2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．3a6÷3a3＝a2
C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6 D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣1
4．（3分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
 5
人数
1
3
6
5
 5
则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，3
5．（3分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，则＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
6．（3分）下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数，与x轴交于C点，若OA＝AB，则tan∠AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分，将正确答案填写在答题卡相应位置）
9．（3分）的平方根是 　 　．
10．（3分）因式分解：a3﹣a＝　 　．
11．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是　 　．
12．（3分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习　 　．
13．（3分）若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为　 　．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　 　．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，则EF的长是 　 　．

16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 　 　．
17．（3分）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　 　．

18．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝4，E为AB中点，F为直线BC上动点，连接AG，点P为平面上的动点，则DP的最小值 　 　．
​

三、解答题（本大题共10小题，共96分，在答题卡指定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（8分）计算：．
20．（8分）解分式方程：+2＝．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
（1）求证：△COE≌△AOF；
（2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

22．（8分）为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．

根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．

23．（10分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 　 　；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
24．（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

26．（10分）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段的一部分．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？

27．（12分）问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，点M是BG中点，连接CM，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，请加以证明；如果不成立
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变
​
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C，已知A（1，0）（3，0），C（0，3），M是y轴上的动点（M位于点C下方），过点M的直线l垂直于y轴（P在Q的左边），与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP1，正方形PMGH的面积为S2，求的取值范围；
（3）如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．
①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出　 　；
②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时
​

2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．3a6÷3a3＝a2
C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6 D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣1
【解答】解：A、原式＝4a2﹣8a+1，不符合题意；
B、原式＝a3，不符合题意；
C、原式＝a2b8，不符合题意；
D、原式＝﹣2a+8a﹣1＝﹣1，
故选：D．
4．（3分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
 5
人数
1
3
6
5
 5
则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，3
【解答】解：因为3出现的次数最多，
所以众数是：3元；
因为第十和第十一个数是5和4，
所以中位数是：3.5元．
故选：B．
5．（3分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，则＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝5x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）3＝（）2＝，
故选：D．
6．（3分）下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误．
故选：C．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵OA＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，
∴∠A＝22.5°．
故选：C．

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数，与x轴交于C点，若OA＝AB，则tan∠AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，
设A（m，），则OE＝m，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠DAB＝90°，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，
∴∠DAB＝∠AOE，
∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，
∴B（），
∵函数 的图象过B点，
∴（m﹣）（m+，整理得m3﹣＝k，
方程两边同除以k得﹣＝1，
设＝y﹣y＝13+y﹣1＝0，
解这个方程得y＝，
∴k＞7，
∴＞0，
∴＝，
∴tan∠AOC＝＝＝＝．
故选：A．

二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分，将正确答案填写在答题卡相应位置）
9．（3分）的平方根是 　±2　．
【解答】解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±3
10．（3分）因式分解：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+4）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣2）
11．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是　180°　．
【解答】解：∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
＝6π，
解得n＝180．
故答案为180°．
12．（3分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习　5.45×106　．
【解答】解：5450000＝5.45×106．
故答案为：4.45×106．
13．（3分）若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为　2　．
【解答】解：∵2m+n＝4，
∴2﹣2m﹣n＝6﹣（4m+n）＝6﹣4＝3，
故答案为2．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　﹣4＜y≤4　．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，4），
∴抛物线开口向下，
∴当﹣7＜x＜3时，﹣4＜y≤2，
故答案为，﹣4＜y≤4．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，则EF的长是 　1　．

【解答】解：连接AC，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形．
∴AC＝BD＝2．
∵E，F分别是BA．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝AC＝．
故答案为：2．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 　3＜r≤4或r＝2.4　．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×5÷5＝2.5；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即3＜r≤4．
∴8＜r≤4或r＝2.7．

17．（3分）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　②③④　．

【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，y＝﹣8，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞6时，y随x的增大而减小．
故答案为：②③④．
18．（3分）如图，矩形ABCD，AB＝4，E为AB中点，F为直线BC上动点，连接AG，点P为平面上的动点，则DP的最小值 　2﹣　．
​

【解答】解：设BG与EF的交点为O，
∵B、G关于EF对称，
∴∠BOE＝90°，BO＝GO，
∵E为AB的中点，
∴EO为△BAG的中位线，
∴EO∥AG，
∴∠AGB＝∠BOE＝90°，
∵，
∴∠APB＝45°，
过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，连接BM，
则△BEM是等腰直角三角形，△AEM是等腰直角三角形，
∴∠BME＝∠AME＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∴点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，
连接DM，交圆M于点P，
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠AEQ＝90°，
∴四边形AEQD是矩形，
∴EQ＝AD＝4，DQ＝AE，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴BE＝AE＝2，
∴EM＝7，
根据勾股定理，得BM＝＝，
∵MQ＝8﹣2＝5，DQ＝AE＝2，
根据勾股定理，得DM＝，
∴DP的最小值为DM﹣MP＝3﹣，
故答案为：4﹣．

三、解答题（本大题共10小题，共96分，在答题卡指定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣+8﹣（﹣3）+2×
＝2﹣+1+3+
＝6．
20．（8分）解分式方程：+2＝．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：x﹣2+6（x﹣1）＝﹣2，
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣1＝﹣，
∴方程的解为x＝．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
（1）求证：△COE≌△AOF；
（2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠OCE＝∠OAF，
∵点O为对角线AC的中点，
∴CO＝AO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA）；
（2）四边形AECF为菱形，理由：
∵△COE≌△AOF，
∴CE＝AF，
又∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
又∵∠DEA＝2∠CAB，
∴∠BAE＝2∠CAB，
即∠BAC＝∠EAC，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
22．（8分）为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．

