高中物理新教材同步选修第一册课件+讲义 第3章 专题强化6　波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题

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波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题

[学习目标]　1.进一步理解波的图像问题.2.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会区别并分析两类图像.3.理解波的多解性，会分析波的综合问题．

一、波的图像与振动图像的综合问题

1．波的图像与振动图像的主要区别

(1)振动图像描述的是一个振动质点的振动位移y随时间t的变化关系，图像随时间向前延伸．

(2)波的图像描述的是许多质点在某一时刻振动的位移y，横坐标表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x，相邻两个步调总一致的质点的平衡位置之间的距离表示其波长λ，图像随时间向前平移．

2．求解波的图像与振动图像综合问题的三个关键

(1)分清振动图像与波的图像，横坐标为x的是波的图像，横坐标为t的是振动图像．

(2)看清横、纵坐标的单位．尤其要注意单位前的数量级．

(3)找准波的图像对应的时刻，找准振动图像对应的质点．

例1　(多选)图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是(　　)

A．该横波向右传播，波速为0.4 m/s

B．t＝2 s时，质点Q的振动方向为y轴负方向

C．在2～4 s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0 m

D．在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为10 cm

答案　 AD

解析　由题图乙知，在t＝2 s时，质点P正通过平衡位置向下振动，根据“同侧法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝1.6 m，由题图乙可知周期T＝4 s，则波速为v＝＝m/s＝0.4 m/s，A正确；质点Q与质点P相距半个波长，故振动方向相反，则t＝2 s时，质点Q沿y轴正方向运动，B错误；质点不会随波迁移，只在平衡位置附近振动，C错误；由题图甲可知振幅A＝5 cm，在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10 cm，D正确．

分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：

(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速．

(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向．

注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应．

二、Δt后波形图的画法

1．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx.如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整．

2．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′.由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图．特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为T的整数倍才易确定特殊点的位置来画波形．特殊点法画波形图较为简单易行．

例2　如图甲为某波在t＝1.0 s时的图像，图乙为参与该波动的P质点的振动图像．

(1)求该波的波速；

(2)画出Δt＝3.5 s时的波形．

答案　(1)4 m/s　(2)见解析图

解析　(1)由题图甲得波长λ＝4 m，由题图乙得周期T＝1.0 s，所以波速v＝＝4 m/s.

(2)法一：平移法

由题图乙可知1.0 s时质点P向y轴负方向振动，所以题图甲中的波沿x轴负方向传播，传播距离Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝(3＋)λ，所以只需将波形沿x轴负方向平移λ＝2 m即可，如图(a)所示

法二：特殊点法

如图(b)所示，在图中取两特殊质点a、b，因Δt＝3.5 s＝3T，舍弃3，取，找出a、b两质点振动后的位置a′、b′，过a′、b′画出正弦曲线即可．

三、波的多解问题

1．波的传播方向的双向性形成多解

只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性．

2．波的周期性形成多解

(1)时间周期性：t时刻与t＋nT(n＝1,2…)时刻的波形完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的．

(2)空间周期性：平衡位置相距nλ的两点振动步调相同，平移λ的整数倍，波形“相同”．

例3　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s.

(1)这列波的周期可能是多大？

(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？

(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？

(4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？

答案　见解析

解析　(1)(2)由题图可知波长λ＝8 m，

当波向右传播时Δt＝nT1＋

T1＝ s(n＝0,1,2，…)

v右＝＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)

当波向左传播时Δt＝nT2＋T2

T2＝ s(n＝0,1,2，…)

v左＝＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)．

(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T

则Δt＝3T，

T＝ s，v1＝＝60 m/s

(4)Δt内波传播的距离为：x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ，故波向右传播．

解决波的多解问题的一般思路

1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论．

2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)．

3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．

例4　(2022·成都树德中学月考)一列横波在x轴上传播，介质中a、b两质点的平衡位置分别位于x轴上xa＝0、xb＝6 m处，t＝0时，a质点恰好经过平衡位置向上运动，b质点正好到达最高点，且b质点到x轴的距离为4 cm，已知这列波的频率为5 Hz.

(1)求经过Δt＝0.25 s时a质点的位移大小以及这段时间内a质点经过的路程；

(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长，小于两个波长，求该波的波速．

答案　(1)4 cm　20 cm　(2) m/s或24 m/s

解析　(1)由题意可知T＝＝0.2 s，

故经过Δt＝(1＋)T，a质点恰好到达最高点

所以a质点的位移大小为4 cm

a质点经过的路程为5A＝20 cm

(2)若波沿x轴正方向传播，则有(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2…)

由于a、b在x轴上的距离大于一个波长，小于两个波长，故n＝1

对应的波长λ＝ m

得v＝λf＝ m/s

若波沿x轴负方向传播，则有(n＋)λ＝6 m(n＝0,1,2…)

同理，由限制条件可得n＝1，v＝λf＝24 m/s.

