资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
专题01 数与式-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用）
展开
这是一份专题01 数与式-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用），文件包含专题01数与式-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用解析版docx、专题01数与式-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
专题01 数与式
5年中考真题
一、单选题
1．【2019年】规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+
【答案】B
【解析】
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
【详解】
解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查相反意义的量，注意，通常我们定义“增加”、“向右”为正，但是也可以定义“增加”、“向右”为负．
2．【2022年】与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，分别求出各选项的值，作出选择即可．
【详解】
A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键．
3．【2021年】能与相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】
解：方法一：；
方法二：的相反数为；
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
4．【2021年】如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断．
【详解】
解：根据题意可求出：
A，，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，，故选项正确，符合题意；
D，，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断．
5．【2021年】不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
6．【2018年】图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．
【详解】①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；
②|﹣3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；
③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；
④20=1，原题正确，该同学判断正确；
⑤2m2÷（﹣m）=﹣2m，原题正确，该同学判断正确，
故选B．
【点睛】本题考查了倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．
7．【2022年】某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先算出面积，然后利用科学记数法表示出来即可．
【详解】
解：面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．
8．【2020年】已知光速为300000千米秒，光经过秒（）传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：当t=1时，传播的距离为300000千米，写成科学记数法为：千米，
当t=10时，传播的距离为3000000千米，写成科学记数法为：千米，
∴n的值为5或6，
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．【2019年】一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.00002=2×10﹣5．
故选D．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．【2018年】一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选B．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
11．【2022年】计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
运用同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可．
【详解】
，则“？”是2，
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法；注意．
12．【2020年】若为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
【详解】
=，
故选A．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
13．【2020年】墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
∵（），
，
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．【2020年】若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方差公式变形即可求解．
【详解】
原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
15．【2018年】若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用乘法的意义得到4•2n=2，则2•2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．
【详解】
∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4×2n=2，
∴2×2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1，
故选A．
【点睛】
本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n（m，n是正整数）．
16．【2019年】小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据乘法分配律，除法分配律和去括号解题即可.
【详解】
解：①a(b+c)＝ab+ac，正确；
②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正确；
③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正确；
④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，错误，无法分解计算．
故选C．
【点睛】
本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键.
17．【2018年】将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】
9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
18．【2019年】图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】
∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．
故选A．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
19．【2018年】用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）
A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【详解】∵原正方形的周长为acm，
∴原正方形的边长为cm，
∵将它按图的方式向外等距扩1cm，
∴新正方形的边长为（+2）cm，
则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），
因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm，
故选B．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．
20．【2020年】对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
21．【2022年】下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质判断即可．
【详解】
解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
22．【2021年】与结果相同的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．
23．【2021年】若取1.442，计算的结果是（ ）
A．-100 B．-144．2
C．144.2 D．-0.01442
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．
【详解】
故选B．
【点睛】
本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．
24．【2020年】若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
25．【2022年】若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【点睛】
本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
