福建省福州第八中学2022-2023学年下学期九年级期中数学试卷 (含答案)

这是一份福建省福州第八中学2022-2023学年下学期九年级期中数学试卷 (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州八中九年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1.  以下各数是无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列运算中，结果可以为的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知一个边长为米的正方形，面积是平方米，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，在中，，，，则的长约为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  甲、乙两班的数学平均成绩分别为分和分，现在，小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，则小明同学此次数学成绩可能是(    )A. 分 B. 分 C. 分 D. 分9.  如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是(    )
A.  B.  C.  D. 10.  已知抛物线是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.  计算： ______ ．12.  分解因式：______．13.  能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从，，，中任取个数，则这个数能构成一组勾股数的概率是______．14.  已知，则代数式 ______ ．15.  如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的度数为______．
 16.  如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，点坐标为，对角线和相交于点且若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则        ．三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解方程组．18.  本小题分
如图，已知点，，，在一条直线上，，，求证：．
19.  本小题分
先化简，再从，，三个数中选一个合适的数作为的值代入求值．20.  本小题分
在正方形中，是边上的点．
尺规作图：在图中求作，使得与、均相切；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，设与相切于点，连接，求的度数．
21.  本小题分
某书店准备购进，两种课外读物，已知课外读物每本的进价种比种多元，用元购进种课外读物和用元购进种课外读物的数量相同．
，两种课外读物每本进价各是多少元？
该书店计划用不超过元的资金购进，两种课外读物共本，，两种课外读物的每本售价分别为元和元．若这两种课外读物全部售出，则该书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？22.  本小题分
如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，过点作的垂线交于点，交延长线于点．
求证：平行四边形是菱形；
若，，求的长．
23.  本小题分
共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解甲、乙两个社区居民每周使用共享单车的时间情况，从这两个社区选择共享单车出行的居民中各随机抽取了人进行调研，获得了他们每周使用共享单车时间单位：小时的数据并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图如图．

乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据在这一组的是：，，，，，，，，，
甲、乙两社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数和中位数如下： 平均数中位数甲社区乙社区根据以上信息回答下列问题：
写出表中的值；
在甲社区抽取的居民中，记每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为在乙社区抽取的居民中，记每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为比较和的大小并说明理由；
若甲社区共有位居民选择使用共享单车出行，估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长直接写出结果．24.  本小题分
中，，将绕逆时针旋转得，旋转角为，连接，，，．
如图，求证：∽；
如图，若，，，求的长；
如图，若，，的长为，的面积为，求与的函数关系．
 25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点其中，．
求抛物线的解析式；
求的最大值；
若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 解：、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 2.【答案】 解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 3.【答案】 解：，
，选项不符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意；
，选项符合题意．
故选：．
根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则计算后判断．
本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
解得，
故多边形是九边形．
故选：．
【分析】根据多边形的内角和定理：进行求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意：边形的内角和为：．  5.【答案】 解：个边长为米的正方形，面积是平方米，
．
，
，即．
故选：．
先求出的值，再求出其取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是正切的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．
根据正切的定义列式计算即可．
【解答】
解：在中，，
则，
故选：．  7.【答案】 解：由题意可得，
，
故选：．
根据甜果苦果买九十九个，可以得到方程想，再根据九十七文钱购买甜果苦果，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，即可得到方程，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 8.【答案】 解：因为甲、乙两班的数学平均成绩分别为分和分，现在，小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，
所以小明同学此次数学成绩比分多，比分少，
所以选项C符合题意．
故选：．
根据加权平均数的定义解答即可．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键．
 9.【答案】 解：由三视图知：几何体是圆锥，
底面直径为，高为，
圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积．
故选：．
几何体是圆锥，根据三视图判断圆锥的母线长与底面半径，把数据代入圆锥的侧面积公式计算．
本题考查了由三视图求几何体的侧面积，根据三视图判断几何体的形状是关键．
 10.【答案】 解：抛物线与直线交于点，，
，
，
得，即，
则当，或，时，；
当，或，时，．
故D正确，、、A错误，
故选：．
将两点坐标分别代入并联立，从而得到，再根据有理数的乘法判断符号
本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于，，，的等式
 11.【答案】 解：

，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 12.【答案】 解：．
本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
 13.【答案】 解：从，，，中任取个不同的数，有，，，共种，
其中只有为勾股数，
所以这个数构成一组勾股数的概率，
故答案为：．
一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 解：，