1．一列简谐横波沿x轴传播，波速为2.0 m/s，该波在t＝0时刻的波形图如图甲所示，x＝0处质点的振动图像如图乙所示．下列说法正确的是(　　)

A．质点的振动周期为4.0 s

B．这列波的振幅为60 cm

C．该波沿x轴正方向传播

D．t＝0时刻，x＝4 m处的质点沿y轴负方向振动

答案　A

解析　由题图甲可知，波长λ＝8 m，T＝＝ s＝4.0 s，故A正确；由题图甲知，这列波的振幅为30 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝0处质点向下振动，可知该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据波沿x轴负方向传播可判断，t＝0时刻，x＝4 m处质点沿y轴正方向振动，故D错误．

2．(多选)如图所示，图(a)为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图(b)为质点Q的振动图像，则下列说法正确的是(　　)

A．该波的周期是0.1 s

B．该波的传播速度为40 m/s

C．该波沿x轴正方向传播

D．t＝0.4 s时，质点P的速度方向向下

答案　BD

解析　由题图(a)得到该波的波长为λ＝8 m，由题图(b)得到该波的周期为T＝0.2 s，所以波速为v＝＝ m/s＝40 m/s，故A错误，B正确；t＝0.1 s时，Q点处在平衡位置，且向下振动，根据同侧法可知该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据振动规律可知，t＝0.4 s时，质点P的速度方向向下，故D正确．

3．(多选)如图为一列沿x轴正方向传播的简谐横波的部分波形图．若该波波速v＝40 m/s，在t＝0时刻波刚好传播到x＝13 m处，下列关于波在t＝0.45 s时的运动情况分析，正确的是(　　)

A．该波平衡位置为x＝9 m处的质点的位移为－5 cm

B．该波平衡位置为x＝11 m处的质点的位移为5 cm

C．该波平衡位置为x＝11 m处的质点速度方向沿y轴负方向

D．该波刚好传播到x＝31 m处

答案　 ACD

解析　由题图可知，波长为λ＝8 m，波速为v＝40 m/s，则T＝＝ s＝0.2 s，因在t＝0时刻波刚好传播到x＝13 m处，则在t＝0.45 s时，波向前传播了2个波形，所以平衡位置为x＝9 m处的质点此时处于波谷，则质点的位移为－5 cm，平衡位置为x＝11 m处的质点处于平衡位置且沿y轴负方向运动，则位移为0，因在t＝0.45 s时，波向前传播了2个波形，所以波向前传播的距离为Δx＝λ＝18 m，因此该波刚好传播到x＝31 m处，故A、C、D正确，B错误．

4．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻波形图如图所示，此时波刚好传到P点，t＝0.3 s时质点P第一次到达负的最大位移处，则(　　)

A．此波波源的起振方向沿y轴负方向

B．该简谐横波的波速为10 m/s

C．0～0.5 s时间内，质点M通过的路程为12 cm

D．0～0.2 s时间内，质点Q沿x轴正方向移动2 m

答案　 BC

解析　简谐横波沿x轴正方向传播，由“同侧法”知，质点P开始振动时的运动方向沿y轴正方向，所以此波波源的起振方向沿y轴正方向，故选项A错误；在t＝0.3 s时刻，质点P第一次运动到负的最大位移处，有＝0.3 s，可得T＝0.4 s，由题图知波长λ＝4 m，所以波速为v＝＝10 m/s，故选项B正确；从P传播到M需要的时间为t＝＝0.2 s,0～0.5 s时间内，质点M通过的路程为s＝×4A＝×4A＝12 cm，故选项C正确；简谐横波沿x轴正方向传播，质点Q并不随波迁移，故选项D错误．

5．(2022·厦门外国语学校高二月考)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图如图所示，质点P的平衡位置为x＝3 m．已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4 s，下列说法正确的是(　　)

A．波速为4 m/s

B．波的频率为2.5 Hz

C．平衡位置为x＝15 m的质点在t＝0.2 s时恰好位于波谷

D．平衡位置为x＝22 m的质点在t＝0.2 s时恰好位于波峰

答案　 D

解析　任意振动质点连续两次通过平衡位置所用时间为半个周期，即T＝0.4 s，则T＝0.8 s，f＝＝1.25 Hz，选项B错误；由题图知该波的波长λ＝4 m，则波速v＝＝5 m/s，选项A错误；画出t＝0.2 s时的波形图如图所示，因15 m＝3λ＋λ，故平衡位置为x＝15 m的质点与平衡位置为x＝3 m处的质点振动情况一样，即恰好位于平衡位置，选项C错误；

因22 m＝5λ＋λ，故平衡位置为x＝22 m处的质点与平衡位置为x＝2 m处的质点振动情况一样，即在波峰位置，选项D正确．

6.(多选)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示，若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是(　　)

A．7 m/s   B．3 m/s

C．1 m/s   D．5 m/s

答案　 BC

解析　因T＞0.02 s，若波向右传播，则波传播的距离x1＝0.02 m，则波速v1＝＝ m/s＝1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x2＝0.06 m，则波速v2＝＝ m/s＝3 m/s，故B、C正确．