26．【2019年】如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】
解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
27．【2018年】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】
∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
28．【2021年】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【详解】
解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．
二、填空题
29．【2019年】若则的值为_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
【详解】
∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
30．【2018年】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
【答案】0
【解析】
【详解】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
31．【2018年】计算：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．
【详解】
=
=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简以及算术平方根，熟练掌握二次根式化简的方法以及算术平方根的定义是解题的关键．
32．【2020年】已知：，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】
∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
33．【2021年】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
【详解】
解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为；
故答案为：．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．
34．【2022年】如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
【答案】 4 1
【解析】
【分析】
①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可
【详解】
答题空1：
原甲：10
原乙：8
现甲：10-a
现乙：8+a
依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：
原甲：m
原乙：2m
现甲1：m-a
现乙1：2m+a
第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：
原甲：m黑
原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑
现乙1：2m白+a黑
现甲2：m黑-a黑+a混合
现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子
则：
故答案为：1
【点睛】
本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
三、解答题
35．【2022年】发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【解析】
【分析】
通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】
证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】
本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
36．【2021年】某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．
（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；
（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．
【详解】
（1）
（2）
所以．
【点睛】
本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键．
37．【2019年】有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【详解】
（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；
（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
37．【2020年】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
【详解】
解：（1）A区显示结果为： ，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】
本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
39．【2018年】嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】(1)–2x2+6；(2)5．
【解析】
【分析】
(1)原式去括号、合并同类项即可得；
(2)设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【详解】
(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=3x2+6x+8-6x-5x2-2
=-2x2+6；
(2)设“”是a，
则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a-5=0，
解得：a=5．
【点睛】
本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
40．【2022年】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】（1）3；（2）第5个台阶上的数x是﹣5；应用：从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【解析】
【分析】
尝试（1）将前4个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【详解】
尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，
解得：x=﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1﹣2﹣5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【点睛】
本题考查了规律题——数字（图形）的变化类，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）2022的相反数是（ ）
A． B． C．−2022 D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】
解：2022的相反数是−2022．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式加减法的关系列式计算即可．
【详解】
设表示的多项式是M，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查整式的加减运算，熟记加数与和的关系是解题的关键，需要注意符号．
3．（2022·河北唐山·三模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】
解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】
本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
4．（2022·河北唐山·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂，正确化简各数是解题的关键．
5．（2022·河北唐山·三模）运算后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的运算法则即可求解；
【详解】
解：A.，故错误；
B.，故错误；
C.，故正确；
D.，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．
6．（2022·河北石家庄·三模）若分式的运算结果为x，则在“”处的运算符号（ ）
A．只能是“÷” B．可以是“÷”或“–”
C．不能是“–” D．可以是“×”或“＋”
【答案】B
【解析】
【分析】
观察选项中有加减乘除符号，分别根据题意列出算式，再根据分式的加法法则、分式的减法法则、分式的乘法法则、分式的除法法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】
因为，即“×”不成立，故D错误，
因为，即“÷”成立，
又因为，即“–”也成立，所以综合所得A、C错误，选项B正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的运算，包括分式的加法、减法、乘法和除法运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解答此题的关键．
7．（2022·河北邯郸·三模）如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】
【分析】
首先设两个正方形的边长为a，b，由图甲求出，再根据图乙求出，进而求出，然后表示出图丙的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】
设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，由图甲，得，
解得或（舍）；
