2023届陕西省榆林市高三下学期第三次模拟检测文科数学试题含答案
展开榆林市2022~2023年度高三第三次模拟检测
数学试题（文科）
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若由一个列联表中的数据计算得，则（ ）
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A．能有的把握认为这两个变量有关系 B．能有的把握认为这两个变量没有关系
C．能有的把握认为这两个变量有关系 D．能有的把握认为这两个变量没有关系
5．已知两个非零向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．定义在上的函数，的导函数都存在，，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．若椭圆的焦距大于，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，一只小蚊子（可视为一个质点）在透明且密封的正四棱锥容器内部随意飞动，，，若某个时刻突然查看这只小蚊子，则它到四边形ABCD的中心的距离小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）
A．7750里 B．7752里 C．7754里 D．7756里
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若奇函数，则________．
14．若，则的最小值为________．
15．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则线段MN的最大值为________．
16．已知函数与的图象在区间上的交点个数为m，直线与的图象在区间上的交点的个数为n，则________．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．
（1）证明：平面平面PCD．
（2）若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．
18．（12分）某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 | |||||
需求量/箱 | 400 | 450 | 500 | 550 | 600 |
|
|
| |||
到会人数/人 | |||||
天数 | 5 | 6 | 8 | 7 | 4 |
以到会人数位于各区间的频率代替到会人数位于各区间的概率．
（1）在商业峰会期间，求该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
（2）设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并求Y不超过15000元的概率．
19．（12分）已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，且．
（1）求A；
（2）求的取值范围．
20．（12分）已知是函数的一个极值点．
（1）证明：．
（2）讨论的单调性．
（3）若，的极大值为M，且对恒成立，求m的取值范围．
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，A是C上的动点，点不在C上，且的最小值为2．
（1）求C的方程；
（2）若直线AP与C交于另一点B，与直线l交于点Q，设，，且，求直线l的方程
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）证明：存在，使得恒成立．
（2）当时，，求a的取值范围．
榆林市2022~2023年度高三第三次模拟检测数学试题
参考答案（文科）
1．D
2．A
3．B
4．A
5．C
6．B
7．D
8．B
9．B
10．B
11．D
12．A
13．6
14．7
15．
16．7
17．（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得． 1分
因为底面ABCD，平面ABCD，所以． 3分
因为，所以平面PAD． 4分
因为平面PCD，所以平面平面PCD． 5分
（2）解：因为，，所以， 6分
因为四边形ABCE的面积． 8分
所以． 12分
18．解：（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为， 2分
所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为． 4分
（2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
若到会人数位于区间内，则元， 6分
若到会人数位于区间内，则元，8分
若到会人数位于区间内，则元，10分
若到会人数超过11000，则元，
即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000． 11分
Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000，
到会人数不超过10000的频率为，所以Y不超过15000元的概率为． 12分19．解：（1）， 1分
因为，所以由正弦定理得， 4分
得，代入得， 4分
又因为，所以． 5分
（2） 6分
7分
8分
， 9分
因为，， 10分
所以， 11分
故的取值范围是． 12分
20．（1）证明：， 1分
依题意可得，，则． 2分
（2）解：由（1）知，
当，即时，，；，；，．3分
所以在，上单调递增，在上单调递减． 4分
当，即时，，所以在上单调递增． 5分
当，即时，，；，；，．6分
所以在，上单调递增，在上单调递减． 7分
（3）解：因为，所以由（2）知，当时，取得极大值，则， 8分
因为，所以，又，所以． 9分
令，则，所以为减函数， 10分
所以， 11分
故，即m的取值范围为． 12分
21．解：（1）当P在C的内部时，因为等于点A到准线的距离，
所以的最小值为P到准线的距离， 1分
所以，可得． 2分
当P在C的外部时，， 3分
解得，则C的方程为，此时P在C的内部，所以． 4分
故C的方程为． 5分
（2）依题意可知，直线AP的斜率不为0，则可设，
代入，得． 6分
设，，则，． 7分
设，由，得；由，得． 8分
所以，即， 9分
即，所以，即． 10分
因为点Q在直线AP上，所以．
消去m得， 11分
即，故直线l的方程为． 12分
22．解：（1）由，得， 1分
则，则， 2分
所以曲线M的极坐标方程为． 3分
由，得，即，
此即曲线N的极坐标方程． 5分
（2）将代入，得． 6分
将代入，得， 7分
则， 8分
因为，所以，又，所以． 10分
【注】曲线N的极坐标方程写为也可以，不扣分．
23．（1）证明：因为， 2分
所以， 3分
由，得或， 4分
则当时，恒成立，所以存在，使得恒成立． 5分
（2）解：当时，，
由，得， 6分
则，即， 7分
因为当时，，所以， 8分
解得， 9分
又，所以a的取值范围是． 10分
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