7.如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是(　　)

A．0.60 m   B．0.20 m

C．0.15 m   D．0.10 m

答案　D

解析　由题意可知，P位于波峰时，Q位于波谷，故两点平衡位置间距0.15 m＝＋nλ(n＝0,1,2…)，所以波长λ＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝0时，λ＝0.30 m；当n＝1时，λ＝0.10 m，故选项D正确．

8．(多选)(2021·阜阳市第三中学调研)一列简谐横波在t＝0.6 s时刻的图像如图甲所示，此时P、Q两质点的位移均为－1 cm，波上质点A的振动图像如图乙所示，则以下说法正确的是(　　)

A．这列波沿x轴负方向传播

B．这列波的波速是50 m/s

C．从t＝0.6 s开始，紧接着的Δt＝0.9 s时间内，质点A通过的路程是6 cm

D．从t＝0.6 s开始，质点P比质点Q早0.4 s回到平衡位置

答案　CD

解析　由题图乙读出t＝0.6 s时刻质点A的速度方向沿y轴负方向，由题图甲判断出该波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲读出该波的波长为λ＝20 m，由题图乙可知周期为T＝1.2 s，则波速为v＝＝ m/s，故B错误；因为Δt＝0.9 s＝T，t＝0.6 s时质点A位于平衡位置，经过Δt＝0.9 s，质点A通过的路程是s＝3A＝6 cm，故C正确；题图甲所示时刻质点P沿y轴正方向运动，质点Q沿y轴负方向运动，此时P、Q两质点的位移均为－1 cm，故质点P经过回到平衡位置，质点Q经过＋回到平衡位置，故质点P比质点Q早＋－＝＝0.4 s回到平衡位置，故D正确．

9.(2022·三明二中月考)如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波，实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.2 s时的波形图．则(　　)

A．N、Q两质点的振动情况总是相同的

B．这列波的波速可能为v＝24 m/s

C．从t1时刻起再经0.5 s质点M可能到达Q点

D．从t2时刻起再经过Δt＝0.7 s质点M可能处于波峰位置

答案　D

解析　N、Q两质点平衡位置间的距离为，两质点振动情况总是相反，故A错误；由题意，波长为λ＝4 m，根据波沿x轴正方向传播可得s＝(nλ＋1) m＝(4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)，则波速v＝＝(20n＋5) m/s(n＝0,1,2,3，…)，则波速不可能为24 m/s，故B错误；振动的各质点只是在平衡位置上下振动，不随波的传播而移动，故C错误；从t2时刻起，质点M处于波峰时波向x轴正方向传播的距离为s′＝n′λ＋3.5 m＝(n′＋)λ(n′＝0,1,2,3，…)，有t2＝(n＋)T，解得T＝＝ s(n＝0,1,2,3，…)，则有Δt＝＝ s，故当n＝0、n′＝0时Δt＝0.7 s，故D正确．

10.如图所示，实线是一列简谐横波在某时刻的波形图，经过Δt＝0.2 s后这列波的图像如图中虚线所示．求：

(1)这列波的波长及振幅；

(2)若这列波沿x轴负方向传播，该波的波速的最小值；

(3)若波速等于45 m/s，则波沿哪个方向传播．

答案　(1)4 m　2 cm　(2)15 m/s　(3)沿x轴正方向

解析　(1)由题图可知，λ＝4 m，A＝2 cm.

(2)若这列波沿x轴负方向传播，

Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…)

则T＝(n＝0,1,2，…)

v＝＝(20n＋15) m/s(n＝0,1,2，…)

n＝0时对应波速最小，vmin＝15 m/s

(3)若波速等于45 m/s，对应的传播距离s＝vΔt＝9 m

满足s＝(2＋)λ

则波沿x轴正方向传播．

11．一列简谐横波沿x轴传播，M、N是x轴上的两质点，如图甲是质点N的振动图像，图乙中实线是t＝3.0 s时的波形图，质点M位于x＝8 m处，虚线

是经过Δt时间后的波形图(其中Δt＞0)，图中两波峰间的距离Δx＝7.0 m，求：

(1)波速大小和方向；

(2)时间Δt；

(3)从实线时刻算起，质点M第11次到达y＝2.5 cm所需时间．

答案　见解析

解析　(1)由题图甲可知周期T＝6.0 s，且质点N在t＝3.0 s时刻向下运动，由题图乙可知波沿x轴负方向传播，且λ＝8 m，故波速大小v＝＝ m/s，方向沿x轴负方向．

(2)由波沿x轴负方向传播，可知Δt时间内波传播的距离为x＝(n＋)λ(n＝0,1,2，…)，所以时间Δt＝nT＋T＝(6n＋) s(n＝0,1,2，…)．

(3)从实线时刻算起，质点M的振动方程为

y＝Asin t＝5sin t(cm)．

当质点M第1次到达y＝2.5 cm时，解得t1＝0.5 s，则质点M第11次到达y＝2.5 cm时，t＝t1＋5T，解得t＝30.5 s.