，
故答案为：．
先去括号，再变式，最后整体代入求解．
本题考查了多项式乘多项式，整体代入求解是解题的关键．
 15.【答案】 解：如图，连接，
由翻折的性质可知，，
，
，


，
即弧的度数为，
故答案为：．
连接，由翻折的性质以及等腰三角形的判定可得是正三角形，进而得出，求出即可．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，判断是正三角形是解决问题的关键．
 16.【答案】 解：如图所示，过点作于，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
为的中点，
，
又在反比例函数上，
，
，
的纵坐标为，
又在反比例函数上，
的横坐标为，
，
，
，
故答案为：．
如图所示，过点作于，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出，将代入反比例函数解析式可得，进而求出点坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
 17.【答案】解：，
，得，
将代入，得，
方程组的解为． 【解析】利用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤．
 18.【答案】证明：，
，
，
．
即，
在和中
，
≌，
，
． 【解析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断≌，所以，然后根据平行线的判定可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 19.【答案】解：原式
，
且，
，
则原式． 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
 20.【答案】解：如图：即为所求；

在正方形中，平分，
，
与、均相切，
，
． 【解析】作的平分线与的交点即为点；
根据切线长定理及等边对等角求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质及切线长定理是解题的关键．
 21.【答案】解：设种课外读物每本的进价是元，则种课外读物每本的进价是元，
由题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种课外读物每本的进价是元，种课外读物每本的进价是元；
设购买种课外读物本，则购买种课外读物本，
由题意得，
解得：，
设利润为元，，
，即随的增大而增大，
当时，最大值为元，
答：书店购进种课外读物本，种课外读物本时获得利润最大，最大利润为元． 【解析】设种课外读物每本的进价是元，则种课外读物每本的进价是元，根据用元购进种课外读物和用元购进种课外读物的数量相同列分式方程，解出可得结论；
设购买种课外读物本，则购买种课外读物本，根据该书店计划用不超过元的资金购进，两种课外读物共本列出不等式求出的取值范围；再设利润为元，根据总利润两种读物利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列函数解析式或方程，分式方程要注意检验．
 22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：连接，交于，如图所示：

由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
点为边中点，
，
在中，，
，
，
． 【解析】证，得出，即可得出结论；
连接，交于，由菱形的性质得，，，再证，则四边形是平行四边形，得出，，求出，然后由锐角三角函数求出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 23.【答案】解：将乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据按从小到大排序，
可知第个数据落在这一组，
，
乙社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的中位数为．
．
．
理由：甲社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数为小时，中位数为小时，平均数低于中位数，
在甲社区抽调的居民中，每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为，
乙社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数为小时，中位数为小时，平均数高于中位数，
在乙社区抽调的居民中，每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为，
．
根据题意可得，
估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长为小时．
答：估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长为小时． 【解析】根据中位数的定义，将乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据按从小到大排序，找出处在第位的数据即可．
根据和表示的意义，结合甲、乙两个社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数和中位数，可得出答案．
根据甲社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数以及社区居民总数进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数和中位数的意义是解答本题的关键．
 24.【答案】证明：如图，
由旋转得，，，
：：，
，
∽．
如图，在上截取点，让，
作于，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
延长，作于，
设，
，
，，
，
，
，
整理得，，
，，
，
的长为，
，
，
的面积为，
． 【解析】根据旋转得到，，由因为旋转角相等，所以两边成比例且夹角相等，所以相似．
将分割成等腰三角形、等腰直角三角形、含直角三角形即可解题．
延长，作于，利用，在等腰三角形和等腰三角形中证明出，再用表示出即可表示出．
本题考查了相似三角形综合应用、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和及三角函数的运用是本题的解题关键．
 25.【答案】解：在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；

过作交抛物线于，如图：

由，得直线解析式为，
设，
在中，令得：
，
解得，
，
，
，
∽，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值为；

，
抛物线的对称轴为直线，
当时，中，随的增大而增大，
，
，
在其中范围内，
当时，取最大值，即
当时，取最小值．即
，
，
解得，
，
的取值范围是． 【解析】在中，可得，，，故A，再用待定系数法得抛物线的解析式为；
过作交抛物线于，由，得直线解析式为，设，可得，根据∽，有，由二次函数性质即得的最大值为；
求出抛物线的对称轴为直线，由，知，故，可得，根据，得，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．