必刷卷02——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（江苏专用）（原卷版+解析版）

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绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷02江苏专用江苏地区考试题型为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题），2022年的江苏高考数学卷以情境为依托，营造出“新理念、新内容、新结构”的氛围。从2022年高考命题立意来看，2023年命题将延续这一风格，聚焦时代重大现实问题、关键历史事件、社会热点话题、科技前沿进步、伟大建设成就等，着重考查学生的家国情怀、奋斗精神、责任担当与理想信念，以及美育、体育、劳动等领域的道德品质。预计2023年江苏高考数学卷预期还会继续强化情境类试题的命制，侧重知识的应用性。情境性试题可以分为课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境。情境性试题的题型蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，一般以选择题或者填空题的形式出现，例如，本卷第4题和第11题。 江苏作为全国统一命题试卷的省份，2023年江苏高考数学卷的题目可能会更加灵活，更侧重考察考生的思维敏捷度和应用能力。不过，考试题目再怎么灵活，也不会脱离教材，考生只要夯实基础，在平时的复习中多多培养自己的思维能力。数学新教材以数学核心素养为导向，对学生提出了更高要求。所以新教材通常会以核心素养为导向，注重创设问题情境，给学生更多源于实际生活的案例。数学新教材里也新增了一些内容，如概率统计里边新增了有限样本空间，还有百分位数，复数增加了三角表示式（*选学）等。例如，本卷第13题，将百分位数和二项式展开式进行综合考查，如果对百分位数的计算掌握不到位，后面的求二项式展开式的常数项就不好求解。江苏新高考数学卷重点考查学生数学应用方面的能力，从实际问题中抽象出数学问题，而立体几何最能体现出数形结合的能力，立体几何中的数量关系不仅要有计算能力，绝对离不开空间观察能力的训练。例如，本卷第8题和第9题，以截角四面体设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养。新高考试题的命题直接面对社会热点，在引导课堂教学与日常学习的过程中，有意识地关注现实热点和生产生活实践。通过创设与社会热点相关的背景引入数学试题，例如，本卷20题以食品安全为背景命题考查线性回归模型的知识。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则                      （　　）A．                        B． C．                        D．【答案】C【解析】由得，由指数函数单调性得，，所以,根据交集运算得．故选：C．2．已知为虚数单位，若，则                              （　　）A．                           B． C．                           D．【答案】B【解析】，．故选：B．3．已知平面向量的夹角为，且,，则                      （　　）A．                         B． C．                         D．【答案】A【解析】.故选：A.4．苏州拙政园是江南古典园林的代表，与北京颐和园、承德避暑山庄、苏州留园并誉为中国的四大名园，并于1997年被联合国教科文组织评选为世界文化遗产。拙政园中不仅亭多，而且形式不一。梧竹幽居亭是一座方亭，亭外围为廊，四周白墙，墙上开了四个圆形洞门，在不同的角度可看到重叠交错的奇特景观。亭得底层部分可看作一个正方体，若点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为                        （    ）A．                        B．   C．                        D．【答案】A【解析】如图所示，在平面中，连接与交于，则，在平面中，连接与交于，则，则为平面与平面的交线，且，而在等边中与所成的角为，故直线与所成角．故选：．5．2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京人民大会堂举行第三次全体会议，2023年的全国两会是党的二十大后召开的第一次全国两会。本次大会胜利闭幕后，甲､乙､丙､丁､戊5名人大代表排成一排合影留念，若要求甲、丙两人不相邻且乙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有            （   ）A．40种                        B．24种 C．20种                        D．12种【答案】B【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、丙两人不相邻且乙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种．故选：．6．已知奇函数图象的相邻两个对称中心间的距离为2π，将的图象向右平移个单位得函数的图象，则的图象（    ）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】B【解析】相邻两对称中心的距离为，则，．已知为奇函数，根据可知，则，．令，，故A错误，B正确；令，，故C，D错误．故选：B．7．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】，构造函数，利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小．【解析】，构造函数，令，，则所以单增，所以，所以，所以，所以.令,，，所以在为减函数，所以，所以，所以，所以，所以．故选：C．【总结】比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小．8．