广东省汕头市金山中学2023届高三数学下学期第一次模拟考试试卷（Word版附答案）

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汕头市金山中学2023届高三年级校模（一）

数学科试题

                                                         2023年3月

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答题卡上的相应位置填涂考生号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷 选择题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．         B．         C．          D．

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

3．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模长为（    ）

A．         B．           C．         D．  

4．如图，在高为的直三棱柱容器中，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为如图，则（    ）

A．        B．        C．       D．

5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若的所有项都是，且，，则（    ）

A．8               B．10             C．12             D．14    

6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级名女生和名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．

A．20              B．4              C．60             D．80

7．已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（    ）

A．                                     B．的最小正周期为

C．有4个零点               D．

8．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的中垂线交轴于点.若，则双曲线的离心率取值范围是（    ）

A．           B．           C．          D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

根据上表，可得关于的经验回归方程为，则（    ）

A．                          B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7

C．与的线性相关系数         D．七月的借阅量一定不少于6.12万册

10．已知，下列选项正确的是（    ）

A. 的值域为

B. 的对称中心为

C. 的单调递增区间为

D. 图像向右平移个单位与的图像重合

11．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论正确的是（    ）

A. 不存在点满足平面

B. 存在无数个点满足

C. 当点满足时，平面截正方体所得截面的面积为

D. 满足的点的轨迹长度是

12．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．二项式的二项式系数之和为，则展开式中的的系数是_________．（填数字）

14．已知为锐角，则_________．

15．已知点是椭圆上一点，椭圆在点处的切线与圆交于，两点，当三角形的面积取最大值时，切线的斜率等于_________．

16．已知四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列的前项和为，，且.

（1）求的通项公式；    （2）已知，求数列的前项和.

18．在锐角中，角所对应的边分别为，已知．

（1）求角的值；          （2）若，求的取值范围．

19．安全教育越来越受到社会的关注和重视.为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目“地震逃生知识问答”和项目“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜局即获胜，比赛结束），假设在项目中甲班每一局获胜的概率为，在项目中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

（1）求乙班在项目中获胜的概率；

（2）设乙班获胜的项目个数为，求的分布列及数学期望．

20．如图，在三棱台中，，，.

（1）证明：；

（2）若棱台的体积为，,求二面角的余弦值．

21．在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交曲线于、两点，若为定值，则实数应满足什么关系？

22．已知函数，，其中且．

（1）证明：当时，恒成立；

（2）证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线.

汕头市金山中学2023届高三年级校模（一）数学答案

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7．【答案】D

8.【答案】A

9．【答案】ABC

对于A，因为，，

所以，得，所以A正确，

对于B，因为，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确，

对于C，因为，所以y与x的线性相关系数，所以C正确，

对于D，由选项A可知线性回归方程为，当时，，所以七月的借阅量约为6.12百册，所以D错误，

10.【答案】ABD

解析：

，

因为，所以，故A正确.

因为的对称中心与函数的对称中心相同，故可求得的对称中心为，故B正确.

若递增，则，，

所以的单调递增区间为，故C错误.

D选项，，图像向右平移个单位，得到函数，与解析式相同，图像重合.

故A、B、D正确，C错误.

11.【答案】BCD

解：对于选项A：因为四边形ABCD是正方形，所以，

又平面ABCD，所以，因为，所以平面，所以，

同理可证，又因为，所以平面，

又点M是面 上的一个动点包含边界，所以当M与重合时， 平面，故A错误；

对于选项B：在正方体中，侧面，侧面，则，

又因为，平面，平面，

所以平面，可知当M在线段上时，有，故存在无数个点满足，

故B正确；

对于选项C，截面为菱形，易得面积为.

对于选项D：以D点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为1，所以设，

所以，因为，

所以，

化简得：，

所以点M的轨迹是一段圆弧，经计算D正确.故选.

12.【答案】ACD

【详解】因为，则，

所以的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则在上单调递减，不妨设点是上的一点，则，即，

故，则，所以也是上的点，故的图像关于直线对称，

联立，解得，又与互为反函数，

所以与的图像也关于直线对称，因为分别是方程和的根，

所以画出函数，与的图像，如图，

.

