河北省张家口市2023届高三下学期高考二模数学试卷(含答案)

河北省张家口市2023届高三下学期高考二模数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A.      B.

C.     D.

2、已知复数在复平面上对应的点为，则(   )

A.1     B.-1     C.     D.

3、已知点为圆上的动点，则直线与圆C的位置关系为(   )

A.相交     B.相离     C.相切     D.相切或相交

4、已知向量，若，则实数的值为(   )

A.0     B.1     C.-1     D.

5、2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为(   )

A.     B.     C.     D.

6、探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为(   )

A.     B.     C.     D.

7、欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：,.数列满足，其前项和为，则(   )

A.1024     B.2048     C.1023     D.2047

8、已知函数，若曲线上存在点使得，则实数m的取值范围是(   )

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题

9、中央广播电视总台《2023年春节联欢晩会》以温暖人心的精品节目､亮点满满的技术创新､美轮美奂的舞美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大䝳.某机构随机调查了18位观众对2023年春晩节目的满意度评分情况，得到如下数a,60,70,70,72,73,74,74,75,76,77,79,80,83,85,87,93,100，.若恰好是这组数据的上四分位数，则的值可能为(   )

A.83     B.84     C.85     D.87

10、将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若恒成立，则(   )

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象的对称中心为

C.函数在上的最小值为1，最大值为

D.函数的极小值点为

11、已知在棱长为1的正方体中，点P为下底面ABCD上的动点，则(   )

A.当P在对角线BD上运动时，三棱锥的体积为定值

B.当P在对角线BD上运动时，异面直线与所成角可以取到

C.当P在对角线BD上运动时，直线与平面所成角可以取到

D.若点P到棱的距离是到平面的距离的两倍，则点P的轨迹为椭圆的一部分

12、设函数在区间I上有定义，若，使得对于在区间I上的任意，当时，恒有，则称函数在区间I上一致连续.也就是说，若函数在区间I上一致连续，对于区间I内任意，只要，充分接近，那么与也能够充分接近，则下列结论正确的是(   )

A.函数在区间上一致连续

B.函数在区间上一致连续

C.函数在区间上一致连续

D.函数在区间上一致连续

三、填空题

13、已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为__________.（用数字作答）

14、函数的最小值为__________.

15、已知抛物线与轴的交点分别为A,B，点C的坐标为，若过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为，则__________.

16、已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线l交椭圆C于M,N两点，若，则椭圆C的离心率为__________.

四、解答题

17、已知数列的首项,为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

18、在锐角中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若.

（1）求A；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

19、如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，,,E,F分别为PC,PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.

（1）证明：平面PBC.

（2）若三棱锥的体积为，试问在直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ,EF所成角为，且满足？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由.

20、已知甲盒中装有大小质地完全相同的3个白球､2个红球，乙盒中装有大小质地完全相同的4个白球､1个红球.

（1）从甲､乙两盒中各任取两个球，记取出的球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（2）先从甲盒中任取两个球放入乙盒，再从乙盒中任取两个球，求从乙盒中取出两个白球的概率.

21、已知双曲线的一条渐近线为，右焦点为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点F作直线l交双曲线C的右支于P,Q两点，点M满足，求证：存在两个定点，使得为定值，并求出这个定值.

22、已知函数.

（1）若函数为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若函数的极值点为，求证：.

参考答案

1、答案：C

解析：由题意可得，于是，，因此.故选C.

2、答案：D

解析：由题意可得，于是，，故.故选D.

3、答案：C

解析：利用圆心距d和半径的关系来确定直线与圆的位置关系.由题意可得，于是，所以，两者相切.故选C.

4、答案：D

解析：由向量数量积的性质可得.于是，，即，所以，.故选D.

5、答案：A

解析：设地球的公转周期为，则火星的公转周期为.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为m，，则，于是，.故选A.

6、答案：B

解析：在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图，由题意可得.设抛物线的标准方程为，于是，解得.所以，抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.故选B.

7、答案：C

解析：根据欧拉函数的定义可得，,,一般地，.事实上，表示从1到的正整数中，与互质的正整数的个数，相当于去掉从1到的正整数中所有2的倍数的个数（共个数），因此，.所以，.故选C.

8、答案：D

解析：由题意可得，函数为增函数.若，则；同理，若，则，均与题设条件不符.由可得，且.因此，关于的方程在上有解，整理得在上有解.设，则为上的减函数，注意到，故，从而函数在上单调递增.所以，.因此，实数的取值范围是.故选D.

9、答案：ABC

解析：显然不是最小的数，也不是最大的数.由于上四分位数即第75百分位数，于是13.5，将这些数据按照从小到大排列后，第14个数为上四分位数.而除去后，从小到大排列得到的第13个数为83，所以的可能取值为83,84,85故选ABC.

10、答案：BC

解析：由题意，.将其图象向左平移个单位长度，得到函数，而恒成立，即函数为偶函数，于是,.又，所以，，因此，函数,.所以，函数的最小正周期为,A错误；由，即时，，因此，函数的图象的对称中心为，B正确；当时，，所以在上的最小值为1，最大值为，C正确；令，即为函数的极小值点，D错误.故选BC.

