2023届安徽省合肥一中江淮十校2023届高三下学期5月联考（三模）数学试题含答案

江淮十校2023届高三下学期5月联考

数学试题

2023．5

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知集合，集合，则集合的元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（    ）

A．  B．

C．  D．

4．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是．一年后“进步”的是“退步”的倍，如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的一万倍．（，）

A．20 B．21 C．22 D．23

5．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（    ）组不同的解

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．下列命题正确的有（    ）

A．空间中两两相交的三条直线一定共面

B．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线

C．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行

D．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或

10．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（    ）

A．星期一 B．星期三 C．星期五 D．星期六

11．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（    ）

A．小华能力等级评定为的概率为 B．小华能力等级评定为的概率为

C．小华只做了4道题目的概率为 D．小华做完5道题目的概率为

12．已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A．，函数是奇函数

B．，使得过原点至少可以作的一条切线

C．，方程一定有实根

D．，使得方程有实根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数满足，其中为虚数单位，则的最大值为________．

14．是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．

15．函数的值域为________．

16．若函数与函数的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2）点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．

18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；

（2）求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

附：样本相关系数，，，

19．已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．设数列的前项和为，且，．

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，证明：．

21．已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的标准方程；

（2）过的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．

22．对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．

（参考数据：，，，，）

江淮十校2023届高三联考

数学试题参考答案与评分细则

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．

1-4：BADD 5-8：ACDB

5．A  解析：设圆的半径为，则，，且，．

6．C  解析：，将函数图像向左平行移动个单位后的函数记为，则，而函数的图像关于轴对称有，，，，，实数的最小值为．

7．D  解析：由第6项的二项式系数最大知的可能取值为9，10，11，又由题得：，当，11时，；当时，或，故有序实数对共有4组不同的解．

8．B  解析：设，，则，将坐标代入椭圆方程有，又四边形的面积为，即，又根据和的斜率乘积为知，所以，．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．BC 10．BD 11．ABC 12．AD

11．ABC  解析：，．

，，．

12．AD  解析：对A：定义域对称，且，显然成立；

对B：设直线，联立方程：，显然不成立

对C：若，，则，

即，由的有界性，显然不一定有解

对D：，，显然存在，，使方程有解．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14．1012 15． 16．

15．

解析：令，，则的值域转化为的值域，

由于，得的值域为

16．

解析：函数与函数的图像三个不同交点的横坐标等价于考查函数有三个不同的零点，则，故必有方程有两个不同的实数根，则，，

另一方面，由三个不同交点的横坐标构成等差数列可知：令得，则由三次函数的对称性知当且仅当时符合题意，化简整理即有，故，且

所以实数的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．解：（1）由，结合正弦定理可得：

（舍）或，

所以 5分

（2）由知且 6分

所以中，有，，

由正弦定理可得： 8分

所以 10分

18．解：（1）由图，两个变量线性相关．

由已知条件可得：，，所以， 2分

，，

所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性．  6分

（2）结合（1）可知，， 9分

所以回归方程是：， 10分

当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户． 12分

19．证明：（1）连接，作于．

因为是菱形，所以，

又因为，所以面，所以，

又平面平面，平面平面，所以面

所以面，而为菱形，所以四边形是正方形．  5分

（2）解：时，为的中点，如图建立空间直角坐标系

则，，，，，

，，

设平面的一个法向量，则，令，

解得 7分

设平面的一个法向量，则，令，解得， 9分

则 11分

又因为为锐二面角，所以的余弦值为． 12分

20．解：（1）设数列的前项和为，且，，

相减得：，所以，又， 2分

所以是以首项为6，公比为3的等比数列，即，所以 5分

（2），即证： 7分

方法一：令．则， 9分

因为，所以 11分

所以单调递增，即，即：． 12分

方法二：放缩法： 8分

所以：，，，  10分

相乘得：

即： 12分

方法三：数学归纳法：步骤略

21．解：（1）曲线的方程为： 4分

（2）设，坐标分别为，，，，

因为 6分

令直线：，，：，，与圆联立得：，

同理：，所以 8分

令：，与联立得：，所以：，

所以，代入得： 10分

又因为，所以，当且仅当，时取等

所以与面积之比的最大值 12分

22．解：（1）在定义域内有的零点，所以

令，令

则，，

所以在递减，递增，，即在递增，递增 3分

由洛必达法则得：，， 4分

所以： 5分

（2）由题可知：，可得：，即

因为，取，易得：，所以取2

下证：对任意成立

易证：对恒成立，当时，

易证：，所以，成立 8分

当时，只需证：成立

方法一：令，，只需证

，，显然递增

，，所以存在，使

且在递减，在递增，

整理得 10分

因为函数在递减，

所以

所以在恒成立，即在递增

显然，所以成立 12分

方法二：令，，只需证

，令，则 9分

显然递增，且，

所以存在，使，且在递减，在递增， 10分

整理得 11分

显然在递减，所以

所以，即对恒成立，所以，成立 12分

方法三：因为对任意恒成立， 9分

令，

所以在递增，所以，即 11分

所以成立，即． 12分