第60讲 事件的概率与概型-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第60讲   事件的概率与概型【知识通关】通关一、随机事件及其概率1.事件的相关概念（1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件．（2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.（3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件．2.频率与概率（1)事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比【例】为事件A出现的频率。（2)概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率，简称为A的概率。要点诠释：（1)频数是一个整数，其取值范围为,因此随机事件A发生的频率的可能取值介于0与1之间，即0≤≤1.（2)必然事件M的概率为1,即P(M)=1；不可能事件N的概率为0,即P(N)=0；随机事件A的概率满足.通关二、概率的几个基本性质1.任何事件的概率都在01之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.2.当事件A与事件B互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B).3.对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立，则P(A)+P(B)=1.4.当事件A与事件B互相独立时，P(AB)=P(A)P(B).【结论第讲】结论一、独立事件的概率与性事件A,B相互独立概率计算公式A,B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A,B同时不发生A,B至少有一个不发生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一个发生P=1-P()=1-P()P()=P(A) ＋P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一个发生P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)＝P(A)+P(B)-2P(A)P(B) 【例1】已知A,B,C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是,求下列事件的概率：（1)事件A,B,C至少发生一个；（2)事件A,B,C只发生一个；（3)事件A,B,C只发生两个；（4)事件A,B,C至多发生两个．【解析】（1)记“事件A,B,C至少发生一个”为,其对立事件为:“事件A,B,C一个也不发生”，从而. 所以事件A,B,C至少发生一个的概率为.（2）记“事件A，B，C只发生一个”为，则事件，包括三种情况∶第一种是只发生事件 A，事件B，C不发生（即事件发生）;第二种是只发生事件B，事件A，C不发生（即事件发生）;第三种是只发生事件C，事件A，B不发生（即事件发生）;而这三种情况是不可能同时发生的，即事件，，彼此互斥.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P()=P()+P()+P()= 所以A，B，C 只发生一个的概率为（3）记“事件A，B，C只发生两个”为，则事件，包括三种彼此互斥的情况∶; ;由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P（）=P（）+P（）+P（）=所以事件 A，B，C 只发生两个的概率为（4）记“事件A，B，C至多发生两个”为，则包括彼此互斥的三种情况∶事件A，B，C一个也不发生，即;事件A，B，C只发生一个，即;事件A，B，C 只发生两个，即故P（）=+ P()P（）= 所以事件 A，B，C 至多发生两个的概率为【变式】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和,求：（1)两个人都译出密码的概率；（2)两个人都译不出密码的概率；（3)恰有1个人译出密码的概率；（4)至多1个人译出密码的概率；（5)至少1个人译出密码的概率．【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A,B为相互独立事件，且P(A)= ,P(B)= .（1)两个人都译出密码的概率为：P(AB)=P(A)·P(B)=.（2)两个人都译不出密码的概率为：（3)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=.（4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1-P(AB)=1-P(A)P(B)=.（5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：.结论二、条件概率1.条件概率：事件B在事件A已经发生的情况下，发生的概率称为B在A条件下的条件概率，记为B|A.2.利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=.3.利用缩小样本空间法计算（局限在古典概型内），即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为AB,利用古典概型计算概率：P(B|A)= .要点诠释：P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间关系的应用，即P(B|A)= , P(A|B)= ,P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A).【例2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为____________【答案】【解析】设事件为“第一次取到不合格品”，事件为“第二次取到不合格品”，．【变式】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①（B）；②；③事件与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件；⑤（B）的值不能确定，因为它与，，中究竟哪一个发生有关．【答案】②④【解析】易见，，是两两互斥的事件，④正确；，，；，由此知，②正确；，；而（B）．由此知①③⑤不正确。综上：正确的结论为：②④结论三、古典概型1.古典概型的概率公式P(A)=2.从集合的观点看古典概型：从集合的观点来看，如果把一次试验中出现的n个等可能结果组成一个集合I,其中每个结果都是I的元素。包含m个结果的一个事件就对应于I的某个有m个元素的子集A(每个基本事件都对应于集合I的某个m元子集），所以该事件的概率是子集A的元素个数（记为card(A))与集合I的元素个数（card(I))的比值：P(A)=.【例3】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为     A． B． C． D． 【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有m=10个基本事件，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为．故选D．【变式】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为     A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．．故选．结论四、几何概型1.与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2.与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3.与角度有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A)=.4.与体积有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)= .【例4】为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为     A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，已知长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到的距离大于1的概率.故选． 【变式】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（     ）A． B． C.  D. 【答案】B【解析】根据图像的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则此点取自黑色部分的概率. 故选B. 结论五、随机模拟利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率P（A），然后根据列等式求A的面积. 为了方便解题，我们常常设计出一个规则的图形（面积为定值）来表示随机取点的全部结果构成的区域. 【例5】如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为（     ）.  A. 7. 68 B. 8. 68 C. 16. 32 D. 17. 32【答案】C【解析】由随机模拟的思想方法可得黄豆落在椭圆内的概率为. 由几何概型的概率计算公式可得，而，则=0. 68×24=16. 32. 故选C. 【变式】从区间[0，1]随机抽取2n个数. 构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（     ）.  A.  B.  C.   D.  【答案】C【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为，从区间[0，1]随机抽取2n个数，构成n个数对，对应的区域的面积为. 所以，，故选C.