广东省东莞市虎门第五中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年广东省东莞市虎门五中九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.     赵爽弦图 B.   笛卡尔心形线
C.     科克曲线 D.   斐波那契螺旋线

3.  北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近平方米的冰面采用分模块控制技术，可根据不同项目分区域、分标准制冰．将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某校名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩单位：分分别是，，，，，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  要使分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，将绕点逆时针方向旋转，得到，连接则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为______ ．

13.  已知，则代数式的值是______．

14.  如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在边长为的等边中，、分别是边、的动点，且，连接、交于点，连接，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解不等式组：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，已知，，．

尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法
若，求的长．

19.  本小题分
我校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：
在这次调查中，该校一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______ ；请补全条形统计图；
若该校共有名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数；
若随机从“篮球、足球、乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？请用画树状图或列表等方法说明理由

20.  本小题分
年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价

网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

21.  本小题分
如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为．
求的值；
直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围．
若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积；

22.  本小题分
如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
若，则 ______ ；
求证：为的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．
求抛物线解析式；
设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，
的绝对值等于．
故选：．
根据绝对值的定义即可进行求解．
此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称，但不是轴对称；不符合题意；
B.是轴对称，但不是中心对称；不符合题意；
C.既是轴对称，也是中心对称；符合题意；
D.既不是轴对称，也不是中心对称；不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练地掌握定义并能够区分轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列两个矩形．
故选：．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：将小明所在小组的个同学的成绩重新排列为：、、、、，
所以这组数据的中位数为分，
故选：．
先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不合题意；
B.，正确，故选项B符合题意；
C.，故选项C错误，不合题题；
D.，故选项D错误，不合题意；
故选：．
利用幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法以及合并同类项逐项计算判断即可．
本题考查了幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由旋转可知，，，
则为等腰直角三角形，
．
故选：．
由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．
本题考查了旋转，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
，
，故不符合题意．
由题意可知：，
，故符合题意．
将代入，
，
，
，故符合题意．
由图象可知：二次函数的最小值小于，
令代入，且直线与二次函数图像有两个交点，
有两个不相同的解，故不符合题意．
故选：．
根据二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与的大小关系，然后由对称轴可知，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先计算零次幂和负整数指数幂，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个多边形为边形，由题意得，
，
解得，，
即这个正多边形为正十边形．
故答案为：．
根据正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则代数式，
故答案为：．
直接将已知代数式变形进而代入原式求出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
如图，过点，点，点作，连接，，

点在上运动，
，
，，，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，，
，
，
在中，，
当点在上时，有最小值，
的最小值
故答案为：．
由“”可证≌，可得，可求，过点，点，点作，则点在上运动，利用锐角三角函数可求，的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为：． 

【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
根据不等式的性质求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入是即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

连接，
是的垂直平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
故DE的长为． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．
 

19.【答案】   

【解析】解：调查的总人数为名，
扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数为，
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图为：

故答案为：，；
名，
所以估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数为名；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数为，
所以抽取两个项目中至少一项是“篮球”的概率．
用选择乒乓球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用乘以选择跑步的人数所占的百分比得到扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数，然后计算出选择足球的人数后补全条形统计图；
用乘以样本中选择篮球的人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
由题意得，，
解得，
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
则，
解得．
设再次购进后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，，
此时．
答：当购进件款钥匙扣，购进件款钥匙扣时，获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，列出二元一次方程组求解即可．
设购进件款钥匙扣，总利润为元，先求出的范围，再列出关于的函数关系式，确定最值即可得结论．
本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，读懂题意列出方程组，函数关系式并确定最值是解题关键．
 

21.【答案】解：直线过点，点横坐标为，
，
点的坐标为，
点是直线与双曲线的交点，
；

，
双曲线解析式为，
解，得或，
，，
根据图象可知：当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是或；
如图，过、点分别作轴、轴的垂线垂足为、，两垂线交于点，则四边形是矩形，
点在双曲线上，点的纵坐标为，
，解得，
，
． 

【解析】根据正比例函数先求出点的坐标，从而求出了值为，
通过解方程组求得的坐标，根据图象即可求得使一次函数的值小于反比例函数的值时的取值范围；
过、点分别作轴、轴的垂线垂足为、，两垂线交于点，则四边形是矩形，根据的纵坐标求得的坐标，然后根据计算即可．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
是的切线，点是切点，
，
即，
，
又，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作于点，
由可得，
，
，
即，，
，
，
，
即是的平分线，
又，，
，
是半径，
点到的距离等于半径，
是的切线；
解：，，
，
在中，由于，
设，则，
，
，
，
即，，
在中，
，
，，
∽，
，
即，
．
根据切线的性质、垂线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
过点作的垂线，证明即可；
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理可求出，，，进而求出，再由相似三角形的性质可得答案．
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：，，
，，
设，
把代入得，
解得，
；

，
对称轴是：直线，
如图，当∽时，，则，

当∽时，，
，
，
，
 ，
点的坐标为或；

存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，
点的横坐标为，
；

如图，当四边形是平行四边形时，则，
同理得：；

如图，当四边形为平行四边形时，

由平移得：点的横坐标为：，

综上所述，点的坐标为或或 

【解析】根据，得，，再由待定系数法即可求出解析式；
分类讨论∽和∽，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；
存在．分类讨论：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形．由平行线的性质和平移的性质可得点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质和判定，平行四边形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是利用平移的性质确定点的坐标，并正确画图，运用分类讨论的思想解决问题．