甘肃省张掖市高台县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（Word版含解析）

2023年春学期高二年级三月月考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1. 函数在区间上的平均变化率为（    ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 函数的单调递减区间为（   ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知函数 ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 曲线在点处的切线方程为(   )

A.  B.  C.  D.

6. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 当时，函数取得最大值，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

8. 函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B.

C. 函数在x＝5处取得极小值

D. 函数存在最小值

11. 对于函数，下列说法正确有（    ）．

A. 在处取得极大值

B. 有两不同零点

C.

D. 若在上恒成立，则

12. 已知 ，则（   ）

A.  B.

C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题    共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数极小值为______.

14. 已知函数，则的单调递减区间为___________.

15. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是_____．

16. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过原点且与曲线相切；

（2）斜率为e且与曲线相切.

18. 已知函数 在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为 .

（1）求 的解析式；

（2）求 在区间 上的最大值与最小值.

19. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间．

20. 新冠肺炎疫情期间，某企业生产口罩能全部售出，每月生产万件（每件5个口罩）的利润函数为（单位：万元）．

（1）当每月生产5万件口罩时，利润为多少万元？

（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？

21. 已知函数，.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

22. 已知函数，（e为自然对数的底数，且）.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

2023年春学期高二年级三月月考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1. 函数在区间上的平均变化率为（    ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.

【详解】当时，；当时，.

所以函数在区间上的平均变化率为.

故选：C

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.

【详解】.

故选：B.

3. 函数的单调递减区间为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数法求解.

【详解】因为，

所以，

当时，，

所以函数的单调递减区间为，

故选：B

4. 已知函数 ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数求导，然后令，可求出，从而可求出的解析式，进而可求出

【详解】由，

得，

令，则，解得，

所以，

所以，

故选：D

5. 曲线在点处的切线方程为(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数的几何意义即可求解﹒

【详解】

∴在(0，1)处切线方程为：，即﹒

故选：A﹒

6. 函数的大致图像为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

【详解】因函数，定义域为，

又，

所以偶函数，故B错误；

由得，，

同理，由得，或，故C错误；

因为，，

所以，故D错误；

因为函数，定义域为，

且当时，，，

由有，，

同理，由，解得，

所以当时，在单调递增，在上单调递减，

又，所以A正确.

故选：A.

7. 当时，函数取得最大值，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

8. 函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.

【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.

在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得.

故实数a的取值范围是.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.

【详解】A：，错误；

B：，正确；

C：，正确；

D：，正确．

故选：BCD

10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B.

C. 函数在x＝5处取得极小值

D. 函数存在最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】借助导数图像的正负性即可分析原函数的单调性.

【详解】在恒成立，则在上单调递减，故A正确；

在恒成立，则在上单调递增，

则，故B错误；

上，上,

则函数在x＝5处取得极小值，故C正确;

由导数图可知在上递减，在上递增，

在上递减，在上递增，

故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故D正确;

故选：ACD.

11. 对于函数，下列说法正确的有（    ）．

A. 在处取得极大值

B. 有两不同零点

C.

D. 若在上恒成立，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；

对于B，令，则可得函数的零点；

对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；

对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可

【详解】函数的导数，，

令得，则当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，

由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，

， 由时，函数为减函数知，

故成立，故正确，

若在上恒成立，

则，

设，，

则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，

即当时，函数取得极大值同时也是最大值，

成立，故正确.

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．

12. 已知 ，则（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析.

【详解】因为 ，即 ．
令 ，则有，
则 ，令 ，则 ，
令 ，可得，
当时， ，函数单调递增，
当时， ，函数单调递减，
故，
所以总有 ，故单调递减；所以，即；
对于A，，故A错误；
对于B，设 ，则 ，
故在上单调递增，所以，
所以 ，因为，所以 ，故B正确；
对于C，，即．
设，则，
则 ，所以单调递增．
因为，所以，故C正确；
对于D，，即，
令，则，
因为，所以为偶函数，
所以即为．
则 ，令，则 ，所以单调递增．
又，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
当时，，故D错误；

故选：BC.

第Ⅱ卷（非选择题    共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的极小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.

【详解】，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故当时，函数有极小值为.

故答案为：

14. 已知函数，则的单调递减区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可.

