2022年全国乙卷数学（理科）高考真题文档版（原卷）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

数学(理科)

注意事项：

1.    答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.    回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.    考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。

1.    设全集t/ = {1,2,3,4,5),集合W满足久A/={1，3}，则( 〉

1.    2gA/ B. 3gM C. 4茫M D.

2.     己知z = l-2i，且z + a7 + Z? = 0,其中a，b为实数，贝ij ( )

1.    a = 1,Z? = —2 B. a = —l,b = 2 C. a = 1,Z> = 2 D. a = —1,/? = —2

3.     己知向量a，办满足\a\=Ub\= y/3,\a-2b\=3,则a h=( )

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

4.     嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的 人造行星，为研宄嫦娥二号绕曰周期与地球绕日周期的比值，用到数列^=1 + —，

a\

b2 = \ + 一 ，b3 = \ +----—........依此类推，其中 aAeN*U = l,2,...).则

A. b、<b5 B. b3 <b^ C. b6<b2 D. b4 <b7

5.    设F为抛物线C:/=4x的焦点，点A在C上，点5(3,0)，若\AF |=| BF\,则\AB\= ( )

A. 2 B. 2>/2 C. 3 D. 3a/2

6.    执行下边的程序框图，输出的( )
   

7.                 在正方体ABCD-^QD,中，E，F分别为AB.BC的中点，则(

A.平面尽丄平面BDD} B.平面B/F丄平面A}BD

C.平面BXEF//平面\\C D.平面B{EF//平面A.QD

8.    已知等比数列的前3项和为168，a2-a5=42,则a6=( )

A. 14 B. 12 C. 6 D. 3

9.    己知球0的半径为1，四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球0的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为( )

1                                  1 >/3 >/2

— B. — C. ---------- D.---------

3 2 3 2

10.   某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为p'，p2，p3,且P3>p2>Pi>0.记该棋手连胜两盘的概率为 P，则(              )

A. p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11.   双曲线C的两个焦点为7*,F2,以C的实轴为直径的圆记为D，过/^作口的切线与C

交于抓N两点，且cosZ^W=|,则C的离心率为( 〉

A. B. 2 C.亟 D. 2^

2                                         2 2 2

12.   己知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R，且 f(x) + g(2 -x) = 5,g(x) - /(x-4) = 7.若

22

y = g(x)的图像关于直线x = 2对称，名(2) = 4,则［/’(幻=( )

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社E服务工作，则甲、乙都入选的概率为       

14.过四点(0,0)，(4,0)，(-1，1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为          

为的零点，则份的最小值为                .

16.    己知x = x,和x = x2分别是函数/(x) = 2a'-ex[1] [2] (a〉0且a^l )的极小值点和极大 值点.若x'<x2,则a的取值范围是               .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求 作答.

(一)必考题：共60分.

17.    (12 分)

记 AABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A-B) = sinBsin(C — A).

(1)        证明:2a2=b2+c2；

(2)        若a = 5,cosA =—,求/\ABC的周长.

31

18.    (2 分)

如图，四面体ABCD中，AD丄CD，AD = CD，ZADB = ZBDC，E为AC的中点.

10 10 10

并计算得K =0.038,^>^2 =1.6158,=0.2474 .

i=l i=l i=l

（1） 估计该林区这种树木平均• •棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2） 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）：

（3） 现测量丫该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为186m2.己知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数厂=卜广 ” Jl.896^ 1.377.

V /=l r=l

20.     （12 分）

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为A•轴、>，轴，且过-j，一lj两点.

（1）求£的方程；

（2）设过点P（l,-2）的直线交E于A/，N两点，过A/且平行于J轴的直线与线段交于

点T，点H满足MT = TH.证明：直线过定点.

21.     （12 分） 己知函数/（x） = ln（l+x） + axe r.

（1）当a = l时，求曲线y = f（x）在点（0,/（0））处的切线方程;

（2）若在区间（-1,0）,（0,4oo）各恰有一个零点，求a的取值范围.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,

则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，己知直线/的极坐标方程为psin^ + ^j + w = 0.

