浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二下学期期中数学试题

2022学年第二学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，则n的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（    ）

A 1 B.  C.  D.

3. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 3 D. 5

4. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（    ）

A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8

5. 随机变量分布列为，其中是常数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 71 D.

7. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（    ）

A 2080 B. 2520 C. 3375 D. 3870

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列的首项为，前n项和为，下列说法正确的有（    ）

A. 若数列为等差数列，公差，则数列单调递增

B. 若数列为等比数列，公比，则数列单调递增

C. 若，则数列为公比为2的等比数列

D. 若，则数列为等差数列

11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（    ）

A. 三个不同零点 B. 上单调递增

C. 有极大值，且极大值为 D. 一条切线为

12. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第次取出的球是红球的概率为，数列前项和记为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 当无限增大，将趋近于 D.

三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 展开式中的系数为，则___________.

14. 杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列，比如，，，则数列的前n项之和为__________.

15. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第______个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.

（参考数据：，，，）

16. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，求证：.

18. 设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

19. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.

（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；

（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为，求n的值使得最大.

20. 函数，数则满足.

（1）求证：为定值，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.

21. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.

（1）若，求数学期望；

（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；

（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.

22. 已知函数，.

（1）若不是函数的极值点，求a的值；

（2）当，若有三个极值点，，，且，求的取值范围.