为常数列，故，则，
因为数列满足，，，都有，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
解：因为①，
所以②，
由①②得，
所以.
又，所以不等式，
即为，即恒成立，
构造函数，
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于，则在上单调递减，
则恒成立，则满足条件，
综上所述，实数的取值范围是.
18-5【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由可得，进而得到数列是等差数列，从而可求得通项公式；
（2）利用错位相减法求得，再分奇偶转化为求最小值，即可求解.
因为时，，，
.
所以数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以.所以数列的通项公式为.
由题意知：，
令①
则②
①-②得，所以
恒成立.
令，则，
所以数列是递增数列.
若n为偶数，，则恒成立，∴；
若n为奇数，，则恒成立，，
综上.
18-6【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.
，
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
，
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
19-1【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据直三棱柱推出平面，得，在中，推出，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果.
在直三棱柱中，平面，
因为平面，平面，所以，，
所以是二面角的平面角，所以，
在中，因为，，，
所以由，得，
因为是三角形的内角，所以，即，
因为，，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面.
由（1）可知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

在中，，，所以，
所以，，因为，所以，因为是棱的中点，所以，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，，则，
设平面的一个法向量，
则，得，，
取，得，则，
则.
结合图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19-2【基础】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）取AC中点为D，连接SD，BD，由，得到，再由底面ABC是边长为4的正三角形，得到，进而得到平面SBD，则，然后由，得到，利用线面垂直的判定定理证明；
（2）由（1）可得DC，DB，DS两两垂直，故以D为坐标原点，DC，DB，DS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面SAB的一个法向量为和平面SBC的法向量为，由求解.
证明：如图所示：

取AC中点为D，连接SD，BD．
因为，D为AC中点，所以．
又侧面底面ABC，侧面底面，侧面SAC，
所以底面ABC，．
由于，，
则，，
由于，则，，
因为，所以．
又，，，且两直线在平面SBD内，
所以平面SBD，且平面SBD ，所以．
又，且两直线在平面ACE内，所以平面ACE．
由（1）可得DC，DB，DS两两垂直，故以D为坐标原点，DC，DB，DS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面SAB的一个法向量为，
则，即，
令，则，，即，
设平面SBC的一个法向量为，
则，即，
令，则，，即，
则，
，
设二面角的平面角为，
则，
故二面角的正弦值为．
19-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据矩形的性质和边长得到，然后利用线面垂直的判定得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.
在矩形中，为侧棱的中点．
，，
所以，所以，
所以，则．
因为，，，平面，
所以平面．因为平面．所以．
又因为，平面，所以平面．
由题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由，，余弦定理知，则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则由得
取，得．
设平面的法向量为，

则由得
取，得，
所以．
由图易知，二面角的平面角为钝角，
所以它的余弦值为．
19-4【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
在图1中，直角梯形中，因为，且，则，
所以，则，又因为，由余弦定理可得，
，也即，解得，
所以，从而，故，

取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC＝AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD＝O，平面ACD，
∴BC⊥平面ACD.
建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，
则，，所以，
，
设为面CDM的法向量，
则，即，解得，
令，可得
又为面ACD的一个法向量，
∴，
∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．

19-5【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）连接AE，PF，BD，由体积比可得，即E为BC的中点，进而可得AF⊥DE，再由线面垂直的性质、判定证结论；
（2）先证PA，AB，AD两两垂直，构建空间直角坐标系，由题设易知∠PEA为PE与平面ABCD所成角，求得，进而求面PBF、面PAB的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角A-PB-F的余弦值．
连接AE，PF，BD，如图①所示．
因为三棱锥P-CDE与四棱锥P-ABED的体积比为1:3，
所以，即．
所以E为BC的中点，则，，
故，又F为DE的中点，所以AF⊥DE．
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥DE，
又，PA、平面PAF，所以DE⊥平面PAF．
因为PA⊥面ABCD，且在矩形底面ABCD内，易知：PA，AB，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图②所示的空间直角坐标系A-xyz．
所以∠PEA为PE与平面ABCD所成角，即，则．
则，
所以，，
设面PBF的法向量为，则，令，则．
而面PAB的一个法向量为，所以．
由图知：锐二面角A-PB-F的余弦值为．
19-6【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）根据面面垂直性质定理得平面，进而证明，再由勾股定理证明，最后根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）由条件证明为的中点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角，由此可得结论.
因为平面平面且交线为，
又平面且，所以平面，
又平面，所以，
因为是边长为2正方形，所以，又，
所以，即，
又因为，平面，所以平面；
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，所以为的中点，
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
20-1【基础】 【正确答案】 1、
2、分布列见解析，1
【试题解析】 分析:
（1）利用古典概型的计算公式即可求解；
（2）利用古典概型的概率的计算公式，写出随机变量的可能取值，求出对应的概率，进而得出随机变量的分布列，结合期望公式即可求解.
只服用药物A的人数为数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数360+228=588人，故一名患者只服用药物A治疗，
估计此人能在14天内康复的概率为：；
只服用药物A的患者7天内康复的概率为．
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中的可的取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2