（1）写出/的直角坐标方程;

（2）若/与C有公共点，求/n的取值范围. 23.［选修4-5:不等式选讲］（10分〉

2022年普通髙等学校招生全国统一考试

数学（理科）

参考答案

注意事项：

1.     答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.     回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.     考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.

1.A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C I0.D 11. C 12. D

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

三、解答题：共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求 作答.

(-)必考题：共60分.

17.

(1)

证明：因为sinCsin(i4-B) = sinBsin(C-i4),

所以 sin Csin A cos B-sin Csin Bcos A = sin Bsin Ceos A-sin Bsin A cos C，

aW b2+c2-a2 u a2+b2-c2 ac------2bc------------= —ab 

lac 2bc 2ab

(2)

25 解：因为a = 5,cosA = —,

由(D 得 Z?2 + c2 = 50，

由余弦定理可得a2 =b2 + c2 - 2Z?ccos A， 则 50 — |^加=25，

所以bc = —，

2

故(Z?+c)2=Z?2+t.2+2Z?c = 50+31 = 81， 所以b+c = 9,

所以^ABC的周长为a+Z?+c = 14.

18.

(1)

因为AD = CD, £为AC的中点，所以AC丄D£;

在ZXABD和aCBD中，因为AD = CD.ZADB = ZCDB,DB = DB, 所以所以AB = CB,又因为£为?1(7的中点，所以AC丄BE: 又因为DE，BE［平面B£D，DEr>BE = E，所以AC丄平面BED，

因为ACc平面ACD,所以平面BED丄平面ACD.

(2)

连接由(1)知，AC丄平面BED，因为EFc平面BED，
所以AC丄£F，所以Saafc=^AC EF,

当EF丄BZ）吋，EF最小，即△AFC的面积最小. 因为所以 CB = AB = 2, 又因为ZACB = 60°,所以a ABC是等边三角形， 因为E为AC的中点，所以AE = EC = \, BE = ^，

因为AD丄CD,所以DE = -AC = \,

2

在 &DEB 中，DE2 + BE2=BD2^ 所以 BE丄 £>£.

以£为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，

则 A（1，O,O），B（O，W，O），D（O,O，1），所以涵=（—1，0，1），屈=（一1，力，0），

设平面ABD的一个法向量为w = （x,）\z）,

n- AD = —x+ z = 0 - / i- \

= 取 则 H3,及3），

设CF与平面 _ 所成的角的正弦值为沒|^0

所以 sin 0 = |cos〈n，CF^| = ，

19.

(1)

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=^- = 0.06 3 9

样本中10棵这种树木的材积量的平均值y = —= 0.39

据此吋估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m[3] [4],

平均一棵的材积量为0.39m[5]

(2)

10 10

则该林区这种树木的总材积量佔计为1209m3

20.

(I)

/ 3

解：设椭圆£的方程为mx2+ny2=l,过A（0，-2），B 了, —1，

，解得'W = 士，« =— 3 4

所以楠圆醐程为:4+r

(2)

A(0，-2)，B(|，-l)，所以AB:y+2 = |x,

①若过点尸（1，_麵线斜率不存在’直线a.代44=1’

可得似（1，¥），代入方程y = jx—2,可得

②若过点尸（I，-2）的直线斜率存在，设以一 y - （炎+ 2） = 0, M （x,，力），，y2）.

% :P (h2)，

3妁 + 6 - Xj - x2

将(0,-2)，代入整理得2(x, + x2)-6(^ +y2) + x}y2 + x2y, -3y,y2 -12 = 0，

将(*)代入，得 24众 +12k2 +96+48人 一 24k-48 -48々 + 24々2 - 36k2-48 = 0,

显然成立，

综上，可得直线H/V过定点(0,-2).

21.

