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2023年高考数学题型猜想预测卷三角函数(题型归纳)含解析
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这是一份2023年高考数学题型猜想预测卷三角函数(题型归纳)含解析,共45页。试卷主要包含了单调性,有解,利用三角形图像,平面向量,零点,导数与三角函数等内容,欢迎下载使用。
猜题14 第17-18题 三角函数(题型归纳)
目录:一、单调性、最值问题;二、有解、恒成立问题(含求参数范围);三、利用三角形图像、对称轴的距离等确定三角函数的一般式;四、平面向量、解三角形与三角函数结合;五、零点、根的问题(含求参数范围);六、导数与三角函数
一、 解答题
一、单调性、最值问题
1.已知函数,.
(1)求的单调递增区间;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),
(2)最大值为,最小值为
【分析】(1)根据给定条件,利用二倍角公式及辅助角公式化简函数,再利用正弦函数单调性求解作答.
(2)求出(1)中函数的相位范围,再利用正弦函数性质求解作答.
【解析】(1),
令,,解得,,
所以的单调递增区间为.
(2)由(1)知,,当时,则,
所以当,即时,取最大值,为,
当,即时,取最小值,为.
2.已知函数.
(1)求的最小正周期及对称轴方程;
(2)时,的最大值为,最小值为,求,的值.
【答案】(1)最小正周期为,对称轴方程为,
(2),或,
【分析】(1)使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后,即可求得最小正周期和对称轴方程;
(2)结合正弦函数的图象和性质,分别对和两种情况进行讨论即可.
【解析】(1)
∴,则的最小正周期为,
∵的对称轴为直线,,
∴由,,解得,,
∴的对称轴方程为,.
(2),
∵,∴,∴,
∴,
当时,的最大值为,最小值为,
∴由,解得,
当时,的最大值为,最小值为,
∴由,解得,
综上所述,,或,.
3.已知函数,
(1)若当时,函数的值域为,求实数的值;
(2)在(1)条件下,求函数图像的对称中心和单调区间.
【答案】(1);
(2)对称中心为,单调减区间为,的单调增区间为.
【分析】(1)利用三角恒等变换得到,结合得到,从而列出方程组,求出实数的值;
(2)整体法求解函数的对称中心和单调区间.
【解析】(1)
,,
,又,
,因此,
∴,解得:.
(2)由(1)知,令,
整理得,
的图像的对称中心为,
令,整理得:,
得单调减区间为,
令,整理得:,
故的单调增区间为.
4.已知函数的最小正周期为.
(1)求图象的对称轴方程;
(2)将的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,求函数在上的值域.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)先由诱导公式及倍角公式得,再由周期求得,由正弦函数的对称性求对称轴方程即可;
(2)先由图象平移求出,再求出,即可求出在上的值域.
(1)
,
则,解得,则,令,解得,
故图象的对称轴方程为.
(2)
,,则,,则在上的值域为.
5.设函数.
(1)求函数单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为,最大值是
【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得:,再根据余弦函数的单调性求解即可;
(2)化简得,再根据,求解即可.
(1)
,
当 ,即时是单调递减区间;
(2)
,
因为,所以,
,
,
故最小值为,最大值是;
6.已知函数,其中
(1)若且直线是的一条对称轴,求的递减区间和周期;
(2)若,求函数在上的最小值;
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)根据题设中的对称轴可得,根据其范围可求其值,再根据公式和整体法可求周期及减区间.
(2)利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
【解析】(1)可知,
因为直线是图象的一条对称轴,故,
解得,而,故,则,
则周期,
再令,则,
故的递减区间为.
(2)可知
因为,故,
则在即取最小值,其最小值为.
7.已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)若函数关于点中心对称,求在上的值域.
【答案】(1)最小正周期为,
(2)
【分析】(1)先利用倍角公式化简得,结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解;
(2)先写出,由关于点中心对称解出,再结合正弦函数的值域即可求解.
(1)
.∴的最小正周期为,
令,∴的单调递增区间为
(2)
.
∵关于点中心对称,∴,∵,∴.
∴.当∴.
8.已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程;
(2)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,求在[0,2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为,对称轴方程为,
(2)
【分析】(1)利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得,再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可;
(2)根据三角函数图形变换的性质可得,再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【解析】(1),
,
所以函数的最小正周期为,
令,,得函数的对称轴方程为,
(2)将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为,
所以,
令,
所以.又,
所以在上的单调递减区间为.
