2022-2023学年江苏省无锡市江阴市青阳片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市青阳片八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式：，，，，，其中是分式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  下列事件中为必然事件的是(    )

A. 投掷一枚正方体骰子，点数“”朝上
B. 从一副只有到的张扑克牌中任意抽出一张，它比大
C. 随机从，，，，十个数中选取个不同的数，它们的和小于
D. 袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个恰好是白球

4.  今年我市有万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是(    )

A. 这万名考生的全体是总体 B. 每个考生是个体
C. 名考生是总体的一个样本 D. 样本容量是

5.  依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  用反证法证明“若，则”时，应首先假设(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知关于的方程的解是负数，那么的取值范围是(    )

A. 且 B.
C. 且 D. 且

9.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动不与点、重合，同时点从点出发沿着线段向点运动不与点、重合，点与点的运动速度相同与相交于点则有下列结论：是定值；平分；当运动到中点时，；当四边形的面积是时，点到直线的距离为其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  小明同学随手写了一串数字：其中，出现的频率是        ．

13.  已知平行四边形中，，则 ______ 度

14.  在一个不透明的盒子中装有个大小相同的乒乓球，做了次摸球试验，摸到红球的频数是，估计盒子中的红球的个数是______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是______．

16.  如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，，，，，则的度数为______．

17.  如图，在矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转角，得到矩形，与交于点，的延长线与交于点当矩形的顶点落在的延长线上时，则______．

18.  如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连接若，则另一条直角边的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  先化简代数式再求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
解方程：
；
．

22.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，．
求证：≌；
求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

这次被调查的同学共有人；补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；
扇形统计图中“剩一半”项目所对应的圆心角度数为______ ；
校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人食用一餐据此估算，该校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．

24.  本小题分
如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
画出关于原点成中心对称的三角形；
将绕坐标原点逆时针旋转，画出图形；
请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

25.  本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．
求证：；
若菱形的边长为，，求的长．

26.  本小题分
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
型自行车去年每辆售价多少元？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍．已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

27.  本小题分
如图，正方形的顶点的坐标为，为轴上的一个动点，以为边作正方形，点在第四象限．
线段的长为______ 用的代数式表示；
试判断线段与的数量关系，并说明理由；
设正方形的对称中心为，直线交轴于点随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，的分母中含有字母，因此它是分式．
故选：．
根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
 

3.【答案】 

【解析】解：投掷一枚正方体骰子，点数“”朝上是随机事件，故A不符合题意；
B.从一副只有到的张扑克牌中任意抽出一张，它比大是随机事件，故B不符合题意；
C.随机从，，，，十个数中选取个不同的数，它们的和小于是必然事件，故C符合题意；
D.袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个恰好是白球是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据必然事件是一定能够发生的事件，逐项进行判断即可．
本题主要考查了事件的分类，掌握必然事件是一定能够发生的事件是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：这万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
B.每个考生的数学成绩是个体，此选项错误；
C.名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D.样本容量是，此选项正确；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：“若，则”的结论是，
用反证法时应先假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查了反证法，熟记反证法的证明步骤是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作图的痕迹得平分，
，所以选项不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，所以选项不符合题意，
，所以选项不符合题意，
不能确定，所以选项符合题意．
故选：．
利用基本作图得到平分，则可对选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，再证明，所以，则可对、选项进行判断；由于不能确定，则可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：去分母，得，
．
由于方程的解为负数，
且，
解得且．
故选：．
解分式方程，用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定的取值范围．
本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是定值，
故正确；

设平分，
，，
，，
正方形，
，
，，
矛盾，故假设不成立，
故错误；

延长，交的延长线于点，

根据得，≌，，
，
是中点，
，
正方形，
，
，
；
正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故正确；

过点作于点，交于点，
正方形，
，

四边形是矩形，
，，
根据得，≌，
，
，
，
，
，
解得，
，
故当四边形的面积是时，点到直线的距离为，
故正确，
故选：．
根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的意义，点到直线的距离计算判断即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】
解：分式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：出现的频率是，
故答案为：．
用数字的个数除以数字的总个数即可．
本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比即频率频数总数．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得：，

故答案为：．
由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，进而可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：做了次摸球试验，摸到红球的频数为，
摸到红球的频率是：，
估计其中的红球个数为：个；
故答案为：．
根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，
点的坐标是：．
故答案为：．
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
同理可得∽，
，
，
，
．
故答案为：．
由∽，可得，推出，同理可得∽，由，求出，即可解决问题．
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作于，过作于，

，
，，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过作，过作，可得四边形为矩形，推出，，根据正方形的性质得出，，求出，根据证≌，推出，，得出等腰三角形三角形，根据勾股定理求出，求出，即可求出答案．
本题考查了正方形，掌握等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

当时，原式． 

【解析】先把分式中分子分母能分解因式的分解因式，再把括号内的分式通分，然后把分式的除法转化为分式的乘法进行约分，最后代入数值求解．
本题主要考查分式的化简求值，涉及到分式的混合运算，运算时要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
 

20.【答案】解：


；






． 

【解析】根据分式加减运算法则进行计算即可；
根据分式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
 

21.【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
所以是增根，原方程无解． 

【解析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，即，
在和中，，
≌．
证明：≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】证出，由证明≌即可；
由全等三角形的性质得出，，得出，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：人，
这次被调查的同学共有人，
“剩少量”的人数为人，
补全统计图如下：

．
扇形统计图中“剩一半”项目所对应的圆心角度数为．
故答案为：．
人．
该校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐．
根据“不剩”的学生数和所占的百分比可以求得这次被调查的同学数，进而求出“剩少量”的学生人数，进一步补全统计图即可；
用乘以样本中“剩一半”的学生人数占比即可得到答案；
根据题目中的数据可以得到该校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
如图所示，第四个顶点的坐标为或或． 

【解析】分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点绕点逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可；
分别以、、为平行四边形的对角线，据此确定第四个顶点的位置．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．
 

25.【答案】证明：为菱形，
，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．  
．
在菱形中，，
为等边三角形，
．
在矩形中，
．
在中，
． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；
根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
，
，
随的增大而减小．
时，有最大值
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大． 

【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值．
 

27.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故答案为：；

．

四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
≌，
；

点的位置保持不变，理由：
过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，

，
，，
，
，
≌，
，，
，
又，是的中点，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
，
．
利用坐标、坐标与图形的性质即可求解；
证明≌可得结论．
过点作交的延长线于点，过点作轴．证明≌，推出，，求得，进而可得，即可证明是等腰直角三角形即可解决问题．
本题考查了中心对称，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确构造辅助线证明三角形全等．