中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习九（含答案）

这是一份中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习九（含答案），共15页。试卷主要包含了设点P的横坐标为m，等内容，欢迎下载使用。
中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习九1.已知，抛物线y＝mx2＋x﹣4m与x轴交于点A(﹣4，0)和点B，与y轴交于点C．点D(n，0)为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．(1)求m的值和直线AC的解析式．(2)若点D在运动过程中，AD＋CD取得最小值时，求此时n的值．(3)若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE＋CE的最小值．      2.抛物线y＝x2﹣(m＋3)x＋3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(不与点O重合)．(1)若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．(2)点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n(1≤n≤4)个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．      3.把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图(2)，△DEF从图(1)的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(cm2)，试探究y的最大值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形．       4.如图，抛物线y＝﹣x2＋x＋4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．(1)A，B，C三点的坐标为 　   　，　  　，　   　．(2)连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．      5.抛物线：y＝﹣x2＋bx＋c与y轴的交点C(0，3)，与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．(3)如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；(4)如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．      6.如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．      7.已知抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A．(1)点A的坐标为 　   　；对称轴为 　   　(用含a的代数式表示)；(2)无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为 　   　；(3)若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B)，若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．      8.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；(3)在(2)的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2＋bx＋c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D(点D在第二象限)，点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习九（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)∵抛物线y＝mx2＋x﹣4m与x轴交于点A(﹣4，0)，∴m(﹣4)2＋×(﹣4)﹣4m＝0，解得：m＝，∴抛物线解析式为y＝x2＋x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵A(﹣4，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3.(2)∵A(﹣4，0)，D(n，0)为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，∴AD＝n﹣(﹣4)＝n＋4，在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，∴∠AKD＝90°，∴DK＝AD，∠ADK＝60°，当C、D、K在同一条直线上时，CD＋DK最小，即AD＋CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，∵OD＝﹣n，∠COD＝90°，∴＝tan∠CDO＝tan60°，∴n＝﹣．(3)∵DM⊥x轴，NP⊥AC，∴∠ADM＝∠NPM＝90°，∵∠AMD＝∠NMP，∴△AMD∽△NMP，∵△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，∴＝，∵＝sin∠DAM＝＝，∴＝，∴DN＝3DM，∵DM＝n＋3，DN＝﹣n2﹣n＋3，∴﹣n2﹣n＋3＝3(n＋3)，解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4(舍去)，∴D(﹣2，0)，∴OD＝2，如图2中，在y轴上 取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD＝2．∵OE＝2，OROC＝×3＝4，∴OE2＝OROC，∴＝，∵∠COE＝∠ROE，∴△ROE∽△EOC，∴＝＝，∴RE＝CE，∴当A、R、E共线时，AE＋CE＝AE＋ER＝AR，此时AE＋CE最小，∴AE＋CE的最小值＝AR＝． 2.解：(1)①令y＝0，则x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝m，∴A(m，0)，B(3，0)，令x＝0，则y＝3m，∴C(0，3m)，∵△OBC为等腰直角三角形，∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下：∵点O为△BCD的外心，∴OB＝OC＝OD＝3，设D(t，t2﹣2t﹣3)，∴3＝，解得t＝，∴D(，)或(，)；(2)∵y＝x2﹣(m＋3)x＋3m，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵点P的纵坐标为﹣9，∴P(，﹣9)，设直线PC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝﹣6x＋3m，∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x＋3m﹣n，联立方程组，整理得，x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，∴n＝，∵1≤n≤4，∴1≤≤4，∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，∵A(m，0)，B(3，0)，∴AB＝3﹣m，∴S△ABC＝×(3﹣m)×(﹣3m)＝(m﹣)2﹣，当﹣1≤m≤1时，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42． 3. (1)解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；(2)过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=(10﹣2t)∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当(在0≤t≤5内)，y有最大值，y最大值=(cm2) (3)若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：t=(s)若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：(s)若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：(s)综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形． 