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．将一个正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长相等的截角四面体，这种几何体也是著名的阿基米德体中的一种．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小四面体的体积，故．故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，将两个现状一样的四面体经过适当的截角而得到两个截角四面体，将两个截角四面体的正六边形面相贴合，得到一个组合体，将截角切下来两个小正四面体分别贴放到组合体的左下角和右上角的正三角形面上，就可以得到一个平行六面体．在平行六面体中，已知，，则                      （    ） A. 直线与所成的角为B. 线段的长度为C. 直线与所成的角为D. 直线与平面所成角的正弦值为【答案】AC【分析】设，将分别用表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面平面，从而可得与平面所成的角为，再解即可.【解析】设，则，且，对于A：，，所以直线与所成的角为，故A正确；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D，连接，交于点，则为的中点，因为，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则与平面所成角为，在中，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误．故选：AC． 10．已知函数，则（    ）A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D. 的极值点为【答案】AB【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.【解析】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误．故选：AB．11．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线C：（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）是双纽线，则下列结论正确的是（　　）A．曲线C的图象关于原点对称 B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】把（﹣x，﹣y）代入曲线C的方程可判断A；分别令x＝0、x＝±1、x＝±2，得y的范围可判断B；由曲线C的方程可得，根据 可判断 C；直线y＝kx与曲线方程联立，根据方程的解可判断D．【解答】把（﹣x，﹣y）代入（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）得（x2+y2）2＝9（x2﹣y2），所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确；令y＝0解得x＝0或x＝±3，即曲线经过（0，0），（3，0），（﹣3，0），结合图象，﹣3≤x≤3，令x＝±1，得，令x＝±2，得，因此结合图象曲线C只能经过3个整点（0，0），（3，0），（﹣3，0），故B错误；由（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）可得，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离，即都不超过3，故C正确：直线y＝kx与曲线（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）一定有公共点（0，0），若直线 y＝kx与曲线C只有一个交点，所以，整理得x4（1+k2）2＝9x2（1﹣k2）无解，即1﹣k2≤0，解得k∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确．故选：ACD．12．已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（    ）A.  B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ABC【分析】根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断D.【解析】对于A，由为偶函数得，则关于直线对称，即，两边同时求导得，令得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由得，所以，即关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由得，则，所以关于直线对称，故C正确；对于D，由得，结合选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由得，4也是函数的一个周期，由得，所以，故D错误.故选：ABC.【总结】关键点点睛：此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称轴是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为     ▲     ．【答案】60．【解析】上四分位数为75百分位数，又因为，所以75百分位数为第5位数，即，所以展开式的通项为，令得，所以展开式得常数项为．故答案为：60．14．已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，请写出一个二次函数的解析式     ▲     ．【答案】（答案不唯一）．【解析】取，则，函数为偶函数，关于y轴对称；，，满足条件，取，则．故答案为：（答案不唯一）．15．若直线与曲线和均相切，则     ▲     ．【答案】．【分析】先根据直线和相切求出，再利用直线和相切求出．【解析】设直线与相切于点，，因为直线与相切，所以，且；解得；因为直线与曲线相切，联立得，且，即．故答案为：．16．已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为     ▲     ．