2023年高考押题预测卷数学03（乙卷理科）（参考答案）

2023年高考押题预测卷03

理科数学·参考答案

13  3       14.  ①③④    15.       16.

17．

【详解】（1）由得即

，即，又，所以............................4分

（2）当时，，

当时，，............................6分

两式相加可得，得，............................8分

由于，所以

............................12分

18．

【详解】（1）记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件，“甲取蓝球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，

则由已知可得，，，，，，........3分

由已知，乙胜可以用事件来表示，

根据独立事件以及互斥事件可知，..................5分

（2）由题意知，，，.

用随机变量来表示乙得分，则可取,............................6分

则，，，

所以.............................8分

所以.

因为，所以，且，，，

所以，............................11分

当且仅当，，时，等号成立.

所以，乙得分均值的最大值为，此时，，.............................12分

19．

【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，

则，且，

又，，所以，且，

所以四边形ADFE为平行四边形，故，............................2分

因为，E为棱PB的中点，所以，

又M为棱AP的中点，所以，故，

又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；............................5分

（2）设，所以，

又，所以，所以，所以和为等边三角形，

设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，

又，，，平面POB，平面POB，

所以平面POB．又平面ABCD，所以平面平面ABCD，

故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以，

又，所以，

综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，... .7分

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则，，，，

因为，所以，

又为棱的中点，则，............................8分

所以，，，

设为平面MCD的法向量，

则,即，令，可得，...........................9分

设为平面BMD的法向量，

则，即，令，可得，............................10分

所以，

故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为.............................12分

20．

【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为，

设到渐近线的距离为，............................3分

所以，

所以的方程为............................5分

（2）设C的左顶点为A，则,

故直线为线段的垂直平分线.

所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.............................6分

与C的方程联立有，

设B），则，即，所以...........................7分

当轴时，，是等腰直角三角形，

且易知............................8分

当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故............................9分

因为，

所以

所以

因为

所以

所以为定值，............................12分

21

【详解】（1）因为，所以，

令，则， .

①当时，，单调递增，无极值点；.........................2分

②当时，，单调递减，

，.

故存在唯一，使得...........................3分

当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，有极大值点；

综上在区间上有1个极值点...........................5分

（2）若为的极值点，则，，

所以，......7分

令 ，，即，

记)，即；

①当时，故g(t)在上单调递增，，符合题意； .......9分

②当时，若，则，故在上单调递减.

由（1）知在区间上存在极值点，记为，则，.............11分

故，不符题意；

综上，整数的最大值为1...........................12分

22.

【详解】（1）因为，所以，。。。。。。。。。

所以，

整理得，

曲线C的直角坐标方程为，

所以其中为参数．

则对应的参数方程为其中为参数． .........................5分

（2）由（1）参数方程可设，

则由，

得其中为参数．

对应的直角坐标方程为，

圆心到l距离，则与l相离．.........................10分

23.

【详解】（1）证明：由柯西不等式有，........................4分

当且仅当时，等号成立，

故..........................5分

（2）解： ，所以，，

所以，

，......................8分

若第一个等号成立，即，即时，

第二个等号若要成立，则要满足，此时，故等式可成立．

所以，，当且仅当时，等号成立........................10分