福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题（原卷版）

福州第一中学高一下数学半期考模拟卷

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知，满足，，且，的夹角为，则（    ）

A.  B. 2 C. 4 D.

3. 平行四边形中，点E是的中点，点F是的一个三等分点（靠近B），则（    ）

A.  B.

C.  D. ．

4. 若且，则的最大和最小值分别为，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

7. 已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（    ）

A.  B. 2 C. 2 D. 2

8. 设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9. 已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（    ）

A. 若，则有两解

B. 若，则无解

C. 若为锐角三角形，且，则

D. 若，则的最大值为

11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 在向量上的投影向量为

C. 若，则为的中点

D. 若在线段上，且，则的取值范围为

12. 如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 是等边三角形

B. 若，则，，，四点共圆

C. 四边形面积最大值为

D. 四边形面积最小值为

三､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知复数是方程的两个根，则__________．

14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.

15. 如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______

16. 在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为______．

四､解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i虚数单位，且复数为实数.

（1）求复数z；

（2）在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

18 已知向量.

（1）求与平行的单位向量；

（2）设，若存在，使得成立，求k的取值范围.

19. 在中，角的对边分别为，已知，

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．

20. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．

（1）求证：；

（2）若，求．

21. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

（1）延长交于点Q（图1），求的值；

（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．

（i）求证为定值；

（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

22. 如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

（1）若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.