2023届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份2023届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则(   )A. B. C. D.2、已知集合，，若，则(   )A. B. C. D.3、已知命题P的否定为“，”，则下列说法中正确的是(   )A.命题P为“，”且为真命题B.命题P为“，”且为假命题C.命题P为“，”且为假命题D.命题P为“，”且为真命题4、世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为(   )A. B. C. D.5、执行如图所示程序框图，则输出的S的值是(   )A. B. C. D.6、下列函数中，定义域和值域不相同的是(   )A. B. C. D.7、已知向量，，且，则实数的值为(   )A.8 B. C.4 D.8、已知焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是(   )A. B.2 C. D.9、如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为(   )A. B. C. D.10、已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是(   )A.-2 B. C. D.111、为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示.若图中，，且，则(   )A.44 B.66 C.88 D.11012、曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(   )A. B.C.  D.二、填空题13、总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_________.7816  6572  0802  6314  0702  4369  1128  059814、在等比数列中，、是函数的极值点，则_________.15、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________.16、若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.三、解答题17、已知为等差数列的前n项和，，.(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，证明：.18、某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；(3)如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名(按照从大到小排序)分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(不用说明理由).19、已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点.(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点.20、如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.(1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；(2)若，，点，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角夹角的余弦值.21、已知函数.(1)若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；(2)若，设.①求证：当时，；②设，求证：.22、[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数，常数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为.(1)写出C的极坐标方程和l的直角坐标方程；(2)若直线和C相交于A，B两点，以为直径的圆与直线l相切，求的值.23、[选修4-5：不等式选讲]已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为2，且，求的最小值.
参考答案1、答案：A解析：依题意，，则，所以.故选：A.2、答案：D解析：由题意可知，，即，所以，所以，.故选：D.3、答案：C解析：命题P的否定为特称命题，P：，，当时，，P为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.4、答案：B解析：不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数，其和为奇数包含的基本事件有：，，，，，，共6个，所以.故选：B.5、答案：B解析：由题意可知，流程图的功能为计算的值，裂项求和可得：.故选：B.6、答案：D解析：对于A：函数的定义域为R，值域也为R，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为R；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D.7、答案：A解析：因为，，.所以.所以.故选：A.8、答案：A解析：由题意设一条渐近线的倾斜角为，，则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，，则一条渐近线的斜率为，设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，故离心率为，故选：A.9、答案：C解析：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①由题意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的体积，大球缺的体积，所以小球缺与大球缺体积之比为.故选：C.10、答案：B解析：由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B.11、答案：B解析：，即，所以，，解得，故选：B.12、答案：B解析：由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，由得：或，由得：或或或，由此可得曲线的图象如图所示，由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；实数m的取值范围为.故选：B.13、答案：11解析：由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：11.14、答案：2解析：，由题，是方程的两个不等实根，则由韦达定理，，所以，，又是，的等比中项且与，同号，则，.故答案为：2.15、答案：解析：如图所示，把展开图恢复到原正方体.连接AE，BE.由正方体可得且，四边形ADCE是平行四边形，.或其补角是异面直线AB与CD所成的角.由正方体可得：，是等边三角形，.异面直线AB与CD所成的角是60°.故答案为：60°.16、答案：1解析：设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则，是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点，关于直线对称，从而，，所以.故答案为：1.17、答案：(1)(2)见解析解析：(1)由设数列的公差为d，则，解得，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；(2)由，可得，所以，又，故.18、答案：(1)(2)分布列见解析，(3)3月3日解析：(1)令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故.(2)由(1)知：，，，，X的分布列为：X012P；(3)根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，(单位：千步)区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)因为抛物线C过点，，解得，抛物线C的标准方程为.(2)设，，直线l的方程为，，联立，化为，，，，，，，，解得，满足，直线l的方程为，直线过定点.20、答案：(1)当点D为的中点时，平面，证明见解析(2)二面角夹角的余弦值为解析：(1)当点D为的中点时，平面，证明如下：因为O，D分别为，的中点，则，平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又，所以平面平面，由于平面，所以平面.(2)由题意，是的直径，得，又，则，，由于，，两两垂直，点，A，B，C都在半径为的球面上，则，可得，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则，，，，得，，设为平面的一个法向量，则，得，又为平面的一个法向量，设二面角夹角为，则，所以二面角夹角的余弦值为.21、答案：(1)存在，(2)①证明见解析②证明见解析解析：由题可知，.(1)由，可得，.又当时，，故在区间单调递减，在单调递增.故函数在处取得极值，所以.，.，当时，由上述讨论可知，单调递增，故，不等式对任意及恒成立，即：，即：对恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即为所求.(2)①，，当时，，在上单调递减，即证.②由①可得：令：，得，即：，即证.22、答案：(1)C的极坐标方程为，，，l的直角坐标方程为(2)解析：(1)将曲线C的参数方程消去t，得C的普通方程为，且因为，所以，将，，，，代入，得，即，，，即为C的极坐标方程，由直线l的方程化简得，化简得，即为l的直角坐标方程.(2)将直线代入，得，即，.故以为直径的圆圆心为O，半径.圆心O到直线l的距离，由已知得，解得.23、答案：(1)(2)9解析：(1)当时，等价于，当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，不等式的解集为.(2)，当且仅当等号成立，，即，，，，当且仅当，即，即，时，等号成立，故的最小值为9.