必刷卷05——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（江苏专用）（原卷版+解析版）

2023年高考数学考前信息必刷卷05

江苏专用

江苏地区数学高考卷题型为：8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题），2022年江苏高考数学数学卷坚持立德树人，试卷稳中有新，难度设计科学，较好地发挥了高考数学科的选拔功能，对中学数学教学改革也将起到积极的引导和促进作用。预计2023年高考江苏数学卷将继续体现数学文化的育人价值，关注数学本质，突出理性思维的价值，注重数学的基础性，引导学生对数学概念、方法有更深刻的认知，在基础性、综合性、应用性、创新性等方面都进行了深入考查。

2023年江苏高考数学卷将紧扣数学学科本质，加强素养考查，发挥选拔功能数学试题加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，优化试题设计，发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质。

（1）2023年江苏高考数学卷将加强思维品质考查，增强思维的灵活性数学试题通过突出思维品质考查，强调独立思考和创新意识。

例如本卷第4题，一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，研究当圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径是多少问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析问题能力，将问题转化为三次函数的最值问题，进而利用导数求解。

例如本卷第12题对思维的灵活性有较高要求，在抽象的情境中发现函数周期性是问题的关键。

例如本卷第21题，考查直线、双曲线的基本性质以及解析几何的基本思想方法，要求学生在复杂的直线与双曲线的位置关系中，能抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选择合理的方法。

（2）2023年江苏高考数学卷加强关键能力考查，增强试题的选拔性数学试题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境，加强关键能力的考查。

例如本卷第22题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。

例如本卷第7题将对数函数、导数、三角函数与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则               （     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】或．故选C．

2．已知复数z满足方程，则 z 的虚部为                         （     ）

    A．     B． 

C．      D．

【答案】B

【解析】由题意，，所以z 的虚部为．故选B．

3．已知是边长为1的正三角形，，，则（    ）

A． B．               C． D．1

【答案】A

【解析】由，可知E为BC中点，所以，如图，因为，根据上图可知，．故选A．

4．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（       ）

    A．     B．  

C．     D．

【答案】C

【解析】如图，设圆锥的底面半径为r，球半径R = 5，球心为O.

过圆锥的顶点P作底面的垂线PO1，垂足为O1．则球心O必定在PO1上，连接OB，则．

所以圆锥的高h = |PO| + |OO1| 或者h = |PO| – |OO1|．要求体积的最大值，所以取h = |PO| + |OO1|.

则，0 < r ≤ 5.令，0 < t ≤ 5．则.

 ，所以V(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当时，圆锥体积最大．此时，．故选C．

5．已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（    ）

A．两组样本数据的平均数相同

B．两组样本数据的方差不相同

C．两组样本数据的极差相同

D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为

【答案】C

【解析】因为，所以，故A错误；，所以两组样本数据的方差相同，故B错误；新的样本数据的极差=，所以两组样本数据的极差相同，故C正确；样本容量为20的新的样本数据的平均数为，故D错误．故选C．

6．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若已知，且△ABC的面积为6， 则（       ）

A．             B．              

C．                                    D．

【答案】C

【解析】由题意，，△ABC的面积为，两式相除得到tanA = 3．所以．故选C．

7．已知，，（为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C．        D．

【答案】A

【解析】因为，所以，又，，所以，

设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数函数单调递减，所以，，所以，即，

所以．故选A．

8．已知Sn是数列{an}的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则S2023 = （      ）

A． B．              C．                D．

【答案】A

【解析】由累加法可得：，

所以，又因为，所以，

所以．故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知正四棱锥的所有棱长都相等，分别是侧面，侧面和底面的中心，则（    ）

A．    B．平面       C．          D．平面

【答案】BCD

【解析】取中点中点分别为的中心

，又平面对．

平面对．

设，则，

，

平面，

平面平面对，选BCD．

10．已知函数，g（x）＝x2+2x，以下结论正确的有（　　）

A．f（x）是偶函数 

B．当a＞0时，y＝af（x+1）与y＝g（x）有相同的单调性 

C．当a＞0时，若y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象有交点，那么交点的个数是偶数             

D．若y＝af（x+1）与y＝g（x） 的图象只有一个公共点，则

【答案】ABC

【解析】对于A，∵，∴f（﹣x）＝e﹣x+ex即f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数．

故A正确；对于B，，当x＞0时，，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．

又∵f（x）是偶函数．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∴当a＞0时，y＝af（x+1）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增．又∵g（x）＝x2+2x在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增．故B正确；对于C 当a＞0时，y＝af（x+1）＞0，由B可知，y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只可能有偶数个交点．故C正确；D 若y＝af（x+1）与y＝g（x）的图象只有一个公共点，

则y＝af（x+1）的图象开口向下，且两函数图象的顶点重合．易求得，故D错误．故选ABC．

11．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A．的周期为

B．为奇函数

C．的图象关于点对称

D．当时，的取值范围为

【答案】AC

【解析】函数，

对于A选项：函数的最小正周期为，所以A正确；对于B选项：函数的定义域为，，则函数是上的偶函数，所以B错误；由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：，即函数，对于C选项：令（），解得：（），当时，，此时，即函数的图象关于点对称，所以C正确；对于D选项：当时，，由余弦函数的图象和性质得：，即，所以D错误．故选AC．

