2023高考考点分析 第一节 平面向量及其线性运算

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【考点分析】　第一节 平面向量及其线性运算【考点一】  平面向量的有关概念【典型例题1】  下列说法正确的是(　　)A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等【解析】　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C不正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．【答案】  B【归纳总结】  平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　 【考点二】  平面向量的线性运算【典型例题2】  (2022•山东省潍坊模拟)在平行四边形中，分别是的中点，，，则(       )A． B． C． D．【解析】  如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.【答案】  B【归纳总结】  向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握．【考点三】  根据向量线性运算求参数【典型例题3】  (2022•河南省模拟)如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝(       )A．1 B． C． D．2【解析】  ，而，故，而且不共线，故，故选：C.【答案】  C【归纳总结】  向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【考点四】  平面向量共线定理的应用【典型例题4】  如图所示，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2．(1)用a，b表示；(2)证明A，M，C三点共线．【解析】  (1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，又E为AD中点，所以＝＝a＋b，因为EF是梯形的中位线，且＝2，所以＝(＋)＝＝a，又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b．(2)证明：由(1)知＝＝a，所以＝＋＝a＋b＝，又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．【考点五】  平面向量共线定理的推广方法(等和线)【典型例题5】  如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．求证：x＋y为定值。证明：当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m ，则＝m＝mλ＋mμ．又＝x＋y(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m．以上过程可逆．因此得到结论：＝x＋y，则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．【归纳总结】  共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．【考点六】  平面向量共线定理的推广方法的应用【典型例题6】  (2022•山东省烟台三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为(       )A． B．2 C． D．1【解析】  作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴，∴，故选：A.【答案】  A【考点七】  平面向量共线定理的推广方法的转换应用【典型例题7】  (2022•上海高三专题练)已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为(       )A． B． C． D．2【解析】  设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示：则，设，因为三点共线，则 所以，故因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2故选：D【答案】  D【考点八】  均值不等式在平面向量中的应用【典型例题8】  (2022•全国高三专题练)如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．【解析】  设，，，，，共线，，．，则，点，是线段上两个动点，，．则的最小值为．故答案为：．【答案】  8