2021届河北省张家口市、沧州市高三下学期数学二模试卷及答案

这是一份2021届河北省张家口市、沧州市高三下学期数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
2.设 且 ，假设复数 是实数，那么 〔    〕
A. 9                                           B. 6                                           C. 3                                           D. 2
3.假设 ， ，那么 〔    〕
A. -2                                        B. 2                                        C.                                         D. 
4.双曲线 的一个焦点到渐近线的距离为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 2
5.设平面向量 ，假设 ， ，那么 〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 9                                           D. 6
6.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2021年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型： ，其中t表示经过的时间， 表示 时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2021年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2021年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为〔    〕( ， )

7.在三棱柱 中，侧棱 底面ABC.所有棱长都为1，E，F分别为棱BC和 的中点，假设经过点A，E，F的平面将三棱柱 分割成两局部，那么这两局部体积的比值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
8.对于任意 ，总存在三个不同的实数 ，使得 成立，那么实数a的取值范围是〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
二、多项选择题
9.直线 与圆 ，那么以下说法中正确的选项是〔    〕
A. 直线l与圆M一定相交                                          B. 假设 ，那么直线l与圆M相切
C. 当 时，直线l与圆M的相交弦最长          D. 圆心M到直线l的距离的最大值为
10.2021年7月18日，教育部公布了修订的?国家学生体质健康标准?.学生体测成绩到达或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图.

由直方图推断，以下选项正确的选项是〔    〕



D. 由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%
11. ，那么以下选项一定正确的选项是〔    〕
A.                   B.                   C.                   D. 
12.同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作?孙子算经?中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，假设a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为 .那么以下选项中正确的选项是〔    〕
A. 假设 ，那么
B. 
C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么
三、填空题
13.随机变量 ，假设 ，那么 ________.
14.已如点 ，F为抛物线 的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，假设 ，那么k2的取值范围是________.
15.某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如下列图，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，那么该模其体积的最小值为________.

16.当 时，函数 取得最大值为________，且 ________.
四、解答题
17. 是数列 的前n项和，且 ， .
〔1〕证明数列 是等比数列，并求数列 的通项.
〔2〕是否存在整数k，使得 ？假设存在，求出k的最小值，假设不存在，请说明理由.
18.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
〔1〕求B；
〔2〕假设 ， ，求 的面积.
19.某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的 列联表：

父母接送
单独到校
合计
男
20
40
60
女
30
20
50
合计
50
60
110
附表：












附：
〔1〕根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？
〔2〕假设以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X表示6人中“单独到校〞的人数，求X的数学期望和方差.
20.如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ， .

〔1〕证明： ；
〔2〕假设异面直线PB与CD所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值.
21.函数 .
〔1〕当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
〔2〕假设 恒成立，求实数a的取值范围.
22. ， ，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 ，设动点P的轨迹为曲线 .抛物线 与 在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线 于点B.交抛物线 于点E(点B，E不同于点A).
〔1〕求曲线 的方程.
〔2〕是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？假设存在，求出p的最大值；假设不存在，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以 ， ，
故答案为：B.

【分析】解绝对值不等式得出集合B，然后再进行交集的运算即可。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又 ，所以 .
故答案为：C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简:， 再由虚部为0求得a2。
3.【解析】【解答】
，所以 ，解得 或 ，又 ，所以 .
故答案为：A

【分析】把等式两边平方，然后两边同时除以,化为正切函数，即可求出。
4.【解析】【解答】设双曲线的一条渐近线方程为 ，
右焦点坐标为 ，又 ，
那么焦点到渐近线的距离为 ，
故答案为：C.

【分析】先求双曲线的一条渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算结果。
5.【解析】【解答】 .
故答案为：D

【分析】由向量的模长公式计算  ，再由向量的数量积公式计算即可。
6.【解析】【解答】由马尔萨斯模型，得 ，即 ，
所以我国2021年末的全国总人口数 (亿).
故答案为：A.

【分析】利用马尔萨斯模型可得：， 可解得， 由此即可求解.
7.【解析】【解答】如图，平面AEF与 交于点G，且 ，故 为三棱台，

因为 ，所以 ， ，
所以棱台 的体积：
，
三棱柱 的体积 ，所以 ，
故答案为：D.

【分析】由题意找出过A、E、F三点的平面，然后求解 三棱柱 体积和棱台 的体积，进而求得两局部体积比。
8.【解析】【解答】由 ，得 ，设 ， .
因为 ，故当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，所以 .
因为 ，故当 时， ，当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减，且 ，
函数 在 上的图象如以下列图所示：

要总存在三个不同的实数 ，使得 ，
只要 且 ，所以 .
故答案为：B.

