精品解析：陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题（解析版）

武功县2022~2023学年度第二学期期中质量调研

高二数学（文科）

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.

3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】化简得到，从而得到对应点位于第二象限.

【详解】，所以对应的点（-2,1）位于第二象限.

故选：B

2. 甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】根据相关系数的定义判断即可.

【详解】因为相关系数越大，线性相关程度越强，

所以线性相关程度最高的是乙.

故选：B

3. 若复数满足，则的共轭复数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得结果.

【详解】，.

故选：C.

4. 下列三句话按“三段论”的表述形式，排列顺序正确的是（    ）

①是偶函数；②的图像关于y轴对称；③偶函数的图像关于y轴对称．

A. ①→②→③ B. ③→②→① C. ②→①→③ D. ③→①→②

【答案】D

【解析】

【分析】根据“三段论”的结构即可求解.

【详解】根据“三段论”：“大前提”，“小前提”则“结论”可知：偶函数的图像关于y轴对称是“大前提”，是偶函数是“小前提”，的图像关于y轴对称是“结论”，

故选：D

5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（    ）

A. 相互独立 B. 对立 C. 互斥但不对立 D. 概率相等

【答案】A

【解析】

【分析】根据即可得到答案。

【详解】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，

所以，故，

所以A与B相互独立．

故选：A

6. 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】设甲射击命中目标为事件，乙射击命中目标为事件，丙射击命中目标为事件，

则，，，

因为相互独立，所以也相互独立，

则三人都没击中目标的概率为

，

所以目标被击中的概率是，

故选：D．

7. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.

【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，

即，，，

对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；

对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大；

对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；

对于D中，函数，当时，，当时，，

当时，和076相差0.04，

综合可得，选用函数关系较为近似．

故选：D.

8. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可列式，即可解出复数虚部.

【详解】设，，解得

故选：D

9. 在一次数学竞赛中，某班甲、乙、丙三名同学中的一人获奖.甲说：“我没有获奖”；乙说：“我获奖了”；丙说：“乙没有获奖”.如果三人中恰有二人的说法是错误的，则最终获奖的是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定

【答案】A

【解析】

【分析】先假设说法正确，通过推理分析即可得出结论.

【详解】假设甲的说法是正确的，则乙、丙二人的说法是错误的，则乙没获奖，所以丙的说法是正确的，两者矛盾，所以甲的说法是错误的；

假设乙的说法是正确的，即获奖的是乙，则甲、丙二人的说法是错误的，所以甲获奖了，

与三名同学中的一人获奖矛盾，所以乙的说法是错误的；

因为三人中恰有二人的说法是错误的，所以丙的说法是正确的，所以最终获奖的是甲.

故选：A.

10. 我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，则：在空间中，点到平面的距离为（    ）

A. 7 B. 5 C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式进而可以求解.

【详解】平面内点到直线的距离公式，

类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点到直线的距离为：.

故选：B.

11. 图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可推出，且，从而说明数列是以为首项，为公差的等差数列，求得数列的通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意知，，

，，，，都是直角三角形，

，且，故，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

．

又，，

数列的通项公式为，

，

故选：C．

12. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（        ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．

【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；

对于B，，

故选项B正确；

对于C，由，，

所以,得出，故选项C正确；

对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．

故选：D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再求出其模.

【详解】因为，所以，

所以.
故答案为：

14. 执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据程序框图把代入，逐步求解可得结果.

【详解】第一次运算：;

第二次运算：;

第三次运算：;

此时，退出循环体，输出为.

故答案为：.

15. 经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程.若样本点中心为，则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为______万元.

【答案】70

【解析】

【分析】根据回归直线必过样本点中心得，进而得，再计算即可.

【详解】解：依题意，回归直线必过样本点中心，

故将代入回归直线方程得，解得，

所以回归直线方程为.

令，得.

所以当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为万元.

故答案为：

16. 一个口袋中装有5只口罩，其中一次性医用口罩4只，普通一次性口罩1只，从中取2只，每次任取1只（不放回）.设事件“第一次取到的是一次性医用口罩”，事件“第二次取到的是一次性医用口罩”，则条件概率__________．

【答案】##0.75

【解析】

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】事件 “第一次取到的是一次性医用口罩, 第二次取到的是一次性医用口罩”,

,,

所以,

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请补充完整上述列联表；

（2）判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关.

附：，.

【答案】（1）见解析    （2）有的把握认为喜欢游泳与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表；

（2）计算卡方值，和10828比较即可得出结论．

【小问1详解】

因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为．

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

【小问2详解】因为，

所以有的把握认为喜欢游泳与性别有关．

18. 设复数（其中），，i为虚数单位.

（1）若是实数，求的值；

（2）若是纯虚数，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）是实数，说明虚部为，可求出的值，再去计算即可

（2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为，且虚部不为，从而求出.

【小问1详解】

（其中），，

，

由是实数，所以，解得．

，，

则；

【小问2详解】

由是纯虚数，

得，解得．

19. （1）已知正数，，，用反证法证明：a，b中至少有一个不小于6；

（2）用分析法证明：当时，.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）假设均小于，则，再由基本不等式证明得矛盾，即可得证；

（2）利用分析法从结论往前推即可.

【详解】（1）假设均小于，即，则，

而，，

则，

当且仅当，即时，取等号，

与假设矛盾，

所以a，b中至少有一个不小于6；

（2）当时，要证，

需证，

只需证，

即证，

也就是证，

即证，此式显然成立，

所以.

20. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

（1）求甲最后没有得奖的概率；

（2）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个事件的概率再求和即可；

（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解．

【小问1详解】

甲第一关没通过的概率为，

第一关通过且第二关没通过的概率为，

故甲没有得奖的概率．

【小问2详解】

记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖事件，

通过了第二关且最后获得一等奖为事件，

则，，

甲和乙最后所得奖金总和为700元，

甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，

若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为，

若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为，

甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．

21. 已知复数满足.

（1）求的最小值与最大值；

（2）若z所对应的点在第一象限，且为实数，求证：.

【答案】（1）最小值为1，最大值为3   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用复数的几何意义，结合图形关系即可求解，

（2）利用模长关系以及为实数，可得，代入化简即可求解.

【小问1详解】

复数在复平面内对应的点为，由可知，表示点到的距离为1，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆上，所以表示圆上的点到点的距离，由图可知：当点时，此时最大，且最大值为3，当点时，此时最大，且最小值为1，

【小问2详解】

，

由于为实数，所以，解得或，

z所对应的点在第一象限，所以，故舍去，取，

又得 ，所以解得

.

22. 据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表：

（1）根据上表数据，计算y与x间的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（结果保留两位小数，若，则认为y与x线性相关性很强；若，则认为y与x线性相关性不强.）

（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为67.6亿元.

参考公式：，，.

参考数据：，，，，.

【答案】（1），线性相关性很强；   

（2），2023年5月的产值为67.6亿元.

【解析】

【分析】（1）根据题目提供的数据和公式计算相关系数，比较可得结论；

（2）根据参考公式求出线性回归方程，根据方程进行预测即可.

【小问1详解】

，

因为，，，，

所以，

所以线性相关性很强.

【小问2详解】

由题意，

，

所以y关于x的线性回归方程为.

当时，解得，即2023年5月的产值为67.6亿元.