由图乙，得，
解得．
，
所以或（舍）．
则图丙阴影部分得面积为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
8．（2022·河北唐山·一模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】
解：原式
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2022·河北邯郸·三模）的值用科学记数法表示为，其中a和n的值分别为（ ）
A．4， B．， C．， D．4，
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据负整数指数幂变形，即可求解．
【详解】
解：=0.25×10−3=2.5×10−4，
所以a=2.5，n=-4．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，熟练掌握负整数指数幂法则是解题的关键．
10．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测），那么的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：，
∴，，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
二、填空题
11．（2022·河北邯郸·三模）分解因式______．
【答案】
【解析】
【分析】
综合利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题关键．
12．（2022·河北唐山·二模）已知，，则______，______．
【答案】 12
【解析】
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式计算求值即可；
【详解】
解：由题意得：，
，
，
，
故答案为：12，；
【点睛】
本题考查了代数式求值，实数的混合运算，掌握乘法公式是解题关键．
13．（2022·河北唐山·三模）代数式化简的结果是，则整数______．当时，______（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据题意可得，即可求解；然后把变形为，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：
；
∵，
∵，即
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查了分式的乘法运算以及化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
14．（2022·河北唐山·三模）如图是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是．则
（1）用表示图中长方体的高为______．
（2）用表示其俯视图的面积______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据左视图的面积计算即可；
（2）根据主视图和左视图中的数据计算即可．
【详解】
解：（1）长方体的高为：，
故答案为：；
（2）其俯视图的面积为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三视图，整式的混合运算，读懂三视图是解题的关键．
15．（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，则k＝_____．
【答案】 2 或或或
【解析】
【分析】
（1）根据新定义直接可得答案；
（2）先求解一次函数的解析式为再设点 根据一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，可得 再列绝对值方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）根据新定义可得：
点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点，到O的“原点距离”分别为：
所以到O的“原点距离”为3的点有B（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3），共2个．
故答案为：2
（2）一次函数y＝kx+b经过点（1，3），
即
所以一次函数的解析式为：
设点 而一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，
解得：
当时，则
解得：或
当时，
解得：或
综上：或或或
故答案为：或或或
【点睛】
本题考查的是点的坐标的含义，利用待定系数法求解一次函数的解析式，新定义的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三、解答题
16．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是，，．
(1)求AB的长；（用含m的代数式表示）
(2)若，求m．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）在数轴上的两点间的距离等于右边的点所对的数值减左边的点所对的数值即可；
（2）首先根据右减左求出AB、BC的表达式，然后根据AB、BC的关系列出方程求解即可．
(1)
根据题意知：；
(2)
由（1）知：，，当，，解得．
【点睛】
本题考查了数轴的知识，正确认识数轴并理解数轴，能够表示数轴上两点的距离是解题的关键．
17．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）佳佳在“+”“－”“×”“÷”四个符号中选了一个符号，填入的□中，计算的结果是8．
(1)佳佳选取的运算符号是______；
(2)佳佳认为：把题目中的“2”（指数除外）换成“a”后，在□中填入“×”一定比在□中填入“÷”的值大，请通过计算说明佳佳的说法是否正确．
【答案】(1)
(2)佳佳的说法错误；答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据计算的结果是8列式计算即可得出佳佳选取的运算符号；
（2）分别对填入“”时和“”时所得的式子化简，然后列不等式求解即可．
(1)
解：由题意得：，
∴，
∴□中的符号是“÷”，
故答案为：÷；
(2)
把题目中的“2”换成“a”后，
当在□填入“”时，，
当在□填入“”时，，
若，则，
所以只有当，且时，在□中填入“”才比在□中填入“” 的值大，
故佳佳的说法错误．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，分式的化简以及一元一次不等式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【解析】
【分析】
把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】
解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：
而 则
即
【点睛】
本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
19．（2022·河北唐山·二模）已知实数﹣3，1，m．
(1)当m＝﹣5时，计算最大数与最小数的差；
(2)如果这三个数的平均数是2，求m的值；
(3)当时，三个数的大小关系是______．
【答案】(1)6(2)(3)
【解析】
【分析】
（1）有理数比较大小并计算即可；
（2）根据平均数的计算方法计算即可；
（3）实数比较大小即可；
(1)解：当m＝﹣5时，﹣3，1，-5中，最大数为1，最小数为-5
所以，.
(2)由题意
解得：
(3)当时，，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查有理数比较大小、实数的大小的比较、平均数的计算，掌握相关概念并正确计算是解题的关键．
20．（2022·河北石家庄·三模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
(1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
(2)试证明“神秘数”能被4整除；
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)两个连续奇数的平方差不是“神秘数”，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把68写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
(1)解：68=182-162；
(2)解：“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2
=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=2（4k+2）
=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
(3)解：设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
21．（2022·河北承德·二模）对于任意四个有理数a，b，c，d，都可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
(1)______；
(2)计算；
(3)当x＋y＝2，xy＝－3时，求的值．
【答案】(1)-8(2)-6(3)-1
【解析】
【分析】
（1）根据题中的定义即可求解；
（2）根据题中的定义结合实数的运算法则即可求解；
（3）根据题意列出代数式，再根据多项式乘多项式进行计算．
(1)
，
故答案为：-8；
(2)
；
(3)
将，代入，
得，原式．
【点睛】
本题考查了新定义运算、代数式的化简求值等知识，准确理解新定义的运算法则是解答本题的关键．
专题01 数与式
5年中考真题
一、单选题
1．【2019年】规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+
【答案】B
【解析】
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
【详解】
解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查相反意义的量，注意，通常我们定义“增加”、“向右”为正，但是也可以定义“增加”、“向右”为负．
