专题04 不等式及不等式组-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

这是一份专题04 不等式及不等式组-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解），共18页。
A．B．C．D．
2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（ ）
A．B．C．D．
3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．1D．1
5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（ ）
A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）
6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5
7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2B．2.5C．3D．4
8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1
9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（ ）
A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]
C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1
10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5
11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3
12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3
二．填空题（共7小题）
13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为 元．
14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于 ．
15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是 ．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）
16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是 ．
17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 ．
18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ．
19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝ ．三．解答题（共3小题）
20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．
材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y＝；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；
第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；
（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．
21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．
22．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：
（2）解不等式：专题04 不等式及不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵﹣2＜x＜2，
∴x＞﹣2且x＜2，
∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，
而只有D的形式和的形式相同，
∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．
3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．80cmB．75cmC．70cmD．65cm
【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，
由题意得：，
两式相加得：2a＝150，
解得：a＝75，
故选：B．
4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．1D．1
【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组的负整数解只有1个，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得≤a＜1，
故选：A．
5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（ ）
A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：由题意得，≥0，则或，
解得x＞3或1≤x≤2，所以不等式的解集是x＞3或1≤x≤2．
故选：C．
6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5
【解答】解：，
由①得x＜a﹣1，
由②得x≥4，
∵不等式组有解，
∴解集应是4≤x＜a﹣1，则a﹣1＞4，
即a＞5，
实数a的取值范围是a＞5．
故选：C．
7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2B．2.5C．3D．4
【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，
已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v＝可得两地距离：
s＝v×120，
普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，
即：s普+s城＝s，
所以：v×80+nv×20＝s，
所以：v×80+nv×20＝v×120，
解得：n＝2．
故选：A．8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1
【解答】解：，
由不等式①，得
x＜﹣2，
由不等式②，得
x≥a﹣1，
∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥﹣2，
解得a≥﹣1，
故选：C．
9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（ ）
A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]
C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1
【解答】解：A、设x＝﹣1.4，[2x]＝[﹣2.8]＝﹣3，2[x]＝﹣4，所以A选项错误；
B、设x＝﹣1.8，则[﹣x]＝1，﹣[x]＝2，即[﹣x]≠﹣[x]，所以B选项错误；
C、设x＝y＝1.8，对A，[x+y]＝[3.6]＝3，[x]+[y]＝1+1＝2，所以C选项错误．
D、设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1，故D选项正确．
故选：D．
10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5
【解答】解：解不等式3﹣2x≤1，得：x≥1，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，则不等式组的解集为1≤x＜m，
∵不等式组的整数解的和为10，
∴不等式组的整数解为1、2、3、4，
则4＜m≤5，
故选：B．
11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3
【解答】解：由ax+2a﹣3＞0得，ax＞3﹣2a，
当a＞0时，不等式的解集为x＞，
对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，
∴＜﹣1，
解得，a＞3；
当a＝0时，不等式无解，舍去；
当a＜0时，不等式的解集为x＜，
∵对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，
∴＞1，
解得，a＞1（与a＜0矛盾，舍去）；
综上，a＞3．
故选：B．
12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3
【解答】解：解不等式|x|＜3得﹣3＜x＜3，
解不等式x+1＞0，得x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
故选：C．
二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为 460 元．
【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和，
∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，
∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等，
即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占，
∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为：：＝8：5：5，
设总共有a盒茶叶，
∴成本为×500a+×420a+×380a＝a（元），
销售额应为×（1+16%）a＝a（元），
清明香的销售额为640××（1﹣）a＝a（元），
另外两种茶的销售总额为a﹣a＝a（元），
设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，
因此可建立方程xa+×（640+x）•a＝a，解得x＝460，
因此滴翠剑茗单价最低为460元，
故答案为：460．
14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于 2﹣4 ．
【解答】解：∵x＜0，
∴3x+≤﹣2＝﹣4，
∴2+3x+≤2﹣4，
当且仅当3x＝时等号成立，取得最小值2﹣4．
故答案为：2﹣4．
15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是 4：9 ．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）
【解答】解：设a种坚果每100克的成本价为x元，c种坚果每100克的成本价为y元，
由于乙种坚果营养袋每袋的成本利润率为25%，则5﹣（2x+1+2y）＝25%（2x+1+2y），
∴x+y＝，
则甲种坚果营养袋每袋的成本价为x+3+y＝元，
乙种坚果营养袋每袋成本价为2x+2y+1＝4元，
甲种坚果营养袋每袋售价为（1+）×＝6元，
设商场销售甲种坚果m袋、乙种坚果n袋，
由于两种坚果营养袋的销售利润率为，则，
∴9m＝4n，
∴m：n＝4：9，
即商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9，
故答案为：4：9．
16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是 m≥或m＜﹣2 ．
【解答】解：当x⩾2时，
mx﹣1＝2x﹣4，
∴（m﹣2）x＝﹣3，
∴，
∴2﹣m＞0且，
∴，
当x＜2时，
mx﹣1＝4﹣2x，
∴（m+2）x＝5，
，
∴，
解得m＜﹣2 或 ，
综上所述 或 m＜﹣2，
故答案为 或 m＜﹣2．
17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 9：40 ．
【解答】解：设公司对A村、B村、C村进行增加投资的数额分别为3x，3x，8x，则增加投资的的总额为14x，
设公司原来向C村投资数额为2c，向A村投资的数额为a，向B村投资的数额为b，
∵新投资总额是对C村投资额的倍，
∴a+b+2c＝×2c，
∴a+b＝5c．
∴该公司对三个村的投资总额为a+b+2c＝7c．
∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，
且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，
∴．
化简，得：．
∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为：＝＝．
故答案为：9：40．
18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 3≤a＜4 ．
【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，
解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，
∴﹣a≤x＜1．
∵此不等式组恰有四个整数解，∴这4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴﹣4＜﹣a≤﹣3，
∴3≤a＜4，
故答案为：3≤a＜4．
19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝ 7 ．
【解答】解：将方程的解代入方程得：，
解得：，
∴a+b＝3+4＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共3小题）
20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．
材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y＝；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；
第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；
（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，
∴原方程变形为：5x+4y＝99，
∴x＝，
∴99﹣4y是5的倍数，
∴当y＝1时，x＝19，
∴ 是原方程的解；
（2）∵5x+4y＝99有整数解，
∴，，，，，
∴原方程有5组正整数解．
21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．
【解答】解：①当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6＝c，
解得：
由＜1，
∴c＞3
②当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：c＝3，有无数多解；
③当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6＝c，解得：
，得：1＜c⩽3
④当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6＝c，解得：
由，得：c⩾1
故当c＞3时，原方程恰有两解：
当1＜c＜3时，原方程恰有两解：
故答案为：c＞3或1＜c＜3
22．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：
（2）解不等式：【解答】解：（1），
①×2﹣②得﹣x＝﹣2，
解得x＝2，
把x＝2代入①得y＝﹣1，
元方程组的解是；
（2）去分母得：2x＞12﹣3（x﹣1），
去括号得：2x＞12﹣3x+3，
移项，合并同类项得：5x＞15，
系数化为1得：x＞3．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/10 10:28:30；用户：纵横捭阖；邮箱：rFmNt43ACkJzKV2EeImKyX7H6ig@；学号：32344145