【答案】．【分析】先求得两点的坐标，然后求得与直线平行且与双曲线相切的直线方程，根据三角形面积公式以及两平行线间的距离公式求得正确答案．【解析】依题意，，，由解得或，所以为定值，由于，，所以在双曲线两点间的曲线上，在第一象限，当距离最远时，三角形的面积取得最大值， 设直线与双曲线C：相切于点，由消去并化简得，由解得（正根舍去），故切线方程为，直线与直线的距离为，所以△PAB的面积最大值为．故答案为：．【总结】求解双曲线的切线方程，可先设出切线的方程，然后联立切线的方程和双曲线的方程，化简成一元二次方程的形式，结合判别式即可求得切线方程．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．（1）求和；（2）若，证明：．【解析】（1）因为，，当时，则，解得或（舍去）；当时，，则，即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此，且，则，当时，，且符合上式．故，．（2）记为数列的前n项和，当时，则；当时，；又符合上式，所以．由（1）可知，可得，，下证当时，，即证，因为，所以得证，故当时，则，得证．18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若的面积最大值为，求c．【分析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用正弦定理，将所给的条件角化边，最后利用余弦定理即可证明；（2）利用公式及同角关系表示面积，然后利用基本不等式求出最值的条件，求解即可.【解析】（1）由可得，．再由正弦定理可得，，即．根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．（2），当且仅当即时等号成立，所以，所以，即．19．（12分）如图，四棱锥中，为等腰三角形，，．（1）证明：；（2）若，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值．【分析】（1）根据给定条件，取的中点，利用线面垂直的判定证明平面即可推理作答.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【解析】（1）取的中点，连接，如图，因为，则，又，即有，而，所以四边形为平行四边形，又，则，又平面，所以平面，又，因此平面，而平面，所以.（2）因为，且平面，则平面，又，则平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，又，则，所以，则，，，设平面的法向量为，则，令，得．又平面的一个法向量为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为．20．（12分）每年中国召开的315晚会都能吸引全国百姓的关注，因为每年通过315晚会节目的曝光，我们都能发现一些品牌不为人知的内幕，这些年来315晚会中曝光最多的还要数食品企业，食品安全作为事关一个国家国民的重要权益，也是大家非常看重的一大领域。去年315晚会揭露了土坑酸菜的真相，今年315晚会上又曝光了汕头市某家生产橄榄菜的黑心作坊。某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：过期天数（单位：天）12345菌落数目（单位：千个）（1）请用线性回归模型拟合与的关系；（2）实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目（单位：千个）与过期天数（单位：天）应满足关系：．（i）判断该样本是否添加防腐剂；（ii）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果．附：．【分析】（1）根据线性回归方程的求法根据已知即可得出答案；（2）（i）根据回归方程过样本中心列式即可判断；（ii）根据所给关系得出未添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目，与已知添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目对比，即可总结得出答案．【解析】（1）由题意可得：，，且，．所以．则，所以回归直线方程为．（2）（i），则样本不满足未添加防腐剂的条件，即该样本添加了防腐剂；（ii）根据该种食品在未添加防腐剂的条件下应满足关系：，可得，，，，，即过期天数（单位：天）12345添加防腐剂菌落数目（单位：千个）未添加防腐剂菌落数目（单位：千个）则过期7天内防腐剂让其菌落数目小于未添加防腐剂，且差距越来越大，即过期7天内防腐剂发挥的效果为抑制食品产生菌落，且效果越来越好．21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点，求线段的长度的最小值．【解析】（1）由题意得，解得，，，，故所求的椭圆方程为．（2）依题意，直线的斜率存在，且，可设直线的方程为，从而，由得．设，，则，得，从而，即，又由可得直线的方程为，化简得，由得，，故，又，，当且仅当，即时等号成立，时，线段的长度取最小值．22．（12分）已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：．【分析】（1）求导，分两种情况讨论，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式可得解；（2）要证原不等式成立，只需证，只需证，只需证，当时，则原不等式即证，结合的单调性即可得证．【解析】（1）由题意得的定义域为，．若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，．若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.综上所述，在定义域上单调递增，且．（2）（方法1）要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，原不等式即证．由（1）知在上单调递增，，又，则，原不等式成立.（方法2）要证成立，只需证，只需证，只需证，令．则．在上单调递增，，原不等式成立．【总结】利用导数研究函数问题常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．