2022年浙江省湖州市南浔区中考数学一模试卷（含解析）

2022年浙江省湖州市南浔区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 年冬奥会即将在北京举行，据了解北京冬奥会的预算规模为亿美元，其中用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 有位同学分钟跳绳的次数为：，，，，，，则这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是

A.
B.
C.
D.

6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 随着电影流浪地球的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用元和元两次购进该小说，第二次数量比第一次多套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进套，根据题意，列方程正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线，以直线上的点为圆心适当长为半径画弧，分别交直线、于点、，连结、若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则关于的方程的解是

A.  B. ，
C. ， D. ，

10. 如图，已知是半圆的直径，弦，相交于点，若，则：的值

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 二次根式中的取值范围是______．
12. 已知一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______．
13. 如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投次，则投中阴影区域的概率是______．
     

14. 如图，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按照顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为，则点运动的路径长为______．
    
    
    
     

15. 如图，经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点点在第．一象限，过点作轴与反比例函数图象交于点，连结与轴交于点若的面积为，则的值为______．
     

16. 如图，一组轴正半轴上的点，，，满足条件，抛物线的顶点，，依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；第条抛物线以为顶点且经过点，依次连结抛物线的顶点和与轴的两个交点，形成、、．
    请写出所有满足三角形面积为整数的的值______；
    若三形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 计算：．
18. 先化简：，再选择一个适当的数代入求值．
19. 小王同学到某砖窑厂改建的“红色文化”基地研学，他想测量该基地大烟囱的高度如图，当小王同学在二楼点处测得对面的大烟囱顶部的仰角为，底部的俯角为，如图所示，测量得点距地面的高度为，请你帮小王同学计算出大烟囱的高度结果精确到参考数据，，，，，

20. 市教育局对区八年级学生的学习情况进行质量监测在抽样分析中，将一道四选一的单选题的答题结果绘制成了如下两个统计图请你根据图中信息，解决下列问题：
    一共随机抽样了______名学生，并把条形统计图补充完整．
    在扇形统计图中，我县八年级学生选D的所对应圆心角的度数是多少？
    该题的正确答案是B，如果我县有名八年级学生参与监测，请估计在本次质量监测中答对此道题的学生大约有多少人？

21. 如图，平分，以边上一点为圆心作，使经过点，，过点作的切线分别交，于点，．
    求证：．
    若，，求的半径．

22. “科学防控疫情文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有．”现有一瓶洗手液如图所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点．
    
    请求出点的坐标，并求出，的值．
    接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？
    如果该洗手液的路线与的交点为点，请求出的正切值．
23. 早上：货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系，地立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与货车甲出地的时间小时的函数关系如图所示联系等其他时间忽略不计．
    求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式．
    求，两地间的距离．
    若货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时，货车甲修好后以原速原路返回地，问何时两车相距千米？

24. 我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
    如图，在每个小正方形的边长为的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图和图的边上找出不同的点，使得四边形是一个直分四边形
    
    如图，在直分四边形中，，和互补，且，请求出的长度．
    
    如图，在边长为的正方形中，点为的中点，为上一点，使得；点在的延长线上，连结交于点，且．
    请证明四边形为直分四边形．
    求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：，，，，，．
位于最中间的两个数是，，
所以这组数据的中位数为．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

5.【答案】

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，即，
与是位似图形，
，
∽，
，
故选：．
根据位似图形的概念得到，
本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化 平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上 或减去 一个整数 ，相应的新图形就是把原图形向右 或向左 平移 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加 或减去 一个整数 ，相应的新图形就是把原图形向上 或向下 平移 个单位长度．利用点 与点 的坐标特征得到平移的规律，然后利用此平移规律由 点的坐标确定点 的坐标．
【解答】
解： 点 的对应点为 ，
线段 是由线段 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到，
而点 的对应点为 ，
点 的坐标为 ．
故选 D ．   

7.【答案】

【解析】解：设该书店第一次购进套，
根据题意可列方程：，
故选：．
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】

【解析】解：以直线上的点为圆心适当长为半径画弧，分别交直线、于点、，
，
，
在中，．
故选：．
由题意可得，则有，再利用三角形的内角和即可求的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解答的关键是由题意得到．
 

9.【答案】

【解析】解：由表格可知，
二次函数的对称轴是直线，
则和时对应的函数值都是，
当时，，即，
所以，当时，，即，
整理，得，
则方程的解是，，
故选：．
根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程，从而可以得到该方程的解．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
故选D．
由圆周角定理可得，可求，通过证明∽，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】

【解析】解：圆锥的底面直径长是，
其底面周长为，
圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的利用圆锥的侧面展开扇形和圆锥的关系．
 

