数学（江苏B卷）2023年高考第三次模拟考试卷（全解全析）

这是一份数学（江苏B卷）2023年高考第三次模拟考试卷（全解全析），共22页。试卷主要包含了已知定义在上的函数满足，已知数列满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学第三次模拟考试卷数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据集合并集的定义，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为或，所以.故选：D2．设，其中，是实数，则A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数相等求出x和y的值，然后由复数的模的公式求解即可得答案.【详解】,可得，即，则，故选B【点睛】本题考查复数相等的条件的应用，考查复数的模的求解，属于简单题.3．已知直线的倾斜角为，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线方程可得tan，由正弦的二倍角公式和同角三角函数关系式计算可得答案.【详解】直线的倾斜角为,可得斜率k=tan则，故选B【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查齐次式的计算，属于基础题.4．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道；“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续两天内，至少有一天出现大潮的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，至少有一天出现大潮包括恰有一天出现大潮与两天都出现大潮，分别计算然后相加即可得到结果.【详解】因为沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则至少有一天出现大潮包括恰有一天出现大潮与两天都出现大潮，所以概率为.故选:B5．已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设是线段的中点，将转化为用来表示，结合两点间的距离公式求得正确答案.【详解】设，设是线段的中点，则，表示点与点两点间的距离的平方，由于在圆内，所以，所以，所以，所以.故选：A6．已知三个不同的平面，，和三条不重合的直线，，，则下列说法错误的是（    ）A．若，且，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，，则【答案】C【分析】利用面面垂直的判断定理与性质定理判断A；利用面面垂直的判定定理可判断B；利用线面，线线的位置关系可判断C；由线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A，若，且，设，，则，，且，故，故A正确；对于B，，，，又，，故B正确；对于C，若，，则或异面，故C错误；对于D，若，，，，则，又，，，故D正确.故选：C7．已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，可得函数的对称性，进而得到周期性，整理函数值，可得答案.【详解】，为奇函数，即图象关于原点对称，，的图象关于直线对称，则函数的周期，由，则，即，则，由，则，即，故选：B.8．过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.【详解】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，，，的斜率为，又，，，所以，直线的方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知数列满足，，，则（    ）A．是等比数列 B．C．是递增数列 D．【答案】ACD【分析】根据给定条件探求数列的特性，再逐项分析计算判断作答.【详解】数列满足，，，则，，数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；，则，B不正确；，则，是递增数列，C正确；，当时，，则，当时，，当时，，即，，D正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.10．已知过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ）A．的最大值为4B．的最小值为2C．点到直线的距离的最大值为D．的面积为【答案】AC【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.【详解】解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，又由点在圆内部，因为过点的直线与圆交于两点，所以的最大值为，所以A正确；因为，当直线与垂直时，此时弦取得最小值，最小值为，所以B错误；当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，且最大值为，所以C正确；由，可得，即，所以的面积为，所以D错误.故选：AC.11．设函数，下列说法中，正确的是（    ）A．的最小值为B．在区间上单调递增C．函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称【答案】ABC【分析】先化简得到，从而得到的最小值为，A正确；B选项，由得到，整体法得到在区间上的单调性；C选项，根据平移变换和伸缩变换得到变换后的解析式，C正确；D选项，求出平移后的解析式，判断其图象不关于y轴对称.【详解】，当，即时，的最小值为，A正确；时，，由于在上单调递增，故在区间上单调递增，B正确；函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到，C正确；将函数的图象向左平移个单位，所得函数为，当时，，故不关于y轴对称，D错误.故选：ABC12．已知正方体中，点P在侧面及其边界上运动，则（    ）A．当时，直线与平面所成角的正弦值为B．当时，异面直线与所成角的正切值为2C．当时，四面体的体积为定值D．当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决空间中角度和距离问题.【详解】设正方体棱长为1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，对于 A：当时有，，，，，，，是平面的一个法向量，，所以直线与平面所成角的正弦值为，A选项正确；对于B： 当时，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，可得异面直线与所成角的正切值为， B选项错误；对于C：因为，且，所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，当时，点在上运动时，则点到平面的距离不变，所以四面体的体积为定值，C选项正确；对于D：由正方体的特征可知，点到平面的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离即为点到点的距离，当点到平面的距离等于到直线的距离时，由抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．故选：ACD.【点睛】思路点睛：涉及空间中的动点，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量解决相应的角度和距离等问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量，若，则_____．【答案】0.8【分析】正态曲线关于直线 ，即 对称，根据其对称性，即可求出答案.【详解】因为，若，所以，根据正态曲线的对称性，可知.故答案为：0.814．二项式的展开式中含项的系数为_____【答案】7【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于5，求出的值，即可求得含的项的系数．【详解】二项式的展开式中，通项公式为，令，解得，故含的项的系数是，故答案为：7．