2．【2022年】与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，分别求出各选项的值，作出选择即可．
【详解】
A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键．
3．【2021年】能与相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】
解：方法一：；
方法二：的相反数为；
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
4．【2021年】如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断．
【详解】
解：根据题意可求出：
A，，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，，故选项正确，符合题意；
D，，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断．
5．【2021年】不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
6．【2018年】图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．
【详解】①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；
②|﹣3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；
③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；
④20=1，原题正确，该同学判断正确；
⑤2m2÷（﹣m）=﹣2m，原题正确，该同学判断正确，
故选B．
【点睛】本题考查了倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．
7．【2022年】某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先算出面积，然后利用科学记数法表示出来即可．
【详解】
解：面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．
8．【2020年】已知光速为300000千米秒，光经过秒（）传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：当t=1时，传播的距离为300000千米，写成科学记数法为：千米，
当t=10时，传播的距离为3000000千米，写成科学记数法为：千米，
∴n的值为5或6，
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．【2019年】一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.00002=2×10﹣5．
故选D．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．【2018年】一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选B．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
11．【2022年】计算得，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
运用同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可．
【详解】
，则“？”是2，
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法；注意．
12．【2020年】若为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
【详解】
=，
故选A．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
13．【2020年】墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
∵（），
，
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．【2020年】若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方差公式变形即可求解．
【详解】
原等式变形得：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
15．【2018年】若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用乘法的意义得到4•2n=2，则2•2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．
【详解】
∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4×2n=2，
∴2×2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1，
故选A．
【点睛】
本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n（m，n是正整数）．
16．【2019年】小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据乘法分配律，除法分配律和去括号解题即可.
【详解】
解：①a(b+c)＝ab+ac，正确；
②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正确；
③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正确；
④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，错误，无法分解计算．
故选C．
【点睛】
本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键.
17．【2018年】将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】
9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
18．【2019年】图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】
∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．
故选A．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
19．【2018年】用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）
A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【详解】∵原正方形的周长为acm，
∴原正方形的边长为cm，
∵将它按图的方式向外等距扩1cm，
∴新正方形的边长为（+2）cm，
则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），
因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm，
故选B．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．
20．【2020年】对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
21．【2022年】下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质判断即可．
【详解】
解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
22．【2021年】与结果相同的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．
23．【2021年】若取1.442，计算的结果是（ ）
A．-100 B．-144．2
C．144.2 D．-0.01442
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．
【详解】
故选B．
【点睛】
本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．
24．【2020年】若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
25．【2022年】若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【点睛】
本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
26．【2019年】如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】
解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
27．【2018年】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】
∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．
28．【2021年】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【详解】
解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．
二、填空题
29．【2019年】若则的值为_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
【详解】
∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
30．【2018年】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
【答案】0
【解析】
