2023年北京市东城区中考一模数学试卷及答案

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选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．下列四个几何体中，主视图为三角形的是
A B C D
2．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D）经费支出30 870亿元，比上年增长10.4%，与国内生产总值之比为2.55% .将数字30 870用科学记数法表示应为
A．3.087×104 B．30.87×103 C．0.308 7×105 D．3.087×105
3．下面四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是
AB C D
4．若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值可能是
A．– B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， QUOTE (x-2)2=k 则的值为
A．–6B．–3C．0D．2
6．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是
A．甲同学平均分高，成绩波动较小B．甲同学平均分高，成绩波动较大
C．乙同学平均分高，成绩波动较小D．乙同学平均分高，成绩波动较大
7．如图，∠AOB=40°，按下列步骤作图：①在OA边上取一点C，以点O为圆心、OC长为半径画，交OB于点D，连接CD；②以点C为圆心、CO长为半径画，交OB于点E，连接CE，则∠DCE的度数为
A．20°B．30°C．40°D．50°
8．如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是

A B C D
填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若分式的值为0，则实数x的值为 ．
10．分解因式： ．
11．如图，已知△ABC，用直尺测量△ABC 中BC边上的高约为 cm（结果保留一位小数）．
12．已知点，在一次函数的图象上，则 （填“＞”“=”或“＜”）．
13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则△ABC的外角
∠ACD的度数等于 °．
14．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，抛掷的结果都是正面朝上的概率是________．
15．如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC．已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m，则树AB的高度为 m．
16．一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……．
(1)当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为________；
(2)依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为________．
三、解答题（本题共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．解不等式组
19．已知，求代数式的值．
QUOTE x2-3x+1=0 QUOTE (x+4)(x-4)+(x-3)2
20．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
21．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（-1,3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
22．如图，在平行四边形ABCD中， BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2） 连接AC交BD于点O， QUOTE ∠ABC=80° 延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF=5，求∠ACD的度数及BD的长．
23．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制） QUOTE QUOTE ))，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如下
（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：

b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：
80 81 85 85 85 85 85 85 85 85 88 89
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m= ,n= ；
（2）下列推断合理的是 ；
= 1 \* GB3 ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
= 2 \* GB3 ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩.
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数.
24．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点D为的中点，⊙O的切线DE交BA的延长线于点E．连接AC，BC，CD．
（1）求证：∠E=∠BAC；
（2）若⊙O的半径长为5，，求CD和DE的长．


25．已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度为y(单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系(a<0)．

乒乓球的水平距离x与竖直高度为y的几组数据如下表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度为y与水平距离x近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否落在球桌上，并说明理由．
26．已知抛物线(a≠0) ．
（1）求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)；
（2）当a＞0时，抛物线上有两点（－1，s），（k，t），若s＞t时，直接写出k的取值范围；
（3）若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋3，y3)都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤－a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．
（1）求证：BA平分∠EBC；
（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将点P向左(a≥0)或向右（a<0）平移k|a|个单位长度，再向下（b≥0）或向上（b<0）平移k|b|个单位长度（k>0），得到点P'，再将点P关于直线MP’对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”.特别地，当M与P'重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
（1）已知点P(3，0），k＝2．
①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若OM=1，直线y＝x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
（2）半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接
写出k的取值范围．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
已知：如图，点D，E分别是的边AB，AC的中点.
求证： DE∥BC，且DE=BC.
方法一
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法二
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接FC，DC，AF．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10