2023高考考点分析 第三节 等比数列及其前n项和

这是一份2023高考考点分析 第三节 等比数列及其前n项和，共8页。
【考点分析】　第三节 等比数列及其前n项和【考点一】  等比数列求首项a1、公比q或项数n【典型例题1】  (2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝　　，S4＝　　．【解析】  由题意，数列{an}是各项均为正数的等比数列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．由等比数列的前n项和公式，可得S4＝＝．【答案】      【考点二】  等比数列求通项或特定项【典型例题2】  (2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知是各项均为正数的等比数列，若是与的等差中项，且，则(       )A． B．16 C． D．32【解析】  设各项均为正数的等比数列的公比为，则由等比数列{}满足是与的等差中项，因为，即，得或(舍)，由，得，解得，所以.故选：B.【答案】  B【考点三】  等比数列前n项和【典型例题3】  (山东省聊城市2021-2022学年高三上学期期中)设数列满足，则数列的前n项和为(    )A． B．C． D．【解析】由题得(1)，又 (2)，(2)-(1)得适合.所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，所以.【答案】C【考点四】  等比数列的判定与证明【典型例题4】  (1) (2021·山东济南市模拟)已知数列中，，，，则下列说法正确的是(    )A． B．是等比数列C． D．(2)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.①求a4的值；②证明：为等比数列．【解析】　(1) 因为，，所以，由可得，所以，所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，，综上可知，ABC正确，D错误．故选：ABC(2)①当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4(1＋＋＋a4)＋5＝8＋1，解得a4＝.②证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．因为 4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1，所以＝＝＝＝，所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．【答案】  (1) ABC     (1) ①   ②见解析【归纳总结】  等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．【考点五】  等比数列项的性质的应用【典型例题5】  (1)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　　)A．1　　 B．　C．－　　 D．－ (2)数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则使不等式a＋a＋…＋a<5×2n＋1成立的n的最大值为(　　)A．2   B．3C．4   D．5【解析】　(1) {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，所以a＝()3,3b6＝7π，所以a6＝，b6＝，所以tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－．(2)因为an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．因为a＋a＋…＋a<5×2n＋1，所以(4n－1)<5×2n＋1，因为2n(2n－30)<1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.【答案】　(1) D 　(2)C【考点六】  等比数列前n项和的性质的应用【典型例题6】  (1) (2022·江苏省镇江市高三(上)期中)已知等比数列的前项和为，且，，则(    )A． B． C．27 D．40 (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a7－2a5＝0，则＋＝(　　)A．6　　 B．7　C．8　　 D．9【解析】　(1)因为等比数列的前项和为，，，所以成等比数列，所以，即，解得(负值舍去)所以，所以(2) 设等比数列{an}公比为q，由a7－2a5＝0得：a5q2－2a5＝a5(q2－2)＝0，∵a5≠0，∴q2＝2．∴＋＝＋＝＋＝1＋q4＋1＋q2＝2＋4＋2＝8，故选C．【答案】  (1) D       (2) C【归纳总结】  等比数列前n项和性质的应用技巧(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．(2)涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质①等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．②等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.特别提醒：易误认为Sn，S2n，S3n成等比数列．【考点七】  等比数列前n项和的最值问题【典型例题7】  (2021·陕西榆林模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn,2bn＋1＝an＋bn．(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn<．【解析】  (1)证明：依题有两式相加得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)，又a1＋b1＝，∴{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列．两式相减得an＋1－bn＋1＝(an－bn)，又a1－b1＝，∴{an－bn}是首项为，公比为的等比数列．(2)由(1)可得an＋bn＝n－1①，an－bn＝n－1②，两式相加得an＝n＋n，故Sn＝＋<＋＝．【答案】  (1)见解析     (2) 见解析【考点八】  等比数列综合问题【典型例题8】  设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．【解析】　(1)由题意得：则又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.当n≥3时，Tn＝3＋－＝，经验证，当n＝2时也符合上式．所以，Tn＝【答案】  (1) an＝3n－1       (2) 【归纳总结】  在解决等差、等比数列综合问题时，重点要读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义，通项公式及前n项和公式是解决问题的关键，若已知Sn，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)变为an再求解．【考点九】  等比数列前n项和的综合应用【典型例题9】  (2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4．(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．【解析】　(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝．【答案】  (1)见解析     (2) 【归纳总结】  等比数列前n项和综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．【考点十】  等比数列含有参数的讨论【典型例题10】  已知数列{an}是首项为2的等差数列，其前n项和Sn满足4Sn＝an·an＋1．数列{bn}是以为首项的等比数列，且b1b2b3＝．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*不等式＋＋…＋≥λ－Tn恒成立，求λ的取值范围．【解析】  (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得4a1＝a1(a1＋d)，解得d＝2，所以an＝2n，由b1b2b3＝b＝⇒b2＝，从而公比q＝＝，所以bn＝．(2)由(1)知＝＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，又Tn＝＝1－，所以对任意n∈N*，＋＋…＋≥λ－Tn，等价于－－≥λ，因为－－对n∈N*递增，所以＝－－＝，所以≥λ⇒λ≤3，即λ的取值范围为(－∞，3]．【答案】  (1) an＝2n，bn＝     (2) (－∞，3]【考点十一】  奇偶项成等比数列的讨论【典型例题11】  (2021·山东济南市模拟)已知数列中，，，，则下列说法正确的是(    )A． B．是等比数列C． D．【解析】  因为，，所以，由可得，所以，所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，，综上可知，ABC正确，D错误．故选：ABC【答案】  ABC【考点十二】  等比数列与函数相结合的问题【典型例题12】  已知正项等比数列{an}满足a5·a6·a7＝1，且f(x)＝若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝a1，则a1的值为(　　)A．　　 B．e　C．2e　　 D．1＋e【解析】　由题知正项等比数列{an}满足a5·a6·a7＝1，则a6＝1，所以a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝1，当x>1时，f(x)＋f()＝xln x＋＝0，当x＝1时，f(1)＝0，所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝f(a1)＋[f(a2)＋f(a10)]＋[f(a3)＋f(a9)]＋[f(a4)＋f(a8)]＋[f(a5)＋f(a7)]＋f(a6)＝f(a1)＋f(a6)＝a1可化为f(a1)＝a1．当a1>1时，f(a1)＝a1ln a1＝a1，解得a1＝e；当a1<1时，f(a1)＝＝a1，无解．故选B．【答案】  B【考点十三】  等比数列与解析几何相结合的问题【典型例题13】  已知直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N*，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2，则数列{an}的通项公式为________．【解析】  圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝＝，半径rn＝，故an＋1＝|AnBn|2＝r－d＝2an，故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n－1(n∈N*)．【答案】  an＝2n－1(n∈N*)