中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习二（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习二1.如图1，已知抛物线L：y=ax2+bx﹣(a＞0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x=1(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣=0的解．(2)求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．(3)如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      2.已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；                                                                                                                              (3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，求出定点坐标．                    3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2．(1)求该抛物线的表达式；(2)直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．      4.如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C，与x轴的交于A(1，0)、B(﹣3，0)两点，与y轴交于点D(0，3).(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图②，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为﹣2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，连接AC交y轴于M，在x轴上是否存在点P，使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.      5.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；(3)如图3，在(2)的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长      6.已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2).【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．      7.已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c图象的对称轴与x轴交于点A(1,0)，图象与y轴交于点B(0,3)，C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD＝90°．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．      8.定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2＋k．(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 　 　 ，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标 　      ．写出抛物线y=﹣(x﹣1)2＋的“镜像抛物线”为　    　．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax＋1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习二（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)如图1，∵y=ax2+bx﹣(a＞0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，对称轴为直线l：x=1，∴点A和点B关于直线l：x=1对称，∴点B(3，0)，∴一元二次方程ax2+bx﹣=0的解为x1=﹣1，x2=3；(2)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx﹣，得，解得，抛物线L的解析式为y=x2﹣x﹣，配方得，y=(x﹣1)2﹣2，所以顶点M的坐标为(1，﹣2)；(3)如图2，作PC⊥l于点C．①∵y=(x﹣1)2﹣2，∴当m=5，即x=5时，y=6，∴P(5，6)，∴此时L′的解析式为y=(x﹣5)2+6，点C的坐标是(1，6)．∵当x=1时，y=14，∴点N的坐标是(1，14)．∵CM=6﹣(﹣2)=8，CN=14﹣6=8，∴CM=CN．∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；②PM=PN仍然成立．由题意有点P的坐标为(m，m2﹣m﹣)．∵L′的解析式为y=(x﹣m)2+m2﹣m﹣，∴点C的坐标是(1，m2﹣m﹣)，∴CM=m2﹣m﹣+2=m2﹣m+．∵在L′的解析式y=(x﹣m)2+m2﹣m﹣中，∴当x=1时，y=m2﹣2m﹣1，∴点N的坐标是(1，m2﹣2m﹣1)，∴CN=(m2﹣2m﹣1)﹣(m2﹣m﹣)=m2﹣m+，∴CM=CN．∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．若=tan30°，则m2﹣m+=(m﹣1)，解得m=+1，所以点P的坐标为(+1，﹣)． 2.解：(1)证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，              ②当k≠0时，∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；              (2)解：令y=0，则kx2+(2k+1)x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣k﹣1，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．              ∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2， 由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．              (3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立，即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立，则，              解得或．所以该抛物线恒过定点(0，2)、(﹣2，0)．               3.解：(1)设y＝(x﹣2)2＋k，把A(﹣1，0)代入得：(﹣1﹣2)2＋k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝(x﹣2)2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P(m，m2﹣4m﹣5)，则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A(﹣1，0)，∴AM＝m＋1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m＋1，即m2﹣4m﹣5＝m＋1或m2﹣4m﹣5＝﹣(m＋1)，当m2﹣4m﹣5＝m＋1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1(不合题意，舍去)，当m2﹣4m﹣5＝﹣(m＋1)，解得m3＝4，m4＝﹣1(不合题意，舍去)，∴P的坐标是(6，7)或P(4，﹣5)；(3)在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B(5，0)，C(0，﹣5)，由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q(2，t)，∴BC2＝50，BQ2＝9＋t2，CQ2＝4＋(t＋5)2，当BC为斜边时，BQ2＋CQ2＝BC2，∴9＋t2＋4＋(t＋5)2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为(2，﹣6)或(2，1)；当BQ为斜边时，BC2＋CQ2＝BQ2，∴50＋4＋(t＋5)2＝9＋t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为(2，﹣7)；当CQ为斜边时，BC2＋BQ2＝CQ2，∴50＋9＋t2＝4＋(t＋5)2，解得t＝3，∴此时Q坐标为(2，3)；综上所述，Q的坐标为(2，3)或(2，﹣7)或(2，1)或(2，﹣6)． 4.解：(1)设所求抛物线的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，将A(1，0)、B(﹣3，0)、D(0，3)代入，得即所求抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x＋3.