福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题（解析版）

福州第一中学高一下数学半期考模拟卷

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】设，然后对化简，结合对应的点位于虚轴的正半轴上可求出的范围，从而可求出复数对应的点所在的象限

【详解】设，所以，

则，即，

所以，，故该点在第二象限，

故选：B．

2. 已知，满足，，且，的夹角为，则（    ）

A.  B. 2 C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出的值， 将平方转化为数量积计算.

【详解】，所以，， ，所以.

故选：B

3. 平行四边形中，点E是的中点，点F是的一个三等分点（靠近B），则（    ）

A.  B.

C.  D. ．

【答案】D

【解析】

【分析】用向量的加法和数乘法则运算.

【详解】

由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，

∴.

故选：D.

【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.

4. 若且，则的最大和最小值分别为，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到，从而可得的值.

【详解】因为，

故复数在复平面上对应的点到对应的点的距离小于或等于2，

所以在以为圆心，半径为2的圆面内或圆上，

又表示到复数对应的点的距离，

故该距离的最大值为，

最小值为，故.

故选：B.

【点睛】本题考查复数中的几何意义，该几何意义为复平面上对应的两点之间的距离，注意也有明确的几何意义（可把化成），本题属于中档题.

5. 已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.

【详解】因为，是单位向量，

所以，

又因为，，

所以，

，

所以，

因为，

所以．

故选：B．

6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二倍角公式和，即可得到，再根据余弦定理，得到，由勾股定理可判断．

【详解】∵，可得，

∴，

∴，

∵，

∴，∴，

∴为直角三角形，且，

故选：A.

【点睛】思路点睛：

由联想到降幂公式，当余弦和边同时出现时，应通过余弦定理将边将角化为边.

7. 已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（    ）

A.  B. 2 C. 2 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.

【详解】

当M，N分别是边BC，DC的中点时，

有

所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则

则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1

故NC+MC＝4，则

（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.

故线段MN的最短长度为

故选：D.

8. 设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案.

【详解】如图，取的中点D，

由极化恒等式可得：，

同理，，由于，

则，所以，

因为，D是的中点，于是.

故选：D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9. 已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设，根据复数的运算，可得A正确；分别求出，得到B不正确；根据，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．

【详解】设，

由，，所以，所以A正确；

则，，所以B不正确；

由，所以C正确；

由不一定是实数，

所以D不一定正确.

故选：AC

10. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（    ）

A. 若，则有两解

B. 若，则无解

C. 若锐角三角形，且，则

D. 若，则的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；

根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；

利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．

对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．

对于C，由得，则，

因为，所以，C正确．

对于D．因为，所以，又因为，

所以，则

，由，得，

所以当，即时，取得最大值，D正确．

故选：ACD

11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 在向量上的投影向量为

C. 若，则为的中点

D. 若在线段上，且，则的取值范围为

【答案】BD

【解析】

【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.

【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，

则，整理得到，

，

，，设，

对选项A：，，，错误；

对选项B：，，

，即投影向量为，正确；

对选项C：，

，

，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；

对选项D：，，，

，，

整理得到，，故，正确.

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.

12. 如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 是等边三角形

B. 若，则，，，四点共圆

C. 四边形面积最大值为

D. 四边形面积最小值为

【答案】AC

【解析】

【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．

【详解】由正弦定理，

得，

，

，B是等腰的底角，，

是等边三角形，A正确；

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确知，

但由于时，

，

∴B不正确．

C正确，D不正确：

设，则，

，

，

，

，

，

，

，∴C正确，D不正确；

故选：AC.．

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

三､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知复数是方程的两个根，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意求出，代入化简，可得答案.

【详解】由复数是方程的两个根，则不妨取，

故，

故答案为：

14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.

【详解】因为，，

所以，，

所以，

又因为，

所以，

由正弦定理得：，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，

解得.

故答案为：

15. 如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______

【答案】

【解析】

【分析】易得，再由表示在上的投影求解.

【详解】解：由正六边形的性质得： ，

则，，

，

而表示在上的投影，

当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，

所以的取值范围为，

故答案为：

16. 在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】（1）可以把△ABC放入直角坐标系中，将已知条件转化为坐标之间的方程关系，数形结合，找到取得面积最大时的特殊位置；

（2）可以把已知条件中三个变元的关系结合基本不等式形成两个变元的关系，同时面积也转化成这两个变元的关系再求最值即可；

（3）可以把已知条件结合余弦定理及基本不等式，将面积转化为以角度为变量的三角函数表示，利用函数思想求三角函数最值.

