中考数学复习中考冲刺压轴题题组练(六)含答案

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中考冲刺压轴题题组练(六)

(针对中考试题：选择题第12题，填空题第16题，解答题第24题设置)
(时间：30分钟 满分：18分)
1．★(3分)如图，一条抛物线与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(点B在点A的右侧)，其顶点P在线段MN上移动，点M，N的坐标分别为(－1，2)，(1，2)，x1的最小值为－4，则x2的最大值为(B)
A．6 B．4 C．2 D．－2
第1题图

★(3分)在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图①所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图②所示的“L”形状，且成轴对称图形．裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知AB＝9，BC＝16，FG⊥AD，线段AF与EC的差值是9；FG的长度是6.
第2题图
3．(12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A(－1，0)，∴B(3，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将C(0，3)代入抛物线的解析式，则－3a＝3，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．如图，∵∠APB＋∠ACB＝180°，∴∠CAP＋∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，由(1)知OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P(0，－1)．
(3)存在．如图，由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴D(1，4)，
由抛物线的对称性可知E(2，3)，∵A(－1，0)，∴AD＝2eq \r(5)，DE＝eq \r(2)，AE＝3eq \r(2).∴AD2＝DE2＋AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE∶AE＝1∶3.∵点M在直线l下方的抛物线上，
∴设M(t，－t2＋2t＋3)，则t＞2或t＜0.∴EF＝|t－2|，MF＝3－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF∶MF＝1∶3或MF∶EF＝1∶3，∴|t－2|∶(t2－2t)＝1∶3或(t2－2t)∶|t－2|＝1∶3，
解得t＝2(舍)或t＝3或t＝－3或t＝eq \f(1,3)(舍)或t＝－eq \f(1,3)，
∴点M的坐标为(3，0)，(－3，－12)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(20,9))).