12．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，则（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．函数的周期为2

D．

【答案】ABD

【解析】对于A，若为偶函数，则关于直线对称，将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得，则函数关于直线对称，即为偶函数，所以，则，所以，即，令得，，所以，故A正确；对于B，由可得，当时，，即，令，则，所以，所以函数函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为为偶函数，则，又，所以，则，所以，即，则，所以函数的周期为4，故C不正确；对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，由，可得，，则，故D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式各项系数的和是-1，则的值为     ▲     ．

【答案】

【解析】令，则的展开式各项系数的和是，所以．

14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：     ▲     ．

【答案】

【解析】由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为．

①当切线为外公切线时：，，所以，

得，所以，设公切线l：，所以圆心到切线l的距离，

解得，所以公切线为或；

②当切线为内公切线时：，，所以，所以，

设公切线，所以圆心到切线l的距离，解得，所以公切线为

或．

15．若函数的极大值点为，则的值为     ▲     ．

【答案】

【解析】，或，

由选项知，则在，

极大值为，即，即．

16．设椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点．若，则的离心率为     ▲     ．

【答案】

【解析】令则，

中，，

，Rt中，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知数列满足．

（1）设，证明：是等比数列；

（2）记数列的前项和为，求．

【解析】（1）因为，

所以．

又因为，

所以数列是以2为首项2为公比的等比数列．

（2）由（1）可知，，所以，

所以，

所以．

两式相减，得

，

所以．

18．（12分）

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，α＝∠BAD，β＝∠DAC．

（1）证明：；

（2）若D为靠近B的三等分点，，AC＝2，β＝90°，∠BAC为钝角，求S△ACD．

【解析】（1）证明：在△ABD中，由正弦定理知，，

所以sin∠ADB＝，

在△ACD中，由正弦定理知，＝，

所以sin∠ADC＝，

因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以sin∠ADB＝sin∠ADC，

所以，

整理得，．

（2）由（1）知，，

因为D为靠近B的三等分点，所以，所以，

又，AC＝2，β＝90°，所以＝，即sinα＝，

因为∠BAC为钝角，β＝90°，所以α为锐角，所以cosα＝＝，

所以sin∠BAC＝sin（α+β）＝sin（α+90°）＝cosα＝，

所以△ABC的面积S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝××2×＝，

因为D为靠近B的三等分点，

所以S△ACD＝S△ABC＝．

19．（12分）

如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，点在上．

（1）若平面，求；

（2）若是的中点，求二面角的正弦值

【解析】（1）取中点，连结，过点作交于点，连结．

因为是正三角形，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面．

因为平面，所以，

所以，所以四点共面，

因为平面平面，

面平面，所以．又因为，

所以四边形是平行四边形．

所以，所以是三角形的中位线，

所以．

（2）如图，以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，

因为，所以，

所以，

设平面的一个法向量，则

即令，则，所以．

又平面的一个法向量，

设二面角所成角的大小为，所以，

所以．即二面角的正弦值为．

20．（12分）

2023年是党的十九大胜利召开之年，也是持续推进全面深化改革之年。这一年，党和国家的大事多，教育重大方针、政策多．国务院出台《对省级人民政府履行教育职责的评价办法》，让省级政府教育统筹评价“尺子”有了具体量法．该评价办法在社会上引起了广泛的关注和讨论，某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷．为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份．被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”．研究结果如下表所示：

（1）为了研究校内人员身份（学生/教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组．试问，我们是否有99.5%的把握认为，校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？

（2）如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率．

参考公式：．

【解析】（1）根据条件，重新画出列联表如下：

假设H0：校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相互独立的.

则统计检验量，

所以拒绝假设H0，我们有99.5%以上的把握认为校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相关． （6分）

（2）记样本中反对政策的5名学生分别为A、B、C、D、E，

则抽取三人可能取到的组合有：{ABC}，{ABD}，{ABE}，{ACD}，{ACE}，{ADE}，{BCD}，{BCE}，{BDE}，{CDE}共10种情况．（8分）

其中学生A和学生B同时被选中的有：{ABC}，{ABD}，{ABE}，共3种情况．（10分）

所以概率为． （12分）

21．（12分）

已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且．点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求证：为定值．

【解析】（1）设双曲线，易知．

由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：

，则，

又，则解得，

则双曲线．

（2）设直线的方程为：，（且），，.

联立，消得：，

，，

，①，②

联立①②，解得：．

又，同理，，

把它们代入，得

．

故，得证．

22．（12分）

已知函数．

（1）若，

（i）求的极值．

（ii）设，证明：．

（2）证明：当时，有唯一的极小值点，且．

【解析】（1）（i）若，则，

由，得．

当时，；当时，．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

故的极小值为无极大值．

（ii）由（1）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，

当时，．又，不妨设，则若，

则，设，

则．

设，则为增函数，

则．

，则在上为增函数，，

即．

，又在上单调递减，

，即．

（2），记，，

当时，，

当在单调递减，

当在单调递增，

，

在单调递增，即在单调递增，

使．

当在单调递减，

当在单调递增，

所以当时，有唯一的极小值点，且

．

．

令，

，在单调递减，

即．