【详解】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
31．【2018年】计算：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．
【详解】
=
=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简以及算术平方根，熟练掌握二次根式化简的方法以及算术平方根的定义是解题的关键．
32．【2020年】已知：，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】
∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
33．【2021年】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
【详解】
解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为；
故答案为：．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．
34．【2022年】如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
【答案】 4 1
【解析】
【分析】
①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可
【详解】
答题空1：
原甲：10
原乙：8
现甲：10-a
现乙：8+a
依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：
原甲：m
原乙：2m
现甲1：m-a
现乙1：2m+a
第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：
原甲：m黑
原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑
现乙1：2m白+a黑
现甲2：m黑-a黑+a混合
现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子
则：
故答案为：1
【点睛】
本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
三、解答题
35．【2022年】发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【解析】
【分析】
通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】
证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】
本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
36．【2021年】某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．
（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；
（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．
【详解】
（1）
（2）
所以．
【点睛】
本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键．
37．【2019年】有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【详解】
（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；
（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
37．【2020年】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
【详解】
解：（1）A区显示结果为： ，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】
本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
39．【2018年】嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】(1)–2x2+6；(2)5．
【解析】
【分析】
(1)原式去括号、合并同类项即可得；
(2)设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【详解】
(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=3x2+6x+8-6x-5x2-2
=-2x2+6；
(2)设“”是a，
则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a-5=0，
解得：a=5．
【点睛】
本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
40．【2022年】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】（1）3；（2）第5个台阶上的数x是﹣5；应用：从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【解析】
【分析】
尝试（1）将前4个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【详解】
尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，
解得：x=﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1﹣2﹣5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【点睛】
本题考查了规律题——数字（图形）的变化类，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）2022的相反数是（ ）
A． B． C．−2022 D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】
解：2022的相反数是−2022．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式加减法的关系列式计算即可．
【详解】
设表示的多项式是M，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查整式的加减运算，熟记加数与和的关系是解题的关键，需要注意符号．
3．（2022·河北唐山·三模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】
解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】
本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
4．（2022·河北唐山·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂，正确化简各数是解题的关键．
5．（2022·河北唐山·三模）运算后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的运算法则即可求解；
【详解】
解：A.，故错误；
B.，故错误；
C.，故正确；
D.，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．
6．（2022·河北石家庄·三模）若分式的运算结果为x，则在“”处的运算符号（ ）
A．只能是“÷” B．可以是“÷”或“–”
C．不能是“–” D．可以是“×”或“＋”
【答案】B
【解析】
【分析】
观察选项中有加减乘除符号，分别根据题意列出算式，再根据分式的加法法则、分式的减法法则、分式的乘法法则、分式的除法法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】
因为，即“×”不成立，故D错误，
因为，即“÷”成立，
又因为，即“–”也成立，所以综合所得A、C错误，选项B正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的运算，包括分式的加法、减法、乘法和除法运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解答此题的关键．
7．（2022·河北邯郸·三模）如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】
【分析】
首先设两个正方形的边长为a，b，由图甲求出，再根据图乙求出，进而求出，然后表示出图丙的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】
设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，由图甲，得，
解得或（舍）；
由图乙，得，
解得．
，
所以或（舍）．
则图丙阴影部分得面积为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
8．（2022·河北唐山·一模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】
解：原式
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2022·河北邯郸·三模）的值用科学记数法表示为，其中a和n的值分别为（ ）
A．4， B．， C．， D．4，
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据负整数指数幂变形，即可求解．
【详解】
解：=0.25×10−3=2.5×10−4，
所以a=2.5，n=-4．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，熟练掌握负整数指数幂法则是解题的关键．
10．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测），那么的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：，