(2)如图④，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…①设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，∵点E在抛物线上且点E的横坐标为﹣2，将x＝﹣2，代入抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3，得y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3∴点E坐标为(﹣2，3)又∵抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3图象分别与x轴、y轴交于点A(1，0)、B(﹣3，0)、D(0，3)，所以顶点C(﹣1，4)∴抛物线的对称轴直线PQ为：直线x＝﹣1，∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…②分别将点A(1，0)、点E(﹣2，3)代入y＝kx＋b，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝﹣x＋1∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为(0，1)∴|DF|＝2…③又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为(0，﹣1)∴…④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可         …(6分)由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小设过E(﹣2，3)、I(0，﹣1)两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1(k1≠0)，分别将点E(﹣2，3)、点I(0，﹣1)代入y＝k1x＋b1，得：解得：过I、E两点的一次函数解析式为：y＝﹣2x﹣1∴当x＝﹣1时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣；∴点G坐标为(﹣1，1)，点H坐标为(﹣，0)∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④，可知：DF＋EI＝2＋2.∴四边形DFHG的周长最小为2＋2. (3)如图⑤，由(2)可知，点A(1，0)，点C(﹣1，4)，设过A(1，0)，点C(﹣1，4)两点的函数解析式为：y＝k2x＋b2，得：解得：，过A、C两点的一次函数解析式为：y＝﹣2x＋2，当x＝0时，y＝2，即M的坐标为(0，2)；由图可知，△AOM为直角三角形，且，要使，△AOM与△PCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1：2即可，设P(a，0)，CM＝，且∠CPM不可能为90°时，因此可分两种情况讨论；    ①当∠CMP＝90°时，CM＝，若，则PM=2，可求的P(﹣4，0)，则CP＝5，CP2＝CM2＋PM2，即P(﹣4，0)成立，若，由图可判断不成立；②当∠PCM＝90°时，CM＝，若，则PC=2，可求出P(﹣3，0)，则PM＝，显然不成立，若，则，更不可能成立.综上所述，存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似，点P的坐标为(﹣4，0). 5.解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．∴AB＝OC＝OA＝18，∴C(0，18)，B(18，18)，∴c＝18，∴18＝﹣×182＋bx＋18，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋18；(2)如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，∵∠EDA＝2∠ABD，∴∠EDA＝2α，∵DI＝DE，∴∠EID＝∠IED＝α，∵点D是OA的中点，∴OD＝DA＝9，∴tanα＝＝，∴tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，在Rt△ADE中，ED2＝AD2＋AE2，即(2x﹣9)2＝92＋x2，解得x1＝12，x2＝0 (舍)，∴AE＝12，∴E(18，12)，∵D(9，0)，设直线ED的解析式为y＝kx＋t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x﹣12；(3)如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，∴△ODM≌△ADB(ASA)，∴MD＝DB，∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，∴DQ＝BQ＝PQ，∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB＋∠QBD＋∠QDP＋∠QPD＝180°，∴∠BDQ＋∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，∴PH⊥BD，∴∠SDO＋∠MDO＝∠MDO＋∠OMD＝90°，∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝＝，∴OS＝OD＝，∴S(0，)，设直线SD的解析式为y＝mx＋n，将点S(0，)，D(9，0)代入得，，解得，∴直线SD的解析式为y＝﹣x＋，联立，解得，，∵点P在AB右侧的抛物线上，∴P(27，﹣9)，∵D(9，0)，B(18，18)，∴PD＝9，BD＝9，∴DB＝DP，∴△DBP是等腰直角三角形，∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，∵BH⊥BP，∴BH∥DQ，∴＝1，∴DH＝DP，∵D(9，0)，P(27，﹣9)，∴H(﹣9，9)，∵点G在OD上，GC＝GE，C(0，18)，E(18，12)，设G(p，0)，则p2＋182＝(18﹣p)2＋122，解得p＝4，∴G(4，0)，∵H(﹣9，9)，G(4，0)，C(0，18)，∴CG＝2，CH＝9，HG＝5，∴CG＋HG＋CH＝2＋5＋9，∴△CGH的周长为2＋5＋9． 6.解：【问题背景】A(2，0)，对称轴为x＝4，则点B(6，0)，则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y=x2-4x+6…①；【尝试探索】①点C′(4，2)，由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x＋6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：(x，k2﹣4k＋6)，则点M(k，﹣k＋6)，即|k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±或3±，故k的值为：+3或3-或+3或3-.②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝(﹣k＋6)﹣(k2﹣4k＋6)＝﹣k2＋3k，∵-<00，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，(Ⅰ)当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，(Ⅱ)当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x＋6＝4，解得：x＝4±(舍去4﹣2)，即x＝4＋2，则t＝3＋4＋2＝7＋2，故t的取值范围为：2≤t≤2． 7.解：将点B(0,3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，可得，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c图象的对称轴与轴交于点，，解得：，二次函数的解析式为；(2)如图，过点作轴于点，连接，，，，，，，，即，设点坐标为，，，，，解得：(舍去)，，当时，，，，在中，，在中，，在中，；(3)存在，理由如下：①如图，与(2)图中关于对称轴对称时，，点的坐标为，此时，点的坐标为，当点、关于对称轴对称时，此时与长度相等，即，②当点在轴上方时，过点作垂直于轴，垂足为，，点、关于对称轴对称，，为等腰直角三角形，，设点的坐标为，，，，解得(舍去)或，此时点的坐标为，；③当点在轴下方时，过点作垂直于轴，垂足为，，点、关于对称轴对称，，为等腰直角三角形，，设点的坐标为，，，，解得(舍去)或，此时点的坐标为，；综上，点的坐标为或，或，． 8.解：(1)y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2，﹣4)，y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标为(2，4)，y=﹣(x﹣1)2＋的“镜像抛物线”为y=﹣(x﹣1)2＋，故答案为：(2，﹣4)，(2，4)，y=﹣(x﹣1)2＋；(2)①∵y＝ax2﹣4ax＋1＝a(x﹣2)2＋1﹣4a，∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a(x﹣2)2﹣1＋4a，∵点B的横坐标为1，∴B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，∵四边形BB'C'C为正方形，∴2＝6a﹣2，∴a＝；②∵a＝，∴B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1，﹣1)，(1，1)，(3，﹣1)，(3，1)，(1，0)，(3，0)，(2，﹣1)，(2，0)，(2，1)共9个．