2021全国乙卷理科数学及答案

这是一份2021全国乙卷理科数学及答案，共10页。试卷主要包含了在区间等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.∅
B.S
C.T
D.Z
3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬(pVq)
4.设函数f(x)=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A.π2
B. π3
C. π4
D. π6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（ ）
A.sin(x2-7π12)
B. sin(x2+π12)
C. sin(2x-7π12)
D. sin(2x+π12)
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）
A. 74
B. 2332
C. 932
D. 29
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A：表高×表距表目距的差+表高
B：表高×表距表目距的差-表高
C：表高×表距表目距的差+表距
D：表高×表距表目距的差-表距
10.设a≠0，若x=a为函数fx=ax-a2x-b的极大值点，则（ ）.
A：a＜b
B：a＞b
C：ab＜a2
D：ab＞a2
11.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足PB≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）.
A：22,1
B：12,1
C：0,22
D：0,12
12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则（ ）.
A：a＜b＜c
B：b＜c＜a
C：b＜a＜c
D：c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线C：x2m-y2=1（m>0）的一条渐近线为3x+my=0，则C的焦距为 .
14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 。
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22
求x，y， s12，s22；
判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥2s12+s222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
求BC；
求二面角A-PM-B的正弦值。
19.（12分）
记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知2Sn+1bn=2.
证明：数列{bn}是等差数列；
求{an}的通项公式.
20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
求a；
设函数g（x）=x+f（x）xf（x），证明：g（x）＜1.
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷（参考答案）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
1-5 CCABD
6-10 CBBAD
11-12 CB
13.4
14.35
15.22
16.②⑤或③④
17.解：（1）各项所求值如下所示
x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
s12=110x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,
s22=110 x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.
(2)由(1)中数据得y-x=0.3,2s12+s2210≈0.34
显然y-x＜2s12+s2210，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以DA, DC, DP分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（t2，1，0），P(0,0,1),所以PB=（t，1，-1），AM=（-12，1，0），
因为PB⊥AM，所以PB•AM=-t22+1=0，所以t=2，所以BC=2。
（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于AP=（-2，0，1），则
m•AP=-2x+z=0m•AM=-22x+y=0
令x=2，得m=（2，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则
n•CB=2xt=0n•PB=2xt+yt-zt=0
令yt=1，得n=(0,1,1).
所以cs（m，n）=m•nm|n|=37 ╳2=31414,所以二面角A-PM-B的正弦值为7014.
19.（1）由已知2Sn+1bn=2,则bnbn+1=Sn(n≥2)
⇒2bn-1bn+1bn=2⇒2bn-1+2=2bn⇒bn-bn-1=12(n≥2),b1=32
故｛bn｝是以32为首项，12为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn=32+（n-1）12=n+22,则2Sn+2n+2=2⇒Sn=n+2n+1
n=1时，a1=S1=32
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)
故an=32,n=1-1nn+1,n≥2
20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则
f′(t)=-1-1t-[(-1)lnt+1-tt]=-1+1t+lnt-1-tt=lnt
所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0,得证。
21.解：（1）焦点F0,P2到x2+y+42=1的最短距离为P2+3=4，所以p=2.
（2）抛物线y=14x2，设A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则
lPA=y=12x1x-χ1+y1=12x1X-14x12=12x1x-y1,
lPB:y=12x2x-y2,且x02=-y02-8y0-15.
lPA, lPB都过点P(x0,y0）,则y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,故lAB:y0=12x0x-y，即y=12x0x-y0.
联立y=12x0x-y0x2=4y，得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4x02-16y0.
所以AB=1+x024⋅4x02-16y0=4+x02⋅x02-4y0 ，dP→AB=x02-4y0x02+4，所以
S△PAB=12AB⋅dP→AB=12x02-4y0⋅x02-4y0=12x42-4y032=12-y02-12y0-1532.
而y0∈-5,-3.故当y0=-5时，S△PAB达到最大，最大值为205.
22. (1)因为⊙C的圆心为(2,1)，半径为1.故⊙C的参数方程为x=2+csθy=1+sinθ（θ为参数).
(2)设切线y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故
|2k-1-4k+1|1+k2 =1
即|2k|=1+k2,4k2=1+k2，解得k=±33.故直线方程为y=33 (x-4)+1, y=-33 (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为ρsinθ= 33csθ - 433+1或ρsinθ= 33csθ + 433+1.
23.解：(l)a = 1时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.
当x≥1时，2x十2 ≥6,得x≥ 2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞,-4]U[2, -∞).
(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.
A≥-3时,2a+3>0，得a>-32；a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.
综上，a>-32.
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5