2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学试题含答案

  哈师大附中2021级高二学年上学期10月月考

数学科试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知向量，，则等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵，，

∴+＝（3，5，4），

则＝＝5，

故选：C．

2．焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（　　）

A．＝1 B．＝1 

C．＝1 D．＝1

【解答】解：因为焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6，

所以c＝4，a＝6，

所以b2＝a2﹣c2＝62﹣42＝20，

所以椭圆的方程为+＝1，

故选：D．

3．若直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面á的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则（　　）

A．l⊂á B．l∥á C．l⊥á D．l∥á或l⊂á

【解答】解：根据题意，直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面á的一个法向量为＝（﹣2，4，2），

则有＝﹣2，故l⊥á，

故选：C．

4．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，﹣1），圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1，C2的公共弦长为（　　）

A． B． C． D．2

【解答】解：设圆C1的方程为（x﹣a）2+y2＝1，代入点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1，

解得a＝2，故圆C1的方程为（x﹣2）2+y2＝1，化为一般方程为x2+y2﹣4x+3＝0，

圆C2的一般方程为x2+y2﹣8x﹣4y+10＝0，

两圆方程作差得4x+4y﹣7＝0，

点C1（2，0）到直线4x+4y﹣7＝0的距离为：d＝＝＝，

则圆C1，C2的公共弦长为2＝．

故选：A．

5．圆x2+（y﹣2）2＝4与圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣] B．[5，+∞） 

C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

【解答】解：根据题意，圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0，即（x+m）2+y2＝1，其圆心为（﹣m，0），半径r＝1，

圆x2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（0，2），半径R＝2，

若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，则有≥2+1，

解可得：m≥或m≤﹣，则m的取值范围为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞），

故选：D．

6．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若C上存在无数个点P，满足：∠F1PF2＞，则的取值范围为（　　）

A．（0，） B．（，1） C．（，1） D．（0，）

【解答】解：因为椭圆C上存在无数个点P，满足∠F1PF2＞，

所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，

所以c＞b，

故选：D．

7．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，直线l：（3﹣2t）x+（t﹣1）y+2t﹣1＝0恒过定点A．若一条光线从点A射出，经直线x﹣y﹣5＝0上一点M发射后到达圆C上的一点N，则|AM|+|MN|的最小值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：直线l可化为3x﹣y﹣1﹣t（2x﹣y﹣2）＝0

令 2x﹣y﹣2＝0，可得3x﹣y﹣1＝0，

求得x＝﹣1，且y＝﹣4，

所以，点A的坐标为（﹣1，﹣4）．

设点A（﹣1，﹣4）关于直线x﹣y﹣5＝0的

对称点为B（a，b），

则由 ，求得，

所以点B坐标为（1，﹣6）．

由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|，

所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|

≥|BC|﹣r＝7﹣1＝6，

（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），

所以，|AM|+|MN|的最小值为6，

故选：A．

8．已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B．则|AB|的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B，

圆C是以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，

由题可知，当∠ACP最小时，|AB|的值最小，，

当|PC|取得最小值时，cos∠ACP最大，∠ACP最小，

点C到直线l的距离，

故当时，cos∠ACP最大，且最大值为，

此时，则．

故选：A．

9．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，BF＝1，BO＝2，，

则，

∴OD＝2，即a＝2，而2b＝2，即b＝1，

所以，

所以离心率，

故选：B．

10．已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆C1，圆C2均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为（　　）

A．9 B．11 C．17或19 D．19

【解答】解：根据题意：圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C1（﹣3，0），半径R1＝a，

圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C2（﹣3，0），半径R2＝1，

又因为a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆C2内含于圆C1，如图1，

因为动圆M与圆C1，圆C2均相切，设圆M的半径为r，

分2种情况讨论：

①动圆M与圆C1内切，与圆C2外切（r＜a），

则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，

所以C1M+C2M＝a+1，

即M的轨迹为以C1，C2为焦点，长轴长为a+1的椭圆，

因为P为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为r0，

又由，

则有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，

所以C1M+C2M＝3C1C2，

所以3C1C2＝18＝a+1，

所以a＝17，

②圆C2内切于动圆M，动圆M内切于圆C1，

则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，

所以C1M+C2M＝a﹣1，

同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，则有a＝19；

综合可得：a＝17或19；

故选：C．

二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）11．已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（　　）