对于A，当且趋近于时，由的性质可知趋于无穷大，，则；

当时，，，

因为，所以，则，即，

所以，则，即，则；

由图像可知，与的图像的交点的横坐标落在区间中，

因为是方程的根，即为与的图像的交点的横坐标，

所以，故，故A正确；

对于B，因为分别是方程和的根，

所以与的图像的交点为，与的图像的交点为，

又的图像关于直线对称，

所以与关于直线对称，则或，

所以，故，故B错误；

对于C，当时，，，则；

当时，，，由选项A知，则；

所以与的图像的交点的横坐标落在区间中，即，

又，所以，故C正确；

对于D，因为是方程的根，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，而由选项C可知，即等号不成立，所以，故D正确.故选：ACD.

13.【答案】

因为二项式的二项式系数之和为64，所以，，

所以展开式的通项为，令，则，

所以展开式中的的系数是.故答案为：.

14.【答案】

解析：因为为锐角，且 所以，

15.【答案】

【解析】设，则，当且仅当时取等号.

当时，是等腰三角形，此时点O到切线的距离等于.

解法一：设切线的方程为，则有,整理得：①

联立得：

由相切得，整理得：②

联立①②解得.

解法二：设点的坐标为，切线的方程为，则有①

又②，联立①②解得，所以切线的斜率.

16.【答案】

解：中，，

故，

则折成的三棱锥中，，，

即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c

则，

此长方体的外接球是三棱锥的外接球，球直径，

又因为三棱锥是长方体切掉四个角，

故三棱锥

三棱锥四个侧面是全等的，

，

设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，

故则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为

17.解：（1），，

两式相减，得 即……………………2分

又 时， 满足上式 ，   …………………………3分

是首项为3，公比为3的等比数列，

                                          ………………………………4分

(2)依题意，得………………………5分

当时，

                                               ………………………………7分

当时，

                                                 ………………………………9分

综上，  .           ……………………………10分

18.解：（1）由正弦定理得：，即，………………2分

由余弦定理得：， ……………………………4分

……………………………5分

（2）锐角中，，，由正弦定理得：，…………………6分

……………………………7分

……………9分

是锐角三角形

解得， ……………………………10分

则 ……………………………11分

的范围是 ……………………………12分

19．解（1）记“乙班在项目A中获胜”为事件A，

由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为…………1分

则，…………………………4分

所以乙班在项目A中获胜的概率为………………………………………………………5分

（2）记“乙班在项目B中获胜”为事件B，

则，………………………………………………6分

X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知

则，…………………………………7分

，……………………………………8分

．……………………………………………………9分

所以X的分布列为

………………………………10分

．

所以乙班获胜的项目个数的数学期望为…………………………………………………12分

20.解(1)证明：在平面中过点C作AC的垂线CD,在平面中过点C作AC的垂线CE,

,,且AC为两平面的交线，故面.

故AC,CE,CD三条两两垂直，……………………………1分

建立以点C为坐标原点，直线CA，CE,CD分别为x，y,z轴的空间直角坐标系，如图所示，则

，…………………4分

,.  ……………………………5分                          

（2）设

，即,…………6分

所以……………………………7分

在（1）问建系基础上,

,

设面

由……………………………9分

，

设面

由……………………………10分

设二面角

所以，

所以二面角的余弦值为.……………………………12分

21.解（1）设，由题意，得，………………………2分

两边平方并整理，得.

故曲线C的方程为.………………………4分

（2）设，，，，

设直线的方程为，与椭圆的方程联立，

得，………………………5分

∴，，∴，…………………7分

直线的方程与曲线的方程联立，得，

∴，，∴，………………………9分

………………………10分

要使为定值，则即

故当为定值时，实数应满足………………………12分

22.证明：（1）当时，原式化为，即.…………………1分

先证，令，，则.

当时，；当时，，

，，，同理.…………………3分

，，，故原式得证.…………………4分

（2）设直线分别与、相切于点、，

，，…………………5分

的切线为，即.

的切线为，即.…………………6分

又因为为两函数的公切线，，…………………7分

消去得，

令，得，

令，…………………8分

要证两函数有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点.

，恒成立，

在上单调递增，…………………9分

，，

在上有唯一零点，且，

当时，；当时，，…………………10分

，，…………………11分

又时，，时，，

在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证.…………12分