广东省江门市2023届高三数学下学期3月高考模拟考试（一模）（Word版附答案）

 试卷类型：A

江门市2023年高考模拟考试

数  学

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

5.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ）

A.0 B.1 C.－1 D.

2.已知i为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.命题“，”的否定为（    ）

A.， B.，

C.， D.，

4.已知多项式，则（    ）

A.－960 B.960 C.－480 D.480

5.设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（    ）

A. B. C. D.

6.衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）

A. B. C. D.

7.已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ）

A.9 B.10 C.17 D.18

8.我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.的值域为 B.的图像关于点中心对称

C.的最小正周期为 D.的增区间为（）

10.已知曲线C：（），则下列说法正确的是（    ）

A.若曲线C表示两条平行线，则

B.若曲线C表示双曲线，则

C.若，则曲线C表示椭圆

D.若，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆

11.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.的图像是轴对称图形 B.的极大值为0

C.的所有极值点之和为 D.的极小值之积为

12.勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）

A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

B.勒洛四面体被平面截得的截面面积是

C.勒洛四面体表面上交线的长度为

D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知，，则的值为___________.

14.椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.

15.已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.

16.已知，，是方程（）的两根，且，则的最大值是________.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知数列（）满足，，且.

（1）求数列是通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18.（本小题12分）

在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，依次组成等差数列.

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围.

19.（本小题12分）

某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.

（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）

（2）根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？

参考公式及数据：，，

，

，.

20.（本小题12分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，O是的中点，点E在上，且平面.

（1）求的值；

（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本小题12分）

已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.

22.（本小题12分）

已知函数，其中.

（1）若的图像在处的切线过点，求a的值；

（2）证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；

（3）当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.

江门市2023届普通高中高三高考模拟测试评分标准

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解：（1）∵，∴.  …………1分

又，∴  …………2分

∴  …………3分

又，

∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列.…………4分

∴  …………5分

（2）  …………6分

方法一：，

，…………7分

  …………8分

  …………9分

.  …………10分

方法二：令.

比较系数得：，  …………7分

  …………8分

  ………9分

  …………10分

18.解：（1）由条件得：  …………1分

  …………2分

  …………3分

所以，

由正弦定理得：，所以.…………4分

（2）由及知：为锐角三角形当且仅当  …………6分

即，解得：，

又，所以.  …………8分

又  …………9分

令，则

  …………10分

所以在上递增，又，  …………11分

所以的取值范围是.  …………12分

19.解：（1），  ………1分

  ………2分

  ………3分

  ………4分

方案①回归方程  ………5分

对两边取对数得：，令，是一元线性回归方程.  ………6分

  ………7分

  ………8分

方案②回归方程  ………9分

（由于结果保留一位小数，所以中间量需要保留两位小数，如果b，，d都只保留一位小数计算a，c的值，统一扣1分。）

（2）方案①相关指数  

方案②相关指数  

（有此结论即给分）………10分

故模型②的拟合效果更好，精度更高.…………11分

当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量（千件）………12分

20..解：（1）连接与交于点F，

因为底面是菱形，O是的中点，

所以，且，所以.  ………2分

因为平面，平面，

平面平面，所以  ………4分

所以.  ………5分

（2）因为底面是菱形，O是的中点，，所以.

因为平面，平面，平面，

所以，，建立如图所示的空间直角坐标系.  ………6分

则，，，.

设，，则，

所以.………7分

因为，所以，解得.  ………8分

所以，，.

设为平面的法向量，则，，得  ………9分

取，所以为平面的一个法向量.………10分

因为  ………11分

所以直线与平面所成角的正弦值是.  ………12分

21.解：（1）设动点

由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.

，  …………1分

动点在右侧，代入有，同理有  …………2分

，即  …………3分

所以所求轨迹C方程为（） …………4分

注：能表示双曲线右支的x取值范围均给1分，如，等

（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，

，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，

斜率或，或，得或.  …………5分

.  …………6分

，解得或（舍去）.…………7分

时，直线的方程为

联立，消y得：，或，得.……8分

直线的方程为

联立，消y得：，

或，得  …………9分

  …………10分

点Q到直线的距离  …………11分

  …………12分

方法二：  …………10分

  …………11分

，，

  …………12分

22.解：（1）由条件得：  ∴

又  ∴在处的切线为：…………1分

∴  ∴.…………2分

（2）证明：

令，，则  …………3分

令，

∴在递减  …………4分

∴，∴在递减

∴，即，  …………5分

（3）的定义域为：，

时，令得：， …………6分

时，；时，；时，

∴在，上单调递增，在递减  …………7分

∴至多有三个零点.

又，在递减

∴，又由（2）知，所以，结合零点存在定理知：

使得  …………9分

又∴，  …………10分

∴，又，  …………11分

∴恰有三个零点：，1，

∴时，的所有零点之积为（定值）.…………12分