【详解】，当时，单调递减，

，因为，所以，

故答案为：

15. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利用函数在区间上有极值，即可求实数的取值范围．

【详解】解：的定义域为，且．

①当时，恒成立，故在上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值．

②当时，令，得，则和的情况如下：

故的单调减区间为；单调增区间为．

从而的极小值为，没有极大值．

函数在区间上有极值，

，

．

故答案为：．

16. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，即图象在上方

当时，，即图象在下方

，图象显然不符合题意，所以．

令，则，

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，故切线方程为，

则有，解得，则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，

综上所述，的取值范围为．

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0两个根为

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

设函数，则，

若，则在上单调递增，此时若，则在

上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数

且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；

若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过原点且与曲线相切；

（2）斜率为e且与曲线相切.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导函数，设切点为，切线方程为，根据导数的几何意义求出斜率，即可得直线方程，然后将切点代入直线方程即可求得，从而可得答案；

（2）求出导函数，根据切线斜率为，求出切点坐标，即可得出答案.

【小问1详解】

解：，，

设切点为，切线方程为，

所以，，

因为切点为，所以，所以，

所以切线方程为；

【小问2详解】

解：，

因为切线斜率为，所以，所以，

则切点为，

所以切线方程为，即.

18. 已知函数 在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为 .

（1）求 的解析式；

（2）求 在区间 上的最大值与最小值.

【答案】（1）；   

（2）最大值为18，最小值为.

【解析】

【分析】（1）根据函数在处有极值，且在处切线斜率为﹣3，列出方程组；

（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值.

【小问1详解】

由，得，

因为函数 在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为，

所以，解得，

当时，，则，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以为函数的极大值点，所以符合题意，

所以，

【小问2详解】

由（1）可得当或时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，，

所以，.

19. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数单调区间．

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为：，单调递减区间为：

【解析】

【分析】（1）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解，

（2）根据导函数的正负即可确定的单调区间.

【小问1详解】

由得，

故，所以切线方程为：

【小问2详解】

的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当时，，单调递增，

当，单调递减，

故的单调递增区间为：，单调递减区间为：

20. 新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产万件（每件5个口罩）的利润函数为（单位：万元）．

（1）当每月生产5万件口罩时，利润为多少万元？

（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？

【答案】（1）万元；（2）当月产量约为万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．

【解析】

【分析】当时，，直接求解即可

利用二次函数的顶点式和求导，即可求出的最值

【详解】解：（1）由已知，当时，，

∴．

即当每月生产5万件口罩时，利润为万元．

（2）当时，，

∴当时，的最大值为（万元）；

当时，，，

令，解得．

∴当时，函数单调递增，当，函数单调递减，

∴当时，取最大值（万元）．

∵，∴当时，取得最大值8万元．

故当月产量约为万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．

【点睛】本题考查分段函数以及利用导数求解最值，属于基础题

21. 已知函数，.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）极大值为，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可.

【小问1详解】

解：当时，，则，

令，得，令，得

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的极大值为，无极小值；

【小问2详解】

解：

当，，则是增函数.

当时，则是减函数，

∴的最大值为，

∵恒成立，

∴，解得，

∴的取值范围为.

22. 已知函数，（e为自然对数的底数，且）.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导得到导函数，考虑，，三种情况，根据导数的正负得到单调区间.

（2）考虑，，三种情况，求导得到单调区间，计算最值，再根据零点存在定理得到答案.

【小问1详解】

，

当时，，

则当时，，故在单调递减；

当时，，故在单调递增.

当时，由得，.

若，则，故在上单调递增.

若，当或时，，故在，单调递增.

当时，，故在单调递减.

综上所述：

时，在单调递减，在单调递增；

时，在，单调递增，在单调递减.

时，在上单调递增.

【小问2详解】

当时，在上单调递增，不可能有两个零点.

当时，在，单调递增，单调递减，

故当时，取得极大值，极大值为，

此时，不可能有两个零点.

当时，，由得，此时，仅有一个零点.

当时，在单调递减，在单调递增，

，有两个零点，故，解得，

故，而则，

取，则，

故在、各有一个零点，

综上所述：a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调性，根据零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是考试的常考题型，需要熟练掌握.