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】画出的大致图像，由图可知要使得有6个零点，则需满足从而可求出实数的取值范围【详解】解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以可作出的大致图象，如图所示．易知当时，有两个零点，一个零点为（不小于1），另一个零点为（小于1）．由图可知，要使得有6个零点，则需满足解得．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的综合，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养，解题的关键是画出函数图像，利用图像求解，考查数形结合的思想，属于较难题16．已知为双曲线右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为________．【答案】【分析】由双曲线定义，=，要使最小只需最小，利用已知最值建立关于a,b,c的方程可求.【详解】因为P在双曲线的右支上，所以（为双曲线的右焦点），=（当且仅当P在线段上时取等号）, 因为的最小值为，所以.不妨设为，由在上的射影为，所以，又，得，，.故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的计算，利用双曲线的定义将转化为是关键，利用连接两点的直线距离是连接两点的曲线距离中最小的建立a,b,c的方程,隐含条件,e>1不能忽视.四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区．（1）用来表示；（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.【答案】（1）； （2）当时，面积最小值为..【分析】（1）由题，则由可得答案；（2）由正弦定理得故，由基本不等式可求面积最小值.【详解】（1），.（2）由正弦定理，得当且仅当，即时等号成立. 解得.答：当时，该工业区的面积最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理，基本不等式等，属中档题18．（12分）已知正项数列，其前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）如果对任意正整数，不等式都成立，求证：实数的最大值为1.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）利用公式进行代入计算，化简整理可发现数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可得到数列的通项公式；（2）从两个方面分别计算出及．从而可得．【详解】（1）当时，，解得，或（舍）由得，，，即，也就是，，由于数列各项均为正数，所以，即.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，即，，，因为，所以，所以，所以，因为不等式对任意的正整数恒成立，即对任意的正整数恒成立，又当，则的最大值为1；【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及数列不等式的证明问题．考查了转化思想，分类讨论，放缩法的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．属于中档题．19．（12分）如图，在直角梯形中，，，，现将沿线段折成的二面角，设分别是的中点．(Ⅰ) 求证：平面；（II）若为线段上的动点，问点在什么位置时，直线与平面所成角为.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）取中点，连接，，易得，所以平面；（Ⅱ）分别以，，为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，设点M坐标，分别求出和平面的法向量，由直线与平面所成角为列方程解出点M坐标，从而确定点M的位置.【详解】解：（Ⅰ）证明：取中点，连接，，易得四边形为梯形，且在平面上，又，结合平面，平面，得平面； （Ⅱ）分别以，，为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，有，．设平面的法向量为，则根据，取，得到．设点，得，由题意知,即，解得．所以点在的中点时，与平面所成角为．【点睛】本题考查了直线与平面平行的证明，直线与平面所成的角，可用空间向量求解立体中夹角问题.20．（12分）某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：日最高气温（单位：）天数711由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.（1）求Y，Z的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由. 高温天气非高温天气合计旺销   不旺销   合计   附：0.0500.0100.0010旺销3.8416.63510.828【答案】（1），；（2）填表见解析；没有；答案见解析.【分析】（1）根据六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8，得到日最高气温高于的频率为，由求解. （2）根据列联表，利用求得，对照临界表下结论.【详解】（1）由已知得：日最高气温高于的频率为，所以，.（2） 高温天气非高温天气合计旺销不旺销合计因为，所以没有％的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为（1）求椭圆C的标准方程（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为①求四边形APBQ的面积的最大值②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．【解析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程；（2）①设点、，联立，整理得：，四边形的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值；②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数．【详解】（1）设椭圆的方程为．由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则，设直线的方程为，设点、，联立，整理得：，由，可得.由韦达定理知：，，四边形的面积，故当时，；②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，则.所以的值为常数．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在，上的最大值；（Ⅲ）若存在，，使得，证明：．【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求导，再令解得，从而由导数的正负确定函数的单调区间；（Ⅱ）讨论与，的关系，从而确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值即可；（Ⅲ）可判断出，，（e），；从而可得，，从而证明．【详解】解：（Ⅰ）函数，，令，解得，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在，上单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，需讨论与，的关系：①当，，即，时，在，上的最大值为；②当，即，时，由的单调性可知，在，上的最大值为；③当，即时，由的单调性可知，在，上的最大值为；综上所述，当，时，在，上的最大值为；当，时，在，上的最大值为；当时，在，上的最大值为；（Ⅲ）证明：，，，；，（e），；，，故．【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，同时考查了零点的判断与应用，属于难题．