2023高考能力提高专项练习 第三节 等比数列及其前n项和

【能力提高练】   第三节 等比数列及其前n项和

1．(2022•西北工业大学附属中学高三一模)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=(    )

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【解析】  设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.

【答案】  B

2．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)在等比数列中，，记(，2，…).则数列(    )

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【解析】  设等比数列的公比为，则，所以，设数列为等比数列的奇数项(，2，…)，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以，当时，，当时，，当为奇数时，，因为，所以，当为偶数时，，因为，所以，综上所述，数列有最大项和最小项.故选：A

【答案】  A

3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

【解析】  对于A选项，，

，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，

，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确．故选：ACD．

【答案】  ACD

4．(2022•云南省昆明市第一中学第六次月考)已知数列的首项为10，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为(    )

A．9 B．10 C．11 D．12

【解析】  依题意，由，即，得，而，则数列是以8为首项，为公比的等比数列，有，，于是得：，由，得， 即，整理得：，，解得，所以的最小正整数值为11.故选：C

【答案】  C

5．(2022•天津市实验中学高三(下)第三次检测)等比数列中，，，则数列的前2022项和为(    )

A． B． C． D．

【解析】  设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 所以，解得，所以，，所以，所以数列的前2022项和为，故选：C

【答案】  C

6．(2022•陕西省西安中学高三三模)在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长这个过程称之为迭代．在边长为81的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为(    )

A． B． C． D．

【解析】  设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为，，，，由余弦定理得，同理得，，，，，最小的正三角形的面积为．故选：A．

【答案】  A

7．(2022•山西省长治市第二中学高三(上)第三次练考)在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前项和，则=(    )

A．32 B．62 C．27 D．81

【解析】  因为，，成等差数列，所以，因为，数列是等比数列，所以，解得或(舍)，所以，故选：B

【答案】  B

8．(2022•湖南省雅礼中学高三第六次月考)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则(    )

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】  因为 (n＝0,1,2，…)，所以，所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1，所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，故选：B

【答案】  B

9．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)已知是数列的前项和，且满足，.则(    )

A． B． C． D．

【解析】  当时，；当时，由，可得.两式相减得，所以，且.则数列从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则，所以，所以.故选：D

【答案】  D

10．(2022•黑龙江省双鸭山市第一中学高三(下)开学考试)记为数列的前项和，若，则(    )

A．﹣1024 B．﹣1023 C．1023 D．1024

【解析】  由题意，当时，，解得，

当时，，化简整理，得，

∴数列是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，∴．故选：B．

【答案】  B

11．(2022•北京市第八中学高三(下)开学考试)若数列的前项和为，且满足，，则(    )

A．509 B．511 C．1021 D．1023

【解析】 

==

====1021，故选：C.

【答案】  C

12．(2022•重庆市第八中学高三第三次调研检测)九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为___.(用含n的式子表示)

【解析】  当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，(，n为奇数)，故解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为(，n为奇数).故答案为：(，n为奇数).

【答案】  (，n为奇数)

13．(2022•西北工业大学附属中学高三第六次适应性训练)设等比数列满足，，则的最大值为______.

【解析】  因为为等比数列，，，所以，，所以，，当n= 4或5时，取得最大值10，故的最大值为，故答案为：1024.

【答案】  1024

14．(2022•福建省漳州第一中学高三第五次阶段考)已知等比数列的前项和为，公比，，，若数列为等比数列，则实数______.

【解析】  由，可得，而，则，若数列为等比数列，则，，成等比数列，有，即，解得，经验证，时，数列为等比数列，故，故答案为：

【答案】 

15．(2022•北京市首都师范大学附属中学高三(下)开学检测)设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为______．

【解析】  若令，则，，，故满足.故答案为：，

【答案】  ，(答案不唯一)

16．(2022•安徽省六安一中高三第四次月考)在各项均为正数的等比数列中公比，若，，，记数列的前项和为，则成立的最大值为_________.

【解析】  等比数列中，由,得，，解得或，又 ，，，数列是首项为4，公差为的等差数列，，时，.所以的最大值为.故答案为：8.

【答案】  8

17．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)已知是等比数列，前n项和为，且.

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.

【解析】  (Ⅰ)设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.

(Ⅱ)由题意，得，即是首项为，公差为1的等差数列.

设数列的前项和为，则.

【答案】  (Ⅰ) (Ⅱ)

18．(2022•重庆市第八中学高三第七次调研检测)已知数列是递增的等比数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【解析】  (1)设数列的公比为，，则.

由得，由得，

所以，解得或(舍去)，所以.

所以数列的通项公式为.

(2)由条件知，设，

则，

将以上两式相减得，

所以.

设，

则.

【答案】  (1)    (2)

19．(2022•四川省南充高级中学高三第三次月考)已知是公差为2的等差数列，，且是和的等比中项．

(1)求的通项公式；

(2)设数列满足，求的前n项和．

【解析】  (1)依题意，是公差为2的等差数列，，且是和的等比中项，

即，即，

所以.

(2)依题意①，

当时，，

当时，②，

①-②得：，所以.

③，

④，

③-④得：，

所以.

【答案】  (1)    (2)

20．(2022•江苏省金陵中学高三二模)已知等比数列的前项和为，，且满足，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求.

【解析】  (1)设等比数列的公比为，依题意，，则

∴，，，∴，∴

(2)∵，∴，

由题意可得①

②

①-②得到

∴

∴

∴

∴

【答案】  (1)    (2)

21．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)已知数列满足，，.记.

(1)证明：是等比数列.

(2)设，求数列的前n项和.

【解析】  (1)证明：因为，所以，整理得，

因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.

(2)由(1)易知，因为，

所以.

【答案】  (1)证明见解析    (2)

22．(2022•河北省衡水中学高三三模)已知数列满足，().

(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)数列满足：()，求数列的前项和.

【解析】  (1)因数列满足，，

则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，

，即，所以数列是等比数列，，；

(2)由(1)知，

，则

于是得， ，

所以数列的前项和.

【答案】  (1)证明见解析，；(2).

23．(2022•海南省嘉积中学高三(下)四校联考)①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答.

已知等比数列中，为数列的前项和，若___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，记数列的前项和，求证：.

【解析】  (1)选条件①：因为是与的等差中项，即，依题意，，解得，所以数列的通项公式是.

选条件②：设公比为，依题意，，解得或，

因为数列是递增数列，于是得，所以数列的通项公式是.

(2)由(1)知，则，

因此，，于是有，

因，则有，即有，所以.

【答案】  (1)；   (2)证明见解析.