11、答案：AB

解析：当P在对角线BD上运动时，平面，从而点P到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，A正确；以D为原点，,DC,分别为轴x､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，由P在对角线BD上运动，，，,,于是,.假设存在点P满足异面直线与所成角为，因此，，解得.所以，异面直线与所成角可以取到，B正确；注意到直线平面，所以，平面的一个法向量为，于是，，解得.所以，C错误；注意到点P到棱的距离为PA，过点P作BC的垂线，垂足为H，则点P到平面的距离为PH，在平面ABCD内，动点P到定点A的距离与到定直线BC的距离之比为2，即动点P的轨迹在双曲线上，D错误.故选AB.

12、答案：BC

解析：对于选项A,，令，当充分大时，；另一方面，，不满足，因此，函数在上不一致连续.对于选项B，令，且，则，取，当，且时，，所以，函数在区间上一致连续.对于选项，取，,当时，有，因此，函数在区间上一致连续.利用题目给出的一致连续的定义，我们可以得到函数在区间I不一致连续的定义：对给定的某正数，不论取值多么小，总至少有，，满足，但，则称函数在区间I不一致连续.对于选项D，对给定的,,充分小，不妨设，取，则，但，这说明，函数在区间上不一致连续.故选BC.

13、答案：-160

解析：由题意可得，于是，.设第项为常数项，则，即，解得.所以，该展开式的常数项为.

14、答案：1

解析：函数的定义域为.由复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增.而,.所以，函数的最小值为1.

15、答案：1

解析：由题意可得，点C在抛物线上，且点D在轴上方，即.设过A,B，C三点的圆的方程为.令，则有；令，则有.设A,B的横坐标分别为，则，也为方程的根，由韦达定理可得，；同理，-3,b为方程的根，由韦达定理可得.因此，，即.

16、答案：

解析：如图，由，可得，又，故，且.设，则，而，于是.由椭圆的定义可知，，即.延长交椭圆C于点Q，连接，则由椭圆的对称性可知，.又，故，即为等腰三角形，于是，.在中，设，由余弦定理可得，即.所以，椭圆C的离心率为.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意，当时，.

当时，.又，

所以，当时，有，即.

这表明从第二项起，数列是以为首项的常数列，即.

所以，数列的通项公式为

（2）由（1）可得，,.

当时，，

所以，.

综上所述，对，都有.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）由，得，

即，

又，所以.

因为，所以，.

（2）由题意可得恒成立.

由余弦定理可得，于是，.

所以，则，

由正弦定理得.

在锐角中，，则，且B,，故，

所以，所以

因此，，

于是，.所以，实数的取值范围是.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）由题意可得，，又平面ABC,平面ABC，所以，平面ABC.

又平面AEF，平面AEF与底面ABC的交线为l，所以，.

从而，，而平面PBC,平面PBC，所以，平面PBC.

（2）由（1）可知，在底面ABC内过点A作BC的平行线，即平面AEF与底面ABC的交线l.

由题意可得，即.

故的面积.

设，点P到平面ABC的距离为h，则，于是.

注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC的中点记为D，连接PD，则，

从而平面ABC.

取AB的中点记为M，连接DM，则.

于是，以D为坐标原点，DA,DM,DP所在直线分别为轴x､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，

则,,,,，设.

于是，,,.设平面AEF的法向量为，则，

，即取，，则，即.

又直线PQ与平面AEF所成角为，于是，

而异面直线PQ,FE所成角为，于是，

假设存在点Q满足题设，则，整理得.

所以，这样的点Q存在，且有.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

表示从甲､乙两盒中取出的都是白球，故；

表示甲盒中取出1个白球1个红球､乙盒中取出2个白球或甲盒中取出2个白球､乙盒中取出1个白球1个红球，故；

表示从甲盒中取出2个红球､乙盒中取出1个白球1个红球，故.

于是，.

所以，随机变量X的分布列为

数学期望为.

（2）设事件从甲盒中取出两个红球，事件从甲盒中取出两个白球，事件从甲盒中取出一个红球一个白球，事件B：从乙盒中取出两个白球.

则,,两两互斥，且.

且,,,

,,,于是

所以，从甲盒中任取两个球放入乙盒后，从乙盒中取出两个白球的概率为.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意可得，即.

又，即，所以，,.

因此，双曲线C的方程为.

（2）设点，设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，整理得，

则，整理得.

由根与系数的关系得，于是，

注意到，于是，解得.

又点M满足，即整理得

于是消去m得.

因此，点M的轨迹是以,为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，

由双曲线的定义可知，存在两个定点，使得.

22、答案：(1)

(2)见解析

解析：（1）函数的定义域为.

由题意，.

若函数为上的单调函数，则在上恒非正或恒非负.又为开口向上的抛物线，从而知在上恒非正，

即在上恒成立，于是，，解得，.

所以，函数为上的单调递减函数时，实数的取值范围是.

（2）若函数的极值点为，则，是方程的两个不等正实根，从而，解得

不妨设，则，且在，上单调递减，在上单调递增，从而为极大值点，为极小值点.

因此，.

所以，原不等式等价于，

整理得其中.

设，则，且，

则不等式等价于，其中，

整理得，其中，

即，其中，

设，由，得，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

于是，当时，取得最大值0，从而，，当且仅当时取等号.

而，所以，其中.

所以，原不等式成立，即.