二、有解、恒成立问题(含求参数范围)
9.已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间;
(2)求在上的解.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)现根据三角恒等变换化简,再根据正弦函数得性质结合整体思想即可得出答案;
(2)由,得,再求出得范围,从而可得出答案.
【解析】(1)解:,
令,
解得,
函数的单调递减区间为;
(2)解:由,得,
,
,解得.
10.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称中心;
(2)若,方程有两个实数解,求实数m的取值范围.
【答案】(1)最小正周期,对称中心为
(2)
【分析】(1)先将通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简,再套用周期和对称中心的公式即可.
(2)结合正弦函数的图像即可求得答案.
(1)
=
=
=
=
所以,最小正周期,
由,得
所以,对称中心为.
(2)
因为,所以,
由正弦曲线可得.
11.已知.
(1)若,求使函数为偶函数;
(2)在(1)成立的条件下,求满足,的的集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由恒等变换得,进而根据奇偶性求解即可;
(2)由题知,再根据得或或或,进而解得答案.
(1)
解:
,
因为函数为偶函数,
所以,即,
因为,所以
(2)
解:在(1)成立的条件下,,
所以由得,
因为,所以,
所以或或或,
所以或或或,
所以,满足题意的的集合为
12.已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)的解析式可化简为,令,即可解得的单调递增区间
(2)对恒成立的不等式等价转化后,结合的范围可得,从而解得的范围
(1)令解之得 ∴的单调递增区间为
(2)对任意,都有,∵,∴,∴,∴实数的范围为.
13.已知函数,其中向量,.
(1)求的解析式及对称中心和单调减区间;
(2)不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1),对称中心为,单调减区间是
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得,再利用正弦函数的性质即可求解;
(2)由题意可得:在上恒成立,求出的最值,转化为,解之即可.
【解析】(1)
令,对称中心
又令,
所以单调减区间是
(2)不等式在上恒成立,
,即在上恒成立,
,
因为 ,所以,
当,即时,取得最小值,
最小值为,
当,即时,取得最大值,
最大值为,
即,得,
即实数m的取值范围是
14.已知函数的图象相邻两最高点的距离为,且有一个对称中心为.
(1)求和的值;
(2)若,且,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求出函数的最小正周期,可求得的值,由函数的对称性结合的取值范围可求得的值,即可得出函数的解析式;
(2)由已知条件可得出,利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值.
【解析】(1)解:由题意可知,函数的最小正周期为,,则,
因为函数有一个对称中心为,则,
所以,,因为,则,故,.
(2)解:由(1)可得,
,
因为,则,所以,,
因此,.
三、利用三角形图像、对称轴的距离等确定三角函数的一般式
15.已知函数,其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为.
(1)求函数的解析式;
(2)记的内角的对边分别为,,,.若角的平分线交于,求的长.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)应用降幂公式及辅助角公式可得,根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得,即可得解析式.
(2)由已知有,根据及三角形面积公式可得,再应用余弦定理求,进而可得的长.
【解析】(1)因为,
设函数的周期为,由题意,即,解得,
所以.
(2)由得:,即,解得,
因为,所以,
因为的平分线交于,
所以,即,可得,
由余弦定理得:,,而,
得,因此.
16.函数(其中)部分图象如图所示,是该图象的最高点,M,N是图象与x轴的交点.
(1)求的最小正周期及的值;
(2)若,求A的值.
【答案】(1)2;;
(2).
【分析】(1)利用的解析式求出周期,再由给定的最高点P求出作答.
(2)由(1)求出点M,N的坐标,结合图形求出和的正切,再利用和角公式计算作答.
(1)
函数的最小正周期,
因是函数图象的最高点,则,而,有,,
所以函数的最小正周期为2,.
(2)
由(1)知,,由得,即点,由得,即点,
于是得,,而,
则,又,解得,
所以.
17.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度,再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.当时,方程恰有三个不相等的实数根,,求实数a的取值范围以及的值.
