2023年北京东城初三一模考数学试卷及答案解析

东城区 2022—2023 学年度第二学期初三年级统一测试（一）

数学参考答案及评分标准 2023．5

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

9． 1

2

10． 2(x 1)2

11．1.8 12．＜

13．135 14． 1

4

15．2 16．(1)2 (2)21

三、解答题（本题共 68 分，第 17—21 题，每题 5 分，第 22 题 6 分，第 23 题 5 分，第 24—26 题，每题

6 分，第 27—28 题，每题 7 分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解：

 3tan30  20230  1

 3 3-3

3 +11.......4 分

3

 2

．......5 分

3x 1  2x, ①

18．解：  2

2x  1≥x 1. ②

由①得 x＞-1，....2 分

由②得 x≥–2．........4 分

所以不等式组的解集是 x＞-1．....5 分

19. 解：（x  2)(x  2)  (x  3) 2

= x2  4  x2  6x  9

= 2x2  6x  5 ..............3 分

∵ x2  3x 1  0 ，

∴  x2  3x  1.

∴ 2x2  6x  2 .

∴ 原式= 2x2  6x  5  7 ............5 分

20. 解：方法一：

证明：∵CF∥AB，

∴ ∠A=∠ECF，∠ADE=∠F.又∵点 E 是 AC 的中点，

∴ AE=CE.

∴△ADE≌△CFE．

∴ AD=CF，DE=FE．

又∵ 点 D 是 AB 的中点，

∴ AD=BD.

∴ CF=BD.

∴四边形 BCFD 是平行四边形．

∴ DF∥BC，DF=BC．

1

∴ DE∥BC，且 DE＝

2

方法二：

BC.........5 分

证明：∵AE=EC，DE=EF，

∴四边形 ADCF 是平行四边形．

∴CF∥DA，且 CF=DA．

∴CF∥BD，且 CF=BD．

1

∴四边形 DBCF 是平行四边形.

∴DF∥BC，且 DF=BC．

又∵DE＝ 1 DF，

2

∴ DE∥BC，且

DE= 1

2

BC．........5 分

k

21． 解：（1）∵ 反比例函数 y 

∴ 3  1 ．

(k  0) 的图象经过点（-1,3），

x

∴ k  3 ．

3

∴ 反比例函数的解析式为 y   ．.....................3 分

x

（2）n≥2 ．.....................................5 分

22. （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ AD∥BC．

∴ ∠ADB=∠CBD． 又∵ BD 平分∠ABC，

∴ ∠ABD=∠CBD．

∴ ∠ADB=∠ABD．

∴ AB=AD．

∴ 四边形 ABCD 是菱形．....................3 分

（2）解： ∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AB//CD，∠DOC＝90°，BD=2DO．

∴∠DCE＝∠ABC＝70°．

∵∠ECM＝15°,

∴∠DCM＝55°．

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴∠BCD＝110°．

∴∠ACD＝ 1 ∠ACD＝55°．

2

∴∠ACD＝∠DCM.又∵DF⊥CM，

∴DO=DF= ．

∴BD＝2DO＝2 ．..............6 分

23. 解：（1）83，85............................2 分

（2）①②.............................4 分

（3） 17  60  340 （人）．

30

答：估计七年级成绩优秀的学生人数为 340 人..............5 分

24. （1）证明：如图，连接 OD 交 AC 于点 F，连接 OC．

∵ DE 是⊙O 的切线，

∴ OD⊥DE．

∴ ∠ODE=90°．

∵ 点 D 为 A‸C 的中点，

∴ ‸AD  C‸D ．

∴ ∠AOD=∠COD．

∵ AO=CO，

∴ OF⊥AC．

∴ ∠OFA=90°=∠ODE．

∴ DE∥AC．

2

∴ ∠E=∠BAC．..............3 分

（2）解：∵∠E=∠BAC，

∴cos∠BAC = cos E  4 .

5

AF 4

在 Rt△AOF 中，cos∠BAC   ，OA=5，

OA 5

∴AF=4，OF=3.

∴DF=2.

∵OF⊥AC，

∴CF=AF=4.

在 Rt△CDF 中，由勾股定理得 CD= 2 .

在 Rt△ODE 中， cos E  4 ，

5

∴ tan E  OD  3 .

DE 4

20

∴DE=

3

...............6 分

25. 解：(1)50..........................1 分

根据表格数据，将（0，18）和（80，50）代入函数关系式 y  a(x  h )2  k ，

解得 a＝–0.005．

∴ 二次函数的关系式为 y  0.005(x  80)2  50 ．......................3 分

(2)乒乓球仍落在球桌上．理由如下：令 y=0，则 x=180．

∴OB=180．

令 y=42, 则 x=80±40 ．

∴BC=DE= 80．

∴OC=OB+BC=260 ．

∵260<274，

∴乒乓球仍落在球桌上．.......................6 分

26. 解：（1） y  ax2  2ax

＝ a(x2  2x  1  1)

＝ a(x  1)2  a .

∴抛物线的顶点坐标为(1，–a).......................2 分

（2）－1＜k＜3........................................4 分

（3）∵y1＜y3＜y2≤－a，且顶点坐标为(1，–a),

∴抛物线开口向下．

∴a＜0.

点 A(m－1，y1) ，C(m＋3，y3)关于直线 x＝1 对称的点的坐标分别为

A′(3–m，y1)，C′(–1–m，y3) ．

∵m-1<m<m+3，y1＜y3＜y2，

∴点 A，B，C 不可能在对称轴的同侧．

∴点 A 在对称轴左侧，点 C 在对称轴右侧．

3

m  1  m

当点 B 在对称轴左侧或在对称轴上时，可得1  m  m 1，

m  1

解得 1 <m<0．

2

m  1

当点 B 在对称轴右侧时，可得m  3  3  m ，

m  3  m

此时不等式组无解．

综上所述，m 的取值范围为 1 <m<0．........................6 分

2

27．（1）证明：∵将线段 AD 顺时针旋转α得到线段 AE，

∴∠EAD=α，AD=AE．

∵∠BAC＝α，

∴∠BAC=∠EAD．

∴∠BAC－∠BAD=∠EAD－∠BAD，即∠DAC=∠EAB，在△ACD 和△ABE 中，

 AC  AC ,

DAC  EAB,

 AD  AE.

∴△ACD≌△ABE（SAS）．

∴∠ABE＝∠C．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C．

∴∠ABE＝∠ABC．

∴BA 平分∠EBC．....................3 分

（2）解：补全图形如图，EF=CG．理由如下：在 AB 上取一点 M，使得 BM＝CG，连接EM．

∵CG∥AB，

∴∠ABC＝∠DCG， ∠BFG＝∠CGD．

∴∠EBM＝∠DCG．

由（1）知△ACD≌△ABE ，

∴EB＝CD．

在△EBM 和△DCG 中

EB  DC,

EBM  DCG,

BM  CG,

∴△EBM≌△DCG(SAS)．

∴EM＝DG， ∠EMB＝∠DGC．

∵∠EMB＋∠EMF＝180°， ∠EFM＋∠DFM＝180°，

∴∠EMF＝∠EFM．

∴EM＝EF．

∴EF＝DG．..........................7 分

28． 解： （1）①画图略，点 P'坐标为(3，–2)；点 Q 坐标为（1，–2）...........3 分

② 2 1

1 ≤b≤ 2

1....................5 分

（2）

2

≤k≤2 ...............................7 分

4