所以.
20-2【基础】 【正确答案】 1、
2、分布列见解析，
【试题解析】 分析:
（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；
（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；
记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，
则.
如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，
则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，
，，
，，
，，
所以的分布列为：

6
7
8
9
10
11







所以的数学期望.
20-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、分布列见解析，35
【试题解析】 分析:
（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况个数为，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式即可；
（2）随机变量的所有取值为0，10，20，30，40，50，60，70，利用排列组合计数，分别求出取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．
1名顾客摸球3次停止摸奖的情况个数为，基本事件的个数为，
设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则，
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为．
随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，50，60，70，
表示第一次取球取到了黑球，概率为；
表示第一次取到了白球，第二次取到了黑球，概率为；
表示前两次取到白球，第三次取到黑球，概率为；
表示前三次取到白球，第四次取到黑球，概率为；
表示第一次取到红球，第二次取到黑球，概率为；
表示前两次取到白球和红球，第三次取到黑球，概率为；
表示前三次取到2个白球和1个红球，第四次取到黑球，概率为；
表示前四次取到3个白球和1个红球，第五次取到黑球，概率为；
综上，随机变量X的分布列为：
X
0
10
20
30
40
50
60
70
P








．
20-4【巩固】 【正确答案】 1、 2、
【试题解析】 分析:
（1）用乘法公式和全概率公式，分别算出取到2个白球和3个白球的概率即可；
（2）分别计算出取到的白球数的概率，计算期望即可.
设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.
取到2个白球的概率，则
取到3个白球的概率，，
则取到的白球数不少于2个的概率.
,
,
,
，
所以取到的白球数的期望：
20-5【提升】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公式求解作答.
（2）求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒的试验有个基本事件，
其中至少有1个男孩卡通人物的事件，其对立事件有个基本事件，
所以至少有1个男孩卡通人物的概率.
依题意，X的可能值为0，1，2，
，
所以随机变量X的分布列为

0
1
2




数学期望为.
20-6【提升】 【正确答案】 1、
2、分布列见解析，
【试题解析】 分析:
（1）结合题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据题意先求出X的可能取值，再求出每一个值对应的概率，列出分布列，带入期望的公式即可求解.
由题可知，甲能获得奖品的概率．
由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，
则，，，，，
X的分布列为

0
1
2
3
4






．
21-1【基础】 【正确答案】 1、；
2、；
3、存在，理由见解析.
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，直接计算求出，可得答案；
（2）设的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和，化简得到，最后利用基本不等式，进而得到直线方程；
（3）假设在轴上存在满足条件，则，通过联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理消去参数，可求出，进而得到答案.
，，，，
所以椭圆的方程；
设的方程为，，，
由，得，
所以，；

，
当且仅当取得等号，解得，
所以的方程为；
设，，，
假设在轴上存在满足条件，则，
即，
所以，①
由得，
所以，；
将，代入①式可得
即，因为，化简得，
所以恒过定点.
21-2【基础】 【正确答案】 1、
2、 3、存在，最大值
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，将两点代入椭圆的方程，求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，结合直线方程，令，求得，即可求解；
（3）由，结合基本不等式，即可求解.
解：由椭圆经过两点，，
代入可得，解得，，所以椭圆方程为.
解：因为直线l与坐标轴不垂直，所以可设其方程为，
由，整理得，
由，得，
设，，则，
直线方程为，
令，
则，
所以直线与轴交于点，即.
解：由（2）知，可得，所以点和点位于轴同侧，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时，
故存在最大值.
21-3【巩固】 【正确答案】 1、最大值为
2、证明见解析，
【试题解析】 分析:
（1）由题可得椭圆方程为：，则椭圆右焦点为，易知当斜率为0时不合题意，斜率不为0时，设直线的方程为，，，
将直线方程与椭圆方程联立，可得四边形的面积为
，后利用韦达定理及基本不等式可得面积最值；
（2）由（1）可得直线BD方程为：，令可得：，化简后可得定点坐标.
由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为，则椭圆的右焦点为，
当直线的斜率等于时不符合题意；
设直线斜率不为0时，直线方程为，，，
由可得：，
则，，，
所以，
所以四边形的面积为
，
设，则，所以，
因为，当且仅当即，时，最小值为，
所以，因为，可得
所以四边形（为坐标原点）的面积的最大值为；
因为，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
令可得.
由（1）知：，，则
所以，则直线过定点.
点睛:
关键点点睛：本题涉及圆锥曲线中的面积及直线过定点问题，难度较大.
（1）问所涉面积表达式利用韦达定理整理后多为分式形式，常利用换元，上下同除等手段处理；
（2）问所涉直线参数较多，但题目可由对称性确定定点在x轴上，故令.
21-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、①证明见解析，定点；②
【试题解析】 分析:
（1）由题意可得，，再结合，可求出，从而可求得椭圆的方程，
（2） ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或进而可求出定点，当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
②设直线过定点为，则的面积，直线的方程为，代入椭圆方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，化简换元后利用基本不等式可求得结果
由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
①在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
②不妨设直线过定点为.则的面积，
设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，
则
所以.
令，则
因为，所以（当且仅当即），
所以，即面积的最大值为.
21-5【提升】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）利用给定离心率，求出的关系，再利用给定的点即可计算作答.
（2）①由（1）求出点A，B的坐标，设出直线CD的方程，利用韦达定理，借助向量数量积求解作答；②由①求出点C，D纵坐标差的绝对值，再建立函数关系，求出函数最大值作答.
依题意，椭圆E的离心率，即，椭圆过，
于是得，解得，
所以椭圆E的方程为.
①由（1）知，，依题意，直线CD不垂直于y轴，且不过点A，设直线CD：，，
由消去x并整理得：，
，设，
则，，而，
，
而，又，
则
，解得（舍去）或，
所以直线CD：恒过定点.
②由①知，，，，，而，则，
面积
，
令，则在上单调递减，则当，即时，，
所以面积的最大值是.
点睛:
思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
21-6【提升】 【正确答案】 1、
2、①证明见解析；②
【试题解析】 分析:
（1）由题意可得，设，可得，，解方程求，可得椭圆方程；
（2）①设，联立直线和椭圆方程，求得的坐标，进而得到，，
再根据向量共线的定义即可得证；
②根据椭圆的定义可求的周长，结合内切圆的性质可得，利用设而不求法
求的最大值即可的结论.
由已知得：，，，
设，
因为M在椭圆上，所以①
因为，
将①式代入，得，
所以，
所以椭圆的方程为．
①设，则， ，
所以，，
联立方程，得，
则．
联立方程，得，，
则，
椭圆的右焦点为，
，，
因为，
说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点．
②因为直线CD恒过点，
所以的周长为，
设内切圆的半径为，
所以的面积，
所以，即，
若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大，
因为三点不共线，
所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为，
代入得：，
可得，，
又因为
令，（*）式化为：，
因为函数在上单调递增，
所以当，即时，（*）式取最大值3，
所以，故，
所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得．