【答案】(1)
(2),
【分析】(1)由三角函数图象的最大值与最小值,求出,得到最小正周期,求出,再代入特殊点的坐标,求出,得到函数解析式;
(2)先根据平移变换和伸缩变换得到,令,换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值,得到,再根据对称性得到,相加后得到,求出答案.
【解析】(1)由图示得:,解得:,
又,所以,所以,
所以.
又因为过点,所以,即,
所以,解得,
又,所以,所以.
(2)图象上所有的点向右平移个单位长度,得到,
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到,
当时,,
令,则,
令,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,
且,
,
所以时,.当时,方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根,
且关于对称,关于对称,
则,
两式相加得:,
即,所以.
四、平面向量、解三角形与三角函数结合
18.已知数.
(1)求函数的最小正周期,并写出函数的单调递增区间
(2)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,求的取值范围
【答案】(1)最小正周期为,增区间为
(2)
【分析】(1)先对函数化简变形,得,从而可求出函数的最小正周期,由,可求出函数的增区间,
(2)将利用正弦定理统一成角的形式,化简可求得,则,然后利用正弦函数的性质可求得答案
(1),所以的最小正周期为,由,得,所以的单调增区间为,
(2)因为,所以由正弦定理得,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,因为所以,因为,所以,所以,即,所以,所以的取值范围为
19.已知函数 .
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)若锐角中角A、,所对的边分别为、、,且,求的取值范围.
【答案】(1),;
(2) .
【分析】(1)利用三角函数的恒等变换对函数进行变形,再求函数的周期与单调增区间即可;
(2)由题意利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简,求得 ,再求的取值范围即可得答案.
【解析】(1)
,
所以函数的最小正周期,
又由 ,
所以函数的增区间为;
(2) ,则,由于锐角中角,,
,
三角形是锐角三角形, , ,
得, ,故,
,即.
20.已知,.
(1)若,且,时,与的夹角为钝角,求的取值范围;
(2)若,函数,求的最小值.
【答案】(1)
(2)的最小值为.
【分析】(1)又与的夹角为钝角,可得且与不能共线,列不等式求的范围;
(2) 化简得,利用将转化为关于的二次函数,利用二次函数性质求值域.
【解析】(1)当时, ,若与的夹角为钝角,
则且与不能共线,
,所以,
又,所以,所以,
当与共线时,,故,所以与不共线时,.
综上:.
(2)
令,则
而函数在上为增函数,故当时有最小值.
故的最小值为.
21.已知向量,记函数.
(1)求的对称轴和单调递增区间;
(2)在锐角中,角A,B,C的对边为a,b,c,若,求的取值范围.
【答案】(1)对称轴为,
(2)
【分析】(1)根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得,从而可求对称轴方程及单调递增区间;
(2)先求得,再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得,根据三角函数可求得范围.
【解析】(1)由题意
,
所以的对称轴为,即,
单调递增区间满足,解得,
所以单调递增区间为.
(2)由得,,所以,
所以,
因为为锐角三角形,故,得,
所以,即的取值范围为.
22.已知函数的最小正周期为.
(1)求的值及函数的单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若,,,求的取值范围.
【答案】(1);,
(2)
【分析】(1)由可得到,化简,结合正弦型函数的单调性即可求解;
(2)由(1)可得,利用余弦定理和基本不等式可得的最大值,根据三角形三边关系可知,即可求解.
(1)
因为最小正周期为,所以,则,
所以,则,
所以,,
所以,,
所以的单调减区间为: ,
(2)
由(1),则,
因为,所以,则,
因为,
由余弦定理有
,即,
所以,所以,
当且仅当时等号成立,所以的最大值为,
又,
所以
23.设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期;
(2)在锐角中,角所对的边分别为,为的面积.若且,求的值.
【答案】(1),最小正周期为
(2)
【分析】(1)由题知,再根据三角函数性质求解即可;
(2)根据题意,结合(1)得,进而根据正弦定理与面积公式得,根据得,进而代入即可得答案.
【解析】(1)解:,
所以,,
最小正周期为.
(2)解:因为,所以,
因为为锐角三角形,所以,
因为
所以,
因为,,
所以,
所以
所以,
24.已知锐角三角形中,角、、,所对的边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若的面积为的最大值,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理及同角三角函数关系可化简原式为,分析即得解;
(2)利用三角恒等变换化简函数为,即,结合,即得解.