A．该椭圆的长轴长为 

B．使△PF1F2为直角三角形的点P共有6个 

C．△PF1F2的面积的最大值为1 

D．若点P是异于A1、A2的点，则直线PA1与PA2的斜率的乘积等于﹣2

【解答】解：椭圆的上下焦点分别为F1，F2，可得a＝，b＝1，c＝1，

所以椭圆的长轴长为2，所以A不正确；

△PF1F2为直角三角形的点P共有6个，所以B正确；

△PF1F2的面积的最大值为＝bc＝1，所以C正确；

设P（m，n），易知A1（﹣1，0），A2（1，0），

所以直线PA，PB的斜率之积是：＝＝＝﹣2，

故D正确，

故选：BCD．

（多选）12．设有一组圆，下列命题正确的是（　　）

A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上 

B．存在圆∁k经过点（3，0） 

C．存在定直线始终与圆∁k相切 

D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则

【解答】解：根据题意，圆，其圆心为（k，k），半径为2，

依次分析选项：

对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x上，A正确；

对于B，圆，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4，

化简得2k2﹣6k+5＝0，Δ＝36﹣40＝﹣4＜0，方程无解，

所以不存在圆∁k经过点（3，0），B错误；

对于C，存在直线，即或，

圆心（k，k）到直线或的距离，

这两条直线始终与圆∁k相切，C正确，

对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1与圆∁k有两个交点，

圆心距为，变形可得，

解可得：或，D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣3my＝4不能构成三角形，则m的取值集合是 　{﹣，，﹣}　．

【解答】解：根据题意，若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣3my＝4不能构成三角形，

有3种情况，

①三条直线交于1点，，解可得，则点（1，1）在直线2x﹣3my＝4上，

则有2﹣3m＝4，解可得m＝﹣，

②l2∥l3，此时有（﹣1）×（﹣3m）＝3m＝2，解可得m＝，

③l1∥l3，此时有3×（﹣3m）＝2，解可得m＝﹣，

综合可得：m的取值集合为{﹣，，﹣}；

故答案为：{﹣，，﹣}．

14．过点P（2，2）作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为 　x+y﹣2＝0　．

【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为C（0，0），半径为2，

以P（2，2），C（0，0）为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+2y＝4，即x+y﹣2＝0．

故答案为：x+y﹣2＝0．

15. 点P（﹣2，2）到直线（2+ë）x﹣（1+ë）y﹣2（3+2ë）＝0的距离的取值范围是______________.

16．经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆x2+y2﹣4x+2y﹣20＝0相交于A，C，B，D四点，有下列结论：

①弦AC长度的最小值为；

②线段BO长度的最大值为；

③四边形ABCD面积的取值范围为．

其中所有正确结论的序号为 　①③ 　．

【解答】解：由题设（x﹣2）2+（y+1）2＝25，则圆心（2，﹣1），半径r＝5，

由圆的性质知：当圆心与直线AC距离最大为时AC长度的最小，

此时，①正确；

BO长度最大，则圆心与B，O共线且在它们中间，此时，②错误；

，

而，所以，

令，则，

当，即时，（SABCD）max＝45，

当t＝0或5，即或时，，

所以，③正确．

故答案为：①③．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题10分) 已知圆，点.

（1）过做圆的切线,求切线方程；

（2）过做直线与圆交于两点，且,求直线的方程

解：（1）或

（2）或

18. （本题12分）设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，

（1）当面积取最小值时，求直线l的方程

（2）当取得最小值时，求直线l的方程．

解：（1）

（2）

19. （本题12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆上的点都在椭圆内部，求的取值范围。

解：（1）

（2）

20. （本题12分）已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，

（1）求此椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值。

解：（1）

（2）

21. （本题12分） 如图，在四棱柱中，侧棱,,,

,且点M和N分别为的中点.

(I)求证：平面；

(II)求平面与平面夹角的正弦值；

解：（1）略

（2）

22．椭圆的两个焦点是，点在椭圆上.

(1)求此椭圆方程；

（2）过做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于四点，求四边形面积的取值范围。

解：（1）

（2）