2023年山东省日照市东港区田家炳中学中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2023年山东省日照市东港区田家炳中学中考数学一模试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省日照市东港区田家炳中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的算术平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 6.  一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 7.  在平行四边形中，如果点，与相交于点，那么与平行四边形的面积之比为(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：8.  甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的倍，甲比乙提前分钟走完全程设乙的速度为，则下列方程中正确的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为，若，，则等于(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在正方形中，，点在上运动不与，重合过点作交于点，则的最大值为(    )A.
B.
C.
D. 11.  如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于、两点，连接、、，下列正确的是：；；；(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心将沿轴的正方向作无滑动滚动使它的三边依次与轴重合第一次滚动后，圆心为，第二次滚动后圆心为依次规律，第次滚动后，内切圆的圆心的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.  已知，则的值为______ ．14.  如图，直线和抛物线都经过点，，则求不等式的解集______．
 15.  如图，已知的半径为，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______．
 16.  如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点若，则______．
 三、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
解方程组．18.  本小题分
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
参加问卷调查的学生共有______人；
条形统计图中的值为______，扇形统计图中的度数为______；
根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；
现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．19.  本小题分
超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件．设销售单价增加元，每天售出件．
请写出与之间的函数表达式；
当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润元？
设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时，最大，最大值是多少？20.  本小题分
如图，是直径，弦，垂足为点弦交于点，点在延长线上，且．
求证：为切线；
若，，，求的长．
21.  本小题分
如图，与是等腰直角三角形，点为直角顶点，连接、，是的中点，连接

问题解决：如图，当点、分别在、上时，线段与线段之间的数量关系为______ ；
类比探究：将绕点逆时针旋转到如图所示位置，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：在的旋转过程中，当绕点逆时针旋转时，若，，，请直接写出的长．22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接，点是线段上动点不与、两点重合，过点作轴的垂线，设直线与交于点，与抛物线交于点．
求抛物线的表达式；
连接，当和相似时，求点的坐标；
过点作，垂足为，求面积的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的算术平方根是．
故选：．
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根．
本题考查了算术平方根的定义和性质，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成．
 2.【答案】 【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 3.【答案】 【解析】解：、不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选D．
根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．分别计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出关于的不等式组，难度适中．先求出不等式组的解集，根据题意得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】
解：不等式组的解集为，
又不等式组恰有两个整数解，
这两个整数解为，，
，
解得：，
恰有两个整数解，
故选：．  5.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项A错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项B错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项C错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项D正确；
故选：．
根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断、的正负情况．
 7.【答案】 【解析】解：在平行四边形中，，，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即与平行四边形的面积之比为：，
故选：．
先证明∽，进一步得到，则，，得到，则，即可得到答案．
此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明∽是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：分钟，
设乙的速度为，则甲的速度为，
根据题意，得：，
故选：．
设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
四边形是正方形，
，，
设，则，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
当时，最大，最大值为，
故选：．
先求出，，，设，则，证明∽，得到，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正方形的性质，证明∽是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，，，
≌，
，
，
故正确，
由可得：，
，，
≌，
，
故正确，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
∽，
；
故不正确，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故正确，
正确的是．
故选：．
证明≌，由可得；
结合，证明≌；
证明，得；
求出和的面积，进而由它们的差可得．
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．
 12.【答案】 【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
内切圆的半径，
的坐标为，
将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，，
，即，
每滚动次一个循环，
，
第次滚动后，内切圆的圆心的横坐标是，
即的横坐标是，
的坐标是；
故选D．
由勾股定理得出，得出内切圆的半径，因此的坐标为，由题意得出的坐标，得出规律为每滚动次一个循环，由，即可得出答案．
此题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质，根据题意得出规律是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据比例的基本性质即可得到答案．
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：直线和抛物线都经过点，，
由图象得：不等式的解集为．
故答案为：
根据图象，找出二次函数位于一次函数上方时的范围即可．
此题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
 15.【答案】或或 【解析】解：
与轴相切，
到轴的距离等于半径，
点的纵坐标为或，
当时，代入可得，解得或，此时点坐标为或；
当时，代入可得，解得，此时点坐标为；
综上可知点坐标为或或，
故答案为：或或．
当与轴相切时可求得点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标．
本题主要考查切线的性质，根据切线的性质求得点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．
 16.【答案】 【解析】解：设与轴交于点，连接、，

四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接、，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，进而求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 17.【答案】解：


；
，
原式．
，
由得：，得：，
解得：，
把代入得：，
． 【解析】先计算分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把的值代入计算即可；
先把方程化为，利用得：，求解，再求解即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，分式的化简求值，二元一次方程组的解法，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．
 18.【答案】解：；
，；
；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【解析】【解答】
解：人，
参加问卷调查的学生共有人．
故答案为：；
，
，
故答案为：，；
人，
估计该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人．
故答案为：；
见答案．
【分析】
利用即可求出参加问卷调查的学生人数；
根据，即可得出答案；
用该校学生总人数乘样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可；
画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
【点评】
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．  19.【答案】解：根据题意得，；
根据题意得，，
解得：，，
每件利润不能超过元，
，
答：当为时，超市每天销售这种玩具可获利润元；
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，且每件利润不能超过元，
当时，，
答：当为时最大，最大值是元． 【解析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
根据题意列函数关系式即可；
根据题意列方程即可得到结论；
根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
 20.【答案】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为切线；

解：如图，连接，过点作，垂足为，
是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
的长为． 【解析】连接，由，，得到，即可证明；
连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用∽，即可求出的长．
本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
 21.【答案】 【解析】解：与是等腰直角三角形，
，，，
≌，
，
是的中点，
，
；
延长至点，使得，连接、，如图所示，

是的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当绕点顺时针旋转度时，
，
，
过点作交延长线于，过点作于点，

，
，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
；
当绕点逆时针旋转时，，
，
过点作交于，过点作于点，

，
，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
综上，或．
根据条件证明≌，再结合直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
延长至点，使得，连接、，可得四边形是平行四边形，再结合条件证明即可求解；
分两种情况讨论：当绕点顺时针旋转度时；当绕点逆时针旋转度时，分别根据旋转的性质解答即可．
本题考查旋转几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
 22.【答案】解：把点，的坐标代入  中，得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；

令，解得，，
．
，
，，
轴，
，
，
只有当时，∽，
此时 ，
，
，
设点的纵坐标为，则，，
，
．
将点的坐标代入得：
，
解得 舍去或 ，
则点 ；

在中，，
轴，
，
∽，
，
，
，，
，
即当取得最大值时，最大，
设直线的表达式为，
将、两点的坐标代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为，
设点，则点，
则，
，，
当时，取得最大值，最大值为，
故当时，最大，
此时，
即面积的最大值为． 【解析】用待定系数法求解即可；
先判断只有当时，∽，利用相似三角形的性质得，设点的纵坐标为，则，，表示出点的坐标，代入函数解析式求解即可；
证明∽，可得，即当取得最大值时，最大，求出直线的表达式，设点，则点，表示出的长度，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了待定系数法球二次函数的解析式、一次函数解析式，相似三角形的判定与 性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，以及二次函数与几何图形结合的能力，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．