13.【答案】

【解析】解：设正方形的边长为，
则正方形的面积为，的面积为，
由图知三个阴影部分的面积和等于的面积，
所以投中阴影区域的概率是，
故答案为：．
设正方形的边长为，知正方形的面积为，的面积为，由图知三个阴影部分的面积和等于的面积，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

14.【答案】

【解析】解：点，，对应的刻度分别为，，，
，，
由旋转性质可得，
，
四边形为矩形，
，
，
，
点运动的路径长为，
故答案为：．
由旋转性质可得，从而得出，即可得出，从而得出，再利用弧长公式即可求解．
本题考查旋转的性质，弧长公式等知识点，解题的关键是求出，再利用弧长公式．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，
经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
，
，
轴，
∽，
，
的面积为，
，
，
轴，
轴，
，
．
故答案为：．
连接，关键反比例函数的中心对称性对称，证得∽，利用相似三角形的性质得到，进而得到，利用反比例函数系数的几何意义即可得到，
解得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判断和性质，反比例函数系数的几何意义，求得三角形的面积是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：由题意得，、、均为等腰三角形，
，
点，，，
的面积为，
三角形面积为整数，
为的约数，
或或，
或或，
故答案为：或或．
是直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，得，
，
抛物线的解析式为．
先求得点，，的坐标，然后求得、、的面积，即可得到满足条件的整数；
由等腰直角三角形的性质求得三角形是直角三角形时抛物线顶点的坐标，然后求得对应的抛物线解析式．
本题考查了等腰三角形的性质，抛物线的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质求得系列点的坐标规律．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】先算乘方、零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，再算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键式掌握负整数指数幂、零指数幂，化最简二次根式等知识．
 

18.【答案】解：

，
要使分式有意义，必须且且，
所以不能为，，，
取，
当时，原式．

【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】解：由题意得：
，
在中，，
，
在中，，
，
，
大烟囱的高度为．

【解析】根据题意可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：一共随机抽取的学生数是：名；
选项的人数有：名，
选项的人数有：名，
补全统计图如下：


我县八年级学生选D的所对应圆心角的度数是：；

根据题意得：
人，
答：估计在本次质量监测中答对此道题的学生大约有人．
的频数除以的百分比即可得到随机抽取的学生人数，在分别求出、选项的人数，从而补全统计图；
用乘以选D的人数所占的百分比即可；
用总人数乘以选B的人数所占的百分比即可得出答案．
本题考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，
，，，
，
，，
∽，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，先利用切线的性质可得，再根据角平分线和等腰三角形可证，从而可得，即可解答；
设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质求出，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及字模型相似三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，，，
代入可得，
解得：，
，
答：，的值是，的值是；
，，
，
把代入关系式为，
答：手心距水平台面的高度为；
如图，过作于，连接，

当时，，
解得或舍，
，
在中，，，
．

【解析】由图可得的坐标，再根据待定系数法可得与的值；
把代入解析式可得答案；
过作于，连接，根据解析式求出点的坐标，再根据正切的定义可得答案．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
 

23.【答案】解：设函数表达式为，
把，代入，得，
解得：，
关于的函数表达式为；
由图可知，小时，
的取值范围是．
货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式为；

当时，，
千米，
答：，两地间的距离为千米；

甲的速度为千米小时，
货车甲正常到达地的时间为小时，
小时，小时，
货车乙遇到甲前的车速为千米小时，
货车乙返回地的车速为千米小时，
货车乙遇到甲前，两车相距千米，
小时，
小时小时分钟，
：两车相距千米；
设货车乙遇到甲后，小时两车相距千米，
，
解得：，
小时小时分钟，
：两车相距千米；
答：：和：两车相距千米．

【解析】由待定系数法可求出函数解析式；
求出货车从地出发遇到甲车的路程，加上货车甲出发到出现故障的路程，即可求解；
分两种情况：货车乙遇到甲前，货车乙遇到甲后，分别求解即可．
本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：如图，图所示，点即为所求；

解：，，
，
在直分四边形中有一个内角是直角，
，
当平分时，
，，，
≌，
，
，
为等边三角形，
；
当平分时，如图，过点作，

，
，
，
，
，
，
；
当平分时，如图，过点作，

，
，
，
，
，
综上，的长为或或；
证明：在正方形中，，，
点为的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形为直分四边形；
由得：，，
在上取一点使，

由得：，
又，
≌，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
．

【解析】根据“直分四边形”的定义可画出图形；
根据“直分四边形”的定义知，，当平分时，利用证明≌，得，可知为等边三角形，可得答案；当平分时，过点作，利用解三角形可得答案；当平分时，过点作，同理解三角形，从而解决问题；
首先求出和的长度，发现，从而证明平分，从而证明结论；
在上取一点使，首先利用证明≌，得，再利用证明≌，得，从而证明结论．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解三角形，勾股定理等知识，综合性较强，理解“直分四边形”的定义，并运用分类讨论思想是解决问题的关键．