点睛:
关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22-1【基础】 【正确答案】 1、单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
2、．
【试题解析】 分析:
（1）对函数求导，利用函数单调性与导数间的关系即可求出结果；
（2）通过分离常量，构造函数，将恒成立问题转化成求函数的最小值，再利用单调性即可求结果.
当时，，
所以，
由，得到，由，得到，
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
由题意得，时，恒成立，
即恒成立，
所以，
令，，
则，
令，则在区间上恒成立，即区间上单调递增，所以，即在区间上恒成立，
所以，当时，，即函数在区间上单调递增，当时，，即函数在区间上单调递减，
所以，所以，得到，
所以的范围为．
22-2【基础】 【正确答案】 1、单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
2、4
【试题解析】 分析:
（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；
（2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.
由，得，
令，得；令，得，
∴的单调增区间是，单调减区间是，
故在处有极小值，无极大值；
由及，得恒成立，
令，则，
由，由，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
因此，所以m的最大值是4．
22-3【巩固】 【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为
2、
【试题解析】 分析:
（1）求导后，根据正负可得的单调区间；
（2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果.
当时，，则，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
由得：，即，
令，则定义域为，；
令，恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，即，；
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，
由此可得图象如下图所示，

恒过定点，斜率为，
若恒成立，结合图象可知：必有，解得：，
实数的取值范围为.
点睛:
关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为图象恒在直线上方的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.
22-4【巩固】 【正确答案】 1、单调递减区间为，单调递增区间为；
2、
【试题解析】 分析:
（1）求导，因式分解后可知其单调区间；
（2）分和讨论其单调性，根据函数最大值小于等于1解不等式可得.
当时，，，
当时，；当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为；
，
当；当，
在单调递减；在单调递增，
①当时，在单调递减，且，
，符合题意；
②当时，则在单调递减；在单调递增，于是，
实数的取值范围为.
22-5【提升】 【正确答案】 1、单调递增区间为，无单调递减区间
2、
【试题解析】 分析:
（1）求导，由指数函数，余弦函数的单调性确定，得出的单调区间；
（2）讨论，，利用导数得出的最小值，进而由得出的取值范围.
因为，所以，.
当时，，，则，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
因为，所以.
若，则由（1）可知，在上恒成立，
则在上单调递增，故，符合题意.
若，令函数，则在上恒成立，
故在上单调递增.
因为，且当时，，所以，.
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
点睛:
关键点睛：解决问题（2）时，关键将问题转化为最值问题，由得出的取值范围.
22-6【提升】 【正确答案】 1、单调递增区间为，单调递减区间为和
2、
【试题解析】 分析:
（1）求导，再根据的正负判断；
（2）将不等式，转化为，令，利用导数法得到，即，将问题可转化为当时，恒成立求解.
解：函数的定义域为R，
求导得：，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
不等式，即，
即．
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
所以问题可转化为当时，恒成立．
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
又，，所以的最大值为，
所以，即实数a的取值范围是．
点睛:
易错点睛：本题第二问往往忽视的正负，直接将，转化为，造成丢分或错误失分现象．