根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．

【解答】解：（1）本次被抽查学生的总人数是60÷30%＝200（人），
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是＝36°；
（2）“音乐舞蹈”的人数为200﹣50﹣60﹣20﹣40＝30（人），
补全条形统计图如下：

（3）＝400（名）．
答：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为400人．
23．（10分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 　　；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字5的概率是，
故答案为：；
（2）组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数 
 1
8 
3 
4 
 5
 11
21
31 
41 
 2
 12
 22
32 
42 
 3
 13
23 
33 
43 
∴这个两位数大于22的概率为．
24．（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

【解答】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．

25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OA、AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝2，
∴阴影部分的面积为×3×2﹣﹣2π．
故阴影部分的面积为6﹣2π．

26．（10分）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段的一部分．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把x＝5时，y＝30，y＝10代入，
得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤z≤15）；
（2）由题意知，当2≤x≤10时，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣6x+40）﹣60＝﹣2x2+50x﹣26＝﹣7（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，2≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W增大；
当10≤x≤15时，P＝x2﹣4x+m．
把x＝10时，P＝60代入P＝x2﹣4x+m得，
60＝×104﹣4×10+m，
解得：m＝75，
∴P＝x2﹣4x+75，
∴W＝（x﹣3）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣（x2﹣5x+75）＝﹣x5+54x﹣275＝﹣（x﹣12）2+49，
∵﹣＜6，
∴当x＝12时，W有最大值；
综上可得：当x＝12时，年利润W最大．
27．（12分）问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，点M是BG中点，连接CM，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，请加以证明；如果不成立
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变
​
【解答】问题背景
解：CM＝DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
同理可得：CE＝CG，∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴DE＝BG，∠BGC＝∠DEC，
∵M是BG的中点，
∴CM＝MG＝BG，
∴CM＝DE，
∴∠MCG＝∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠MCG+∠CDE＝90°，
∴CM⊥DE；
解决问题
解：如图1，

CM＝DE，理由如下：
延长CM至H，使MH＝CM，BH，交DE于Q，
∵BM＝CM，
∴四边形BCGH是平行四边形，
∴GH＝BC，GH∥BC，
由（1）知：CD＝BC，CE＝CG，CE∥FG，
∴∠DPH＝∠BCD＝90°，∠FGH＝∠BCE，
∴90°﹣∠FGH＝90°﹣∠BCE，
∴∠CGH＝∠DCE，
∴△DCE≌△HGC（SAS），
∴DE＝CH，∠CDE＝∠CHG，
∴CM＝CH＝，
∵∠CDE+∠DQP＝90°，∠HQE＝∠DQP，
∴∠CHG+∠HQE＝90°，
∴∠DTH＝90°，
∴DE⊥CM；
拓展延伸
解：如图，

CM＝，理由如下：
延长CM至H，使MH＝CM，BH，
由（2）知：∠FGH＝∠BCE，GH＝BC，
∵▱ABCD∽▱ECGF，
∴∠BCD＝∠CGF，，
∴∠BCD﹣∠BCE＝∠CGF﹣∠FGH，，
∴∠DCE＝∠CGH，
∴△DCE∽△HGC，
∴＝，
∴，
∴CM＝DE．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C，已知A（1，0）（3，0），C（0，3），M是y轴上的动点（M位于点C下方），过点M的直线l垂直于y轴（P在Q的左边），与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP1，正方形PMGH的面积为S2，求的取值范围；
（3）如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．
①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出　　；
②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时
​
【解答】解：（1）把A（1，0），6），3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+3；
（2）设M（0，m），

由B（8，0），3）可得直线BC表达式为y＝﹣x+7，
∵MN∥x轴，
∴N（3﹣m，m），
∴MN＝3﹣m．
设点P（t，t3﹣4t+3），则t2﹣4t+3＝m，即6﹣m＝﹣t2+4t，
∴PM＝t，
PN＝MN﹣PM＝7﹣m﹣t＝﹣t2+3t，
CM＝8﹣m＝﹣t2+4t．
∴S3＝PN•CM＝2+8t）（﹣t2+4t），
S4＝PM2＝t2，
∴＝（t2﹣7t+12）＝（t﹣）2﹣，
∵y＝x2﹣4x+8＝（x+2）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵m＜2，
∴﹣1＜m＜3．
∴8＜t＜2．
∵＞0，
∴当t＜时，的值随t的增大而减小，
∴当t＝4时，的值最大＝6，
当t＝2时，的值最小＝1，
∴的取值范围为1＜；
（3）①连接OF，在y轴上取点W（0，），BW

∵⊙O的半径OA＝1，
∴OF＝1，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∵∠COF＝∠FOW，
∴△COF∽△FOW，
∴＝＝，
∴WF＝CF，
∴BF+CF＝BF+WF，
∵当W，F，B共线时，
∴当W，F，B共线时CF最小，
∵W（2，），B（3，
∴BW＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故答案为：；
②作△ABP的外接圆T，作TK⊥x轴于K，BT，则AK＝BK＝1∠ATB，
∴当∠ATB最大时，∠APB最大；

∵AT＝BT＝PT，
∴当AT最小时，PT最小，
∵当PT⊥y轴时，PT最小，
∴此时∠APB最大，sin∠APB最大，
∵PT＝OK＝OA+AK＝2，
∴AT＝4，
∴TK＝＝＝，
∴P（0，）．