【详解】方法1：在△ABC中，以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设，

因为，所以.

得，

整理得，即是如图1所示的圆上的动点.

如图2，当点C在y轴上时，即时，△ABC面积最大，

故，当时，即时，△ABC面积取得最大值为.

方法2：如图3，CD是△ABC边AB上的高，设，，，由，得，即，又，得当且仅当时取等号)，所以，

又，

当且仅当时，等号成立，即，

将与代人中，得.

所以△ABC面积最大值为.

方法3:由三角形面积公式，得，即，

由，得，由余弦定理，得，

所以(当且仅当时取等号)，

当时，即时，取得最大值，即，所以△ABC面积的最大值为.

(也可以用基本不等式求的最大值，

即，

当时，即时取等号，所以△ABC面积的最大值为.)

方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，

即当时，，，所以△ABC面积的最大值为.

【点睛】在处理与正余弦定理相关的面积最值问题时：

（1）如果出现边的一次式一般采用正弦定理，出现二次式一般要结合余弦定理，利用基本不等式找到变元间的不等关系，结合面积公式求得最值；

（2）三角形的面积可以转化为边的关系，也可以转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值；

（3）也可以数形结合，如果能从形中找到突破口，会大大降低难度和计算量

四､解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数为实数.

（1）求复数z；

（2）在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.

（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】（1）因为z＝a＋i(a>0)，

所以z＋＝a＋i＋

＝a＋i＋

＝a＋i＋

＝，

由于复数z＋为实数，所以1－＝0，

因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.

（2）由题意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2

＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，

由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，则，解得m>0.

因此，实数m的取值范围是(0，＋∞).

18. 已知向量.

（1）求与平行的单位向量；

（2）设，若存在，使得成立，求k的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解

（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题

【小问1详解】

设，根据题意得

解得或或.

【小问2详解】

.

.，

.问题转化为关于t的二次方程在内有解.

令，

①当，即时，在内为增函数，

方程在内无解.

②当，即时，由，解得或.

③当，即时，在内为减函数，由得.解得.

综上，实数k的取值范围为.

19. 在中，角的对边分别为，已知，

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，结合余弦定理即得，即可求得答案；

（2）利用余弦定理表示出，结合正弦定理边化角可得，利用三角恒等变换化简可得，结合为锐角三角形确定A的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.

【小问1详解】

由,

根据正弦定理可得，

所以，

由余弦定理可得，

，．

【小问2详解】

由余弦定理，得，

即，

由正弦定理，得，

即，又，

所以

，

由为锐角三角形，故，解得，

所以，所以，

所以，所以．

20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．

（1）求证：；

（2）若，求．

【答案】（1）详见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；

（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得

【小问1详解】

在中，，

则

整理得，则

又，则

在中，由正弦定理得，则

在中，由正弦定理得，则

则

则

【小问2详解】

由，可得，又

则

由

可得，解之得

又，则，

由，可得

则

21. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

（1）延长交于点Q（图1），求的值；

（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．

（i）求证为定值；

（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；

（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.

【小问1详解】

依题意，因为，

所以，

因为是线段的中点，所以，

设，则有，

因为三点共线，所以，解得，

即，所以，所以；

【小问2详解】

（i）根据题意,

同理可得：，

由（1）可知，，

所以，

因为三点共线，所以，

化简得，

即为定值，且定值为3；

（ii）根据题意，，

，

所以，

由（i）可知，则，

所以，

易知，当时，有最小值，此时.

22. 如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

（1）若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.

【答案】（1）百米   

（2），

【解析】

【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出，即可得到答案；

（2）分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．

【小问1详解】

解：因为点是等腰三角形的顶点，且，，

所以，

由余弦定理可得，，解得，

又因为，

故，

在中，，，所以，

在中，由余弦定理可得，，

解得，

故，

所以连廊的长为百米．

【小问2详解】

解：设图②中的正的边长为，，

则，，

设，

则，

，

所以，

在中，由正弦定理可得，，

即，

即

即（其中为锐角，且，

所以，即；

图③中，设，，

因为，且，

所以，，，

所以，

，

所以，

所以当时，取得最大值，无最小值，即，

故