4.解：(1)令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)；令y＝0，则﹣x2＋x＋4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A(﹣2，0)，B(3，0)．故答案为：(﹣2，0)；(3，0)；(0，4)．(2)①∵CP∥x轴，C(0，4)，∴P(1，4)，∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x轴，∴＝＝．②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋4．设点P的横坐标为m，则P(m，﹣m2＋m＋4)，Q(m2﹣m，﹣m2＋m＋4)．∴PQ＝m﹣(m2﹣m)＝﹣m2＋m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，∴当m＝时，的最大值为．另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．(3)假设存在点P使得∠BCO＋2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，∵∠BCO＋2∠PCB＝90°，∠BCO＋∠BCF＋∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延长CP交x轴于点M，∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M(8，0)，∴直线CM的解析式为：y＝﹣x＋4，令﹣x2＋x＋4＝﹣x＋4，解得x＝或x＝0(舍)，∴存在点P满足题意，此时m＝． 5.解：(1)将C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c＝3，∵对称轴是直线x＝1，∴x＝1，解得b＝2，∴二次函数解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3与y轴的交点C(0，3)，对称轴方程为x＝1．CD⊥y轴，∴D(2，3)，∵对称轴与x轴相较于点F，∴点F的坐标为(1，0)，设P点坐标为(0，a)，∵CD⊥y轴，OF⊥y轴，∴∠DCF＝∠POF＝90°∴∠OFP＋∠OPF＝90°，∵PD⊥PF，∴∠DPF＝90°，∴∠CPD＋∠OPF＝90°，∴∠OFP＝∠CPD，∴△CDP∽△OPF，∴，∴，解得：a1＝1，a2＝2，∴P点的坐标为(0，1)或(0，2)；(3)如图：连接CG，∵y＝﹣x2＋2x＋3，令y＝0，则﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴G(3，0)，E(﹣1，0)，∴OG＝OC，∵OC⊥OG，∴△COG为等腰直角三角形，∴∠OCG＝45°，∵点O、点G、点C、点H四点共圆，∴∠OHG＝∠OCG＝45°；(4)∵将抛物线向下平移2个单位长度得到抛物线L，∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3﹣2＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，∴B点坐标为(1，2)，联立，即kx﹣k＋4＝﹣x2＋2x＋1，∴x2＋(k﹣2)x＋3﹣k＝0，设两个交点为N(x1，y1)，M(x2，y2)，则x1＋x2＝2﹣k，x1x2＝3﹣k，S△BMN＝S△BGN﹣S△BGM＝＝BG＝＝BG＝2，把x＝1代入y＝kx﹣k＋4，得；y＝4，∴G(1，4)，∵B(1，2)，∴BG＝4﹣2＝2，∴，解得：k＝±4，∵k＜0，∴k＝﹣4． 6.解：(1)由题意得，，∴，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B(3，0)，∵PC2＋BC2＝[1＋(4﹣3)2]＋(32＋32)＝20，PB2＝[(3﹣1)2＋42]＝20，∴PC2＋BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，∴S△PBC＝3，∵S△BOC＝，∴S四边形BOCP＝S△PBC＋S△BOC＝3＋＝；(3)如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，设P(m，﹣m2＋2m＋3)，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，由﹣x＋3＝﹣m2＋2m＋3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣(m2﹣2m)＝﹣m2＋3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，∴当m＝时，()最大＝，当m＝时，y＝﹣()2＋2×＋3＝，∴P(，)，设Q(n，﹣n2＋2n＋3)，如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，∴＝，∴＝，∴n＝，如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；(4)如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G(n，0)，H(3，3＋n)，∴K(，)，∴I(，﹣()2＋n＋3＋3)，∵TM＝IW，∴＝()2＋n＋6﹣(3＋n)，∴(n＋3)2＋2(n＋3)﹣12＝0，∴n1＝﹣4＋，n2＝﹣4﹣(舍去)，∴G(﹣4＋，0)． 7.解：(1)令x＝0，则y＝﹣2，∴A(0，﹣2)；抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝﹣＝，故答案为：(0，﹣2)；x＝；(2)∵抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2＝ax2﹣3ax＋x﹣2＝(x2﹣3x)a＋x﹣2，又无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，∴x2﹣3x＝0，∴x＝3，∵当x＝3时，y＝x﹣2＝1，∴B(3，1)，故答案为：(3，1)；(3)∵a＜0，∴抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2开口方向向下．由(1)知：抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x＝，①若≤﹣1，则a≥，与a＜0矛盾，不合题意；②若﹣1＜＜3，则a＜﹣，此时，抛物线的顶点为图象最高点，即当x＝时，函数y的值为2，∴a×﹣(3a﹣1)×﹣2＝0，解得：a＝﹣1或a＝﹣(不合题意，舍去)．∴a＝﹣1；③若≥3，则﹣≤a＜0，此时，点(3，2)是满足﹣1≤x≤3时，图象的最高点，∵9a﹣3(3a﹣1)﹣2＝1≠2，∴此种情况不存在，综上，满足条件的抛物线的表达式为y＝﹣x2＋4x﹣2；(4)∵B(3，1)，∴将点B沿直线y＝﹣2进行翻折后得到的对称点的坐标为B′(3，﹣5)，∴点B′到直线y＝﹣6的距离为1．①当a＞0时，∵图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，∴此时，抛物线的顶点的纵坐标为﹣4，∴＝﹣4，解得：a＝，∴a＝或；②当a＜0时，∵点B′到直线y＝﹣6的距离为1，∴图象M1上仅存在一个点到直线y＝﹣6的距离为2，综上，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，a的值为或． 8.解：(1)由题意得，A(3，0)，C(0，4)，∴，∴，∴抛物线解析式为；(2)如图1，设B(0，a)，∴PQ＝BC＝BQ＝4﹣a，∵A(3，0)，∴直线AB的解析式是：y＝﹣，由﹣＝4﹣a得，x＝，∴OQ＝，∵四边形BCPQ是菱形，∴PB⊥CQ，∵∠ABO＝∠PBC，∴∠OCQ＝∠BAO，∴△AOB∽△COQ，∴＝，∴＝，∴a1＝，a2＝﹣6，∴B1(0,)，B2(0，﹣6)；(3)如图2，由(2)知，B(0，)，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+，∴设D(a，﹣﹣a+)，∴BD2＝(a2＋a2)＝a2，∵∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，则I(，﹣)，作IJ⊥OA于J，∴IJ＜BD，∴(﹣)2＜，∴a1＜，a2＞ (舍去)，当a＝时，y＝﹣×＝，设平移后的抛物线为：将D点坐标代入平移后解析式得，﹣×()2＋4＋m＝解得：m＝，∴m＞．