辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题

2022—2023学年度（下）联合体高一期中检测

数学

（满分：150分  考试时间：120分钟）

审题人：36中  杨晓廷

注意事项：

1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．

4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ）

A．     B．

C．     D．

2．已知向量，若的夹角为钝角，则实数m的取值范围是（    ）

A．     B．且     C．     D．

3．已知角的终边经过点，则为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．已知向量，且，则实数（    ）

A．2     B．6     C．8     D．10

5．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A．4     B．3     C．2     D．1

6．若向量与的夹角为，，则（    ）

A．     B．     C．4     D．12

7．已知，则的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．函数在的图象大致如下图，则（    ）

A．     B．     C．     D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称     B．函数在上单调递增

C．函数的图象关于直线对称     D．函数是偶函数

10．下列计算或化简正确的是（    ）

A．          B．

C．若，则

D．若为第二象限角，则

11．已知正六边形的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ）

A．     B．     C．1     D．2

12．一半径为的水轮示意图如图所示，水轮圆心O距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点）开始计时，则（    ）

A．点P距离水面的高度与之间的函数关系式为

B．点P第一次到达最高点需要

C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点P距离水面的高度不低于

D．当水轮转动时，点P在水面下方，距离水面

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知单位向量的夹角为，则_________．

14．已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的函数是_________．（填所有符合条件的序号）

15．已知夹角为的非零向量满足，则t的值为_________．

16．如图，是半径为2、的扇形，C是上的点，四边形是扇形的内接矩形，设，若，四边形的面积S取得最大值，则的值为_________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）计算：；

（2）已知，求的值．

18．（12分）已知向量与的夹角为，且．求：

（1）；

（2）；

（3）与的夹角的余弦值．

19．（12分）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．

（1）若，求扇形的弧长．

（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．

20．（12分）已知函数．

（1）化简；

（2）求函数在上的值域．

21．（12分）如图，在中，．点D，E分别是线段上的点，且满足．

（1）求的取值范围．

（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值．

2022―2023学年度（下）联合体高一期中检测

数学  参考答案及评分标准

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．A【解析】角用弧度制表示为，B、D错误；终边相同应加上，故C错误．故选A．

2．B  【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，解得且．故选B．

3．C  【解析】由题意，得（O为坐标原点），根据余弦函数的定义，得．故选C．

4．D  【解析】由，可得，即，解得．故选D．

5．D  【解析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，由扇形面积，弧长，解得，，即这个扇形的圆心角的弧度数为1．故选D．

6．B  【解析】由题意，得，所以，所以．故选B．

7．C  【解析】①，②．由①+②，可得，所以．故选C．

8．D  【解析】设的最小正周期为T．由图可得又，则．由图可得，则，则，得，所以，则．故选D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9．AB  【解析】，A正确；当时，，因此此时单调递增，B正确；函数的图象关于直线对称，函数的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以其图象关于直线对称，C错误；，但不存在，D错误，故选AB．

10．ACD  【解析】，A正确；由，可得，B错误；，C正确；，D正确，故选ACD．

11．BCD  【解析】由题意，知．当点P与点D重合时，向量在方向上的投影数量最大，为．当点P与点A重合时，向量在方向上的投影数量最小，为，所以的最大值为，最小值为．，故A不满足，B、C、D都满足．故选BCD．

12．AC  【解析】对于A，由题意，得点P距离水面的高度与的函数关系式为，A正确；对于B，令，解得，点P第一次到达最高点需要，B错误；对于C，令，解得，即在水轮转动的一圈内，有的时间，点P距离水面的高度不低于，C正确；对于D，当时，，即点P在水面下方，距离水面，D错误，故选AC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．  【解析】．故答案为：．

14．①③  【解析】对于①，的最小正周期为；对于②，设，因为该函数图象可由的图象保留y轴右侧部分不变，将y轴右侧部分翻折到y轴左侧得到，故不是周期函数；对于③，，因为该函数图象可由的图象保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为，因此最小正周期为的函数的序号是①③．故答案为：①③．

15．2  【解析】因为的夹角为，且，则，所以，即，解得．故答案为：2．

16．  【解析】中，，所以，在中，，且，所以，所以，所以，其．当时，S取最大值，此时，则

，即，即，因为，，所以．故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）

．

（2）

．

18．解：（1）已知向量与的夹角为，且，

则

，

所以．

（2）．

（3）与的夹角的余弦值为．

19．解：（1）设扇形的弧长为l．

因为，即，

所以．

（2）由题设条件，知，则，

所以扇形的面积．

当时，S有最大值36，

此时，

所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．

20．解：（1）

．

（2）

．

当时，，

当时，取得最大值；

当时，取得最小值3，

所以函数在上的值域是．

21．解：（1）在中，，

所以，

所以，

所以

．

因为，所以，

即．

（2）存在实数使得．

．

令，得或（舍），

所以存在实数，使得．

22．解：（1）由图象可知，最小正周期，

所以．

因为点在该函数图象上，

所以，即．

又因为，所以，

则，即．

因为点在该函数图象上，

所以，解得．

故函数的解析式为．

（2）由题意可得．

设

．

因为，

当时，恒成立．

即恒成立，

即恒成立．

所以在区间上单调递减．

令，

解得．

因为，

所以，

所以得得，

所以实数m的最大值为．