∴，，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
二、填空题
11．（2022·河北邯郸·三模）分解因式______．
【答案】
【解析】
【分析】
综合利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题关键．
12．（2022·河北唐山·二模）已知，，则______，______．
【答案】 12
【解析】
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式计算求值即可；
【详解】
解：由题意得：，
，
，
，
故答案为：12，；
【点睛】
本题考查了代数式求值，实数的混合运算，掌握乘法公式是解题关键．
13．（2022·河北唐山·三模）代数式化简的结果是，则整数______．当时，______（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据题意可得，即可求解；然后把变形为，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：
；
∵，
∵，即
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查了分式的乘法运算以及化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
14．（2022·河北唐山·三模）如图是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是．则
（1）用表示图中长方体的高为______．
（2）用表示其俯视图的面积______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据左视图的面积计算即可；
（2）根据主视图和左视图中的数据计算即可．
【详解】
解：（1）长方体的高为：，
故答案为：；
（2）其俯视图的面积为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三视图，整式的混合运算，读懂三视图是解题的关键．
15．（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，则k＝_____．
【答案】 2 或或或
【解析】
【分析】
（1）根据新定义直接可得答案；
（2）先求解一次函数的解析式为再设点 根据一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，可得 再列绝对值方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）根据新定义可得：
点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点，到O的“原点距离”分别为：
所以到O的“原点距离”为3的点有B（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3），共2个．
故答案为：2
（2）一次函数y＝kx+b经过点（1，3），
即
所以一次函数的解析式为：
设点 而一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，
解得：
当时，则
解得：或
当时，
解得：或
综上：或或或
故答案为：或或或
【点睛】
本题考查的是点的坐标的含义，利用待定系数法求解一次函数的解析式，新定义的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三、解答题
16．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是，，．
(1)求AB的长；（用含m的代数式表示）
(2)若，求m．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）在数轴上的两点间的距离等于右边的点所对的数值减左边的点所对的数值即可；
（2）首先根据右减左求出AB、BC的表达式，然后根据AB、BC的关系列出方程求解即可．
(1)
根据题意知：；
(2)
由（1）知：，，当，，解得．
【点睛】
本题考查了数轴的知识，正确认识数轴并理解数轴，能够表示数轴上两点的距离是解题的关键．
17．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）佳佳在“+”“－”“×”“÷”四个符号中选了一个符号，填入的□中，计算的结果是8．
(1)佳佳选取的运算符号是______；
(2)佳佳认为：把题目中的“2”（指数除外）换成“a”后，在□中填入“×”一定比在□中填入“÷”的值大，请通过计算说明佳佳的说法是否正确．
【答案】(1)
(2)佳佳的说法错误；答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据计算的结果是8列式计算即可得出佳佳选取的运算符号；
（2）分别对填入“”时和“”时所得的式子化简，然后列不等式求解即可．
(1)
解：由题意得：，
∴，
∴□中的符号是“÷”，
故答案为：÷；
(2)
把题目中的“2”换成“a”后，
当在□填入“”时，，
当在□填入“”时，，
若，则，
所以只有当，且时，在□中填入“”才比在□中填入“” 的值大，
故佳佳的说法错误．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，分式的化简以及一元一次不等式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【解析】
【分析】
把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】
解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：
而 则
即
【点睛】
本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
19．（2022·河北唐山·二模）已知实数﹣3，1，m．
(1)当m＝﹣5时，计算最大数与最小数的差；
(2)如果这三个数的平均数是2，求m的值；
(3)当时，三个数的大小关系是______．
【答案】(1)6(2)(3)
【解析】
【分析】
（1）有理数比较大小并计算即可；
（2）根据平均数的计算方法计算即可；
（3）实数比较大小即可；
(1)解：当m＝﹣5时，﹣3，1，-5中，最大数为1，最小数为-5
所以，.
(2)由题意
解得：
(3)当时，，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查有理数比较大小、实数的大小的比较、平均数的计算，掌握相关概念并正确计算是解题的关键．
20．（2022·河北石家庄·三模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
(1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
(2)试证明“神秘数”能被4整除；
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)两个连续奇数的平方差不是“神秘数”，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把68写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
(1)解：68=182-162；
(2)解：“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2
=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=2（4k+2）
=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
(3)解：设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
21．（2022·河北承德·二模）对于任意四个有理数a，b，c，d，都可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
(1)______；
(2)计算；
(3)当x＋y＝2，xy＝－3时，求的值．
【答案】(1)-8(2)-6(3)-1
【解析】
【分析】
（1）根据题中的定义即可求解；
（2）根据题中的定义结合实数的运算法则即可求解；
（3）根据题意列出代数式，再根据多项式乘多项式进行计算．
(1)
，
故答案为：-8；
(2)
；
(3)
将，代入，
得，原式．
【点睛】
本题考查了新定义运算、代数式的化简求值等知识，准确理解新定义的运算法则是解答本题的关键．
相关试卷
专题08 统计与概率-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用）： 这是一份专题08 统计与概率-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用），文件包含专题08统计与概率-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用解析版docx、专题08统计与概率-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
专题06 圆-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用）： 这是一份专题06 圆-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用），文件包含专题06圆-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用解析版docx、专题06圆-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
专题03 函数-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用）： 这是一份专题03 函数-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用），文件包含专题03函数-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用解析版docx、专题03函数-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共112页， 欢迎下载使用。