(1)

/（幻的定义域为（—l，+oo）

X

当 a = 1 时，f(x) = ln(l + %)+—, f(0) = 0，所以切点为

(0,0)/(x) = -^- + ^1 f (0) = 2 ,«f 以切线斜率为 2

所以曲线y = fM在点(0, /(0))处的切线方程为y = 2x (2)

/(x) = ln(1+x) + ^

/(x) =丄+心戶 ♦’)

1 + x ex (l + x)ev

设 ^(x) = ev+a(l-x2)

f 若 a〉0,当 xe(-l，0)，发(x) = er+a(l-?)〉O,即 /'W〉0 所以/⑴在(-1,0)上单调递增，/(x) < /(O) =0

故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

f 若-啜fc 0，当又e(0,-Foo)，则g\x) = ev-2ar>0 所以gW在(0, -ko)上单调递増所以g(x) > g(0) = 1 + a.. 0，即f'(x) > 0 所以/⑺在(0, +oo)上单调递增，f(x) > /(0) = 0 故/(x)在(0, +X)上没有零点，不合题意

y 若 a<-l

(1)当 XG(0,+oo)，则〆(X) = eA-2ax> 0，所以 gM 在(0, +co)上单调递增 发(O) = l + a<O，g(l) = e〉O

所以存在me (0,1)，使得g(m) = 0,即f⑽=0

当 XG(0, w), f '(x) < 0, f(x)单调递减

当 XG(/n, +00)，f (x) > 0, f(x)单调递增

所以

当 x€(0,m),/(x)</(0) = 0

当 X -> +O0, /(-V)-> -KO

所以/(-r)在(m,-Ke)上有唯一零点

又(0, W)没有零点，即/(x)在(0, +co)上有唯一零点

⑵当 X G (― 1，0), ^(x) = ev + 6/(l-x2)

设h(x) = g(^ = e -2cix

h\x) = e-2a>0

所以#V)在(-1,0)单调递增

/(—1)=丄+ 2a<0，g(0) = l>0

e

所以存在1，0)，使得〆㈨=0

当 jr e (-1,72),容’(x) < 0, g(x)单调递减

当 xg(h,0), g・(x) > 0, g(x)单调递增，发(x)〈名(0) = 1 + a < 0

又 ^(-D = ->o

e

所以存在 /g(-1, n)，使得 g(r) = 0，即 f(t) = 0

当xg(-1, t\ f(x)单调递增，当x e (f，0)，f(x)单调递减

有 x->-l,/(x)->-00

而 /(0) = 0.所以当 e (r，o)，f(x) > 0

所以/⑴在(-1,0上有唯一零点，(r，O)上无零点

即/⑶在(-1,0)上有唯一零点

所以a<-\,符合题意

所以若在区间(-1，0)，(0，+«))各恰有•个零点，求a的取值范围为(-oo,-I)

(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则 按所做的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程1

整理得/的直角坐标方程：y/3x+y + 2m = 0

(2)

联立/与C的方程，即将x = >/3cos2^ J = 2sin/代入 V3x+y + 2/w = 0中，可得3cos2/+2sinr+2m=0， 所以 3(1 - 2 sin2 r) + 2 sin r + 2w = 0,

化简为-6sin2r + 2sinr + 3 + 2/n = 0»

要使/与C有公共点，则2w = 6sin2卜2sin卜3有解， 令sinf = a，则 «e[-l,l],令 f(a) = 6a2-2a-3f (-l^a^l), 对称轴为a = j，开口向上，

6

所以 / ⑷ _=/(-1) = 6 + 2-3 = 5，

19 5

"的取值范围W兮

I选修4-5:不等式选讲J

证明：因为a〉0，b>0, c>0,则 j〉0，/3〉0

(2)

证明：因为a>0，b>0, c〉0，

所以b + c> 2-Jbc， a + c> 2\[ac， a + b> 2^[ab，

3 3 3

所以 a 幺 a = a2，b b = b2 t c c = c2

b + c 2\fbc 2>labc a + c 2\[ac 2\[abc a + b 2\[ab 2 V cibc

a b c ---1---1  b+c a+c a+b 当且仅当a = b = c时取等号.

19. (12 分)

某地经过多年的环境治理，己将荒山改造成了绿水青山.为估计一林E某种树木的总材积量， 随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3), 得到如卜数据：

[1] 证明：平面BED丄平面ACD；

[2] 设AB = BD = 2y^ACB = 60°,点F在上,当△AFC的面积最小时，求CF与 平面所成的角的正弦值.

0.2474-10x0.06x0.39 0.0134 0.0134

7(0.038 -10 x 0.062 )(1.6158 -10 x 0.392) "0.0001896 ~ 0.01377 〜 则r尨0.97

[5]

设该林区这种树木的总材积量的估计值为ym3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，