【分析】把原方程变形，构造函数 ，， 分别利用导数求最值，结合题意可得关于a的不等式，进而求解a的范围.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】 ，即 ，是以 为圆心，以1为半径的圆，
A.因为直线 ，直线l过原点， ，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；
B.假设 ，那么直线 ，直线l与圆M相切，故正确；
C.当 时，直线l的方程为 ，过圆M的圆心，故正确；
D.由点到直线距高公式，知 (当 时，等号成立).故正确，
故答案为：BCD.

【分析】求出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可判断A,B。
关于C项，可验证K=-1时直线过圆心，此时相交弦最长。
关于D项，将圆心到直线的距离公式整理， 利用均值定理求解最值。
10.【解析】【解答】A：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1.
频率=(频率/组距)×组距，
，解得 ，A符合题意；
B：直方图的众数是频率最高组的中点，即 ，B符合题意；
C：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x，
那么 ，
解得 ，C不符合题意；
D：由图可知.成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：
，
D不符合题意.
故答案为：AB

【分析】利用频率分布直方图中的数据信息，结合概率统计相关知识，众数，中位数的知识逐一分析选项即可。
11.【解析】【解答】由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，A符合题意；
因为 ，
所以 ，B不符合题意；
因为 ，又 ，所以 ，C符合题意；
因为 ，又 ，所以 ，D符合题意，
故答案为：ACD.

【分析】先求出， 然后利用根本不等式判断ACD,再把变形，得,再用根本不等式判断B。
12.【解析】【解答】假设 ，那么 或 ，故 ，A符合题意；
因为 ，所以 被3除得的余数为1，56被除得的余数为2，B不符合题意；
由 得 ，由 得 ，
， 被m除得的余数为2，而 被m除得的余数为3，C不符合题意；
假设 ，那么 ，
，
，
所以 ，D符合题意，
故答案为：AD

【分析】利用a和b对模m同余的定义，对四个选项中的命题进行逐一分析判断即可。
三、填空题
13.【解析】【解答】由 ，得 ， ，
所以 .


【分析】由正态分布曲线的对称性，容易求出结果。
14.【解析】【解答】由题意，知 ，设 ， ，直线l的方程为 ，
由 得 ，
所以 ， .
由 ，得

又 ， ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，故 .
故答案为：(0，4]

【分析】 由题意知，F (1, 0)，设A (X1,y1)，B (x2 ， y2) ，直线l的方程为x=my+1,联立直线方程与抛物线方程,化为关于y的一元二次方程，利用根与系.数的关系及数量积的坐标运算可得关于m的不等式，求得m的范围，进一步 可得k2的取值范围.
15.【解析】【解答】设中空圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，
那么 ， ，

中空圆柱的体积 ．
，可得当 时， ，当 ， 时， ，
那么当 时， 取得最大值为 ，
又毛坯的体积为 ，
该模具体积的最小值为 ．
故答案为： ．

【分析】设中空圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为，  利用，得出 ，把圆柱的体积用含h的代数式表示，利用导数求其最大值，即可求得模具体积的最小值。
16.【解析】【解答】 ， ，
当 ，即 时， 的函数值最大，
故 ，
.
故答案为： ；2

【分析】化简， 当 ，即 时， 的函数值最大，可得 ， 再求  值。
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)、首先利用关系式的变换和等比数列的定义的应用求出数列 公比 进而求得
通项公式。
(2)、利用 (1) 的结论，进-步求出数列的和，求解S9  ,S10值，进一步求出k的最小值.
18.【解析】【分析】 由正弦定理及  可得， 利用两角和的正弦公式得tanB=-1，可得B角值。由余弦定理求解c值，进而利用面积公式求解结果。
19.【解析】【分析】 〔1〕根据列表中的数据 求出K2,进行比较判断。
〔2〕转化为独立重复试验，根据二项分布求均值和方差，可得出结果。
20.【解析】【分析】〔1〕证明AD垂直于PB所在的平面即可证明 。
〔2〕利用法向量和向量的数量积计算二面角的平面角的余弦值。
21.【解析】【分析】 (1)代入a的值，求出函数的导数，计算f (1), f'(1)，求出切线方程及切线与坐标轴的交点，从而求出三角形的面积;
(2)将问题转化为 ex+e-x -ax2-2≥0恒成立，令, 根据函数的单调性, 在    和  范围内讨论   是否成立，求出a的取值范围即可.
22.【解析】【分析】 (1)设动点P(x,y),由   ，    得   ,化简即可得出答案.
(2)设A(x1 ， y1), B(x2, y2)，E(x0 ， y0),直线l:y= kx + m(k≠0,m≠0),联立直线L与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+ x2,进而可得线段AB的中点E的横坐标  ，联立直线l与拋物线的方程，结合韦达定理可得   ,解得 ,联立椭圆与抛物线的方程，得  ，再求出p的最大值.