2023年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷(含解析)

2023年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点、分别落在直线、上若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 一个不透明的口袋中有个白球和个红球每个球除颜色外都相同，则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B. 一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次就必有次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式

6.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
；；；；，
你认为其中正确信息的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

8.  分解因式： ______ ．

9.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

10.  请填写一个常数，使得关于的方程          有两个不相等的实数根．

11.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是        ．

12.  小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了米，到达距离地面米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______．

13.  如图放置的，，，都是边长为的等边三角形，边在轴上点，，，都在直线上，则点的坐标是        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

14.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共59.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
设方程的两个根分别为，，且，若，求的值．

16.  本小题分
某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度无人机在点处测得烈士塔顶部点的仰角为，烈士塔底部点的俯角为，无人机与烈士塔的水平距离为，求烈士塔的高度结果保留整数，参考数据：，，

17.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，▱的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．
求的值和点的坐标；
求▱的周长．
 

18.  本小题分
为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解决下列问题：
此次共调查了______ 名学生；
扇形统计图中类所对应的扇形圆心角的大小为______ 度；
请通过计算补全条形统计图；
该校共有名学生估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？

19.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．
求证：；
求证：；
若，，求半径的长．

20.  本小题分
实践与探究
操作一：如图，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点，连结，则与的数量关系为______．
操作二：如图，摆放矩形纸片与矩形纸片，使、、三点在一条直线上，在边上，连结，为的中点，连结、求证：．
拓展延伸：如图，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点在边上，连结，为的中点，连结、、已知正方形纸片的边长为，正方形纸片的边长为，则的面积为______．
 

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过点、点．
求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
若在第三象限的抛物线上有一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；
点，分别为线段，线段上的点，且，连接将线段绕点顺时针旋转度，点旋转后的对应点为点，连接当线段的长最小时，请直接写出直线的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，

，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求得，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一个不透明的口袋中有个白球和个红球每个球除颜色外都相同，则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次可能有次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
故选：．
根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
考查了概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义等知识，解题的关键是对每个选项进行正确的判断，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口方向向上，
，
与轴交点在轴的下方，
，
，
，
，
，
，
是正确的，
对称轴，
，
，
是错误的；
当，，
而点在第二象限，
是正确的；
当时，，
而点在第一象限，
．
故选：．
观察图象易得，，所以，，因此，由此可以判定是正确的，而是错误的；
当，，由点在第二象限可以判定是正确的；
当时，，由点在第一象限可以判定是正确的．
本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的取值范围．
【解答】
解：，．
，
．
故答案为：答案不唯一．  

11.【答案】 

【解析】解：因为袋中共有个球，红球有个，
摸出的球是红球的概率为．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

12.【答案】： 

【解析】解：由勾股定理得：小明移动的水平距离为：米，
则该自动扶梯的坡度：：，
故答案为：：．
根据勾股定理求出小明移动的水平距离，根据坡度的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅垂高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过向轴作垂线，垂足为，
由题意可得：，，，
，
的横坐标为：，则的横坐标为：，
连接，可知所有三角形顶点都在直线上，
点，，，都在上，，
直线的解析式为：，
，
，
同理可得出：的横坐标为：，
，
，
，

．
故答案为：．
根据题意得出直线的解析式为：，进而得出，，，坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，利用等边三角形和直角三角形的性质求得的坐标，进而求得的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：；．
此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记、、角的各种三角函数值．
此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：为正整数；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
 

15.【答案】证明：
．
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
解：的两个根分别为，，且，
，，
，
，
即，
，
解得：或． 

【解析】计算一元二次方程根的判别式，即可得证；
根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，为常数的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键．
 

16.【答案】解：在中，，
，
在中，，
解得，
．
烈士塔的高度约为． 

【解析】在中，，可得，在中，，求出，根据可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：点在上，
，
四边形是平行四边形，
，
点的纵坐标为，
点在上，
．
，，
，
，，
平行四边形的周长为． 

【解析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
利用待定系数法求出，再利用平行四边形的性质，推出，推出点的纵坐标为，即可解答．
求出点的坐标，求出，的长即可解决问题．
 

18.【答案】解：．

；

类的人数有：人，补全条形统计图如图所示：


人，
答：该校名学生中“很喜欢”的类的学生有人． 

【解析】解：此次共调查的学生数是：人．
故答案为：．

类所对应的扇形圆心角的大小为：．
故答案为：；

、见答案．
从两个统计图可知，“、、”频数之和为人，占调查人数的，可求出调查人数；
用乘以“”所占的百分比即可；
求出“”的频数即可补全条形统计图；
求出“类”所占的百分比，即可求出总体人中最喜欢“类”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
∽，
，
；
连接，在中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】根据垂径定理得到，求得，求得，于是得到结论；
根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
连接，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

20.【答案】  

【解析】操作一：解：由折叠可知，，
是的中点，，
是的中点，
，
，
，
故答案为：；
操作二：证明：延长与交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
是的中点，
，
≌，
，
，
，
；
拓展延伸：解：连接，
，
，
点在上，
，
在中，是的中点，
，
，
，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
的面积为，
故答案为：．
操作一：由折叠可知，，则可得，即可求得；
操作二：延长与交于点，通过证明≌，推导出；
拓展延伸：连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，推导出是等腰直角三角形，求出，即可求面积．
本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
将、代入，
，
解得，
，
，
顶点为；
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，
当的面积最大时，点到直线的距离最大，
此时；
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作轴，过点作轴，过点作轴的平行线交于点，交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
当时，有最小值，
此时，，
设直线的解析式为，
，
解得，
． 

【解析】求出、点坐标，将其代入，即可求解；
过点作轴交于点，求出直线的解析式，设，则，则，当的面积最大时，点到直线的距离最大，此时；
设，由题意可求，，过点作轴，过点作轴，过点作轴的平行线交于点，交于点，通过证明≌，求出，则，当时，有最小值，此时，，再由待定系数法求直线的解析式即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，线段旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．