【解析】(1)由正弦定理及同角三角函数关系可得:,
即,
又因为,
可得:,
又因为,为锐角,可得,又,
则.
(2)函数
所以最大值为,当时成立.
即
由,可得.
五、零点、根的问题(含求参数范围)
25.已知向量, 函数.
(1)求函数的值域;
(2)函数在上有 10 个零点, 求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换得,再根据三角函数性质求解即可;
(2)由题知,再根据三角函数性质得,解不等式即可得答案.
【解析】(1)解:
,
所以,的值域为.
(2)解:令, 即,
因为,所以,
因为函数在上有10个零点,
所以方程在上有10个实数根,
所以, 解得.
所以,的取值范围为.
26.已知锐角三角形满足,.
(1)求A;
(2)求的所有零点.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由,利用正弦定理化简得到,即求解.
(2)由(1)得到,然后令求解.
(1)
解:因为,
所以,
即,
即,
所以,
因为是锐角三角形,
所以.
(2)
由(1)得,
令,
得.
解得,
所以所有零点为.
27.已知函数为奇函数,且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间;
(2)已知在时,求方程的所有根的和.
【答案】(1), ,
(2)
【分析】(1)将函数变形为,由函数的周期及奇偶性可求解;
(2)解方程得或,即或,利用正弦函数的性质可求解.
(1)
图象的相邻两对称轴间的距离为,
的最小正周期为,即可得,
又为奇函数,则,,又,,
故的解析式为,
令,得
函数的递减区间为,.
(2)
,,,
方程可化为,
解得或,即或
当时,或或
解得或或
当时,,所以
综上知,在时,方程的所有根的和为
28.向量,,函数.
(1)求函数的对称中心;
(2)若函数在上有5个零点,求的取值范围;
(3)在中,内角,,的对边分别为,,,的角平分线交于点,且恰好为函数的最大值.若此时,求的最小值.
【答案】(1)(Z)
(2)
(3)
【分析】(1)根据平面向量的坐标运算,以及三角恒等变换先求出,再令,即可解出;
(2)由题可知在上有5个根,当时,,所以它的5个根分别是的解,即可由得出的取值范围;
(3)由恰好为函数的最大值可求得,,在和中,根据正弦定理可求出,再在中,利用正弦定理求出,从而得到的表达式,最后利用基本不等式可求出最小值.
【解析】(1)∵,,∴,
∴.
令得,∴的对称中心为(Z).
(2)当时,,又在上有5个零点,
∴,∴的取值范围为.
(3)由恰好为函数的最大值可得,
即,∵,则可解,则,
在中,由,可得,
在中,由,可得,
∴,
在中,,
则可得,,
则
,
∵,,
∴,
当且仅当等号成立,故的最小值为.
六、导数与三角函数
29.已知函数,且.
(1)若,且在R上单调递增,求的取值范围
(2)若图像上存在两条互相垂直的切线,求的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在R上单调递增即其导函数在R上大于等于0恒成立;
(2)若图像上存在两条互相垂直的切线即存在使,
由此可得结论.
(1)
由题意知,则,
得恒成立,即恒成立,
即有.
(2)
由,令,
由,
得
,
所以
由题意可知,若图像上存在两条互相垂直的切线,
只需要且 ,
即,所以,,
,
所以的最大值为.
30.已知函数,.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若,,求.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)求出函数的导数,就、、分类讨论后可得函数的单调性.
(2)就、分类讨论后可得,再证明时,不等式是恒成立的.
(1)
,
若时,则,
当时,恒成立,当且仅当时等号成立,
故此时在为减函数,无增区间.
当时,若,则;若,则,
,则,
故在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.
当时,若,则,,则,
故在上为增函数,在上为减函数.
(2)
时,即为,
因为任意时,恒成立,
故在上恒成立,
而,,
若,在,因为为不间断函数,
所以存在,使得,总有,
故在上为减函数,故,,这与题设矛盾.
若,在,因为为不间断函数,
所以存在,使得,总有,
故在上为减函数,故,,这与题设矛盾.
故,此时,
当时,,
当时,,
设,则,
因为在上均为增函数,
故在上为增函数,
而,,
故存在,使得时,,
使得时,,故在为减函数,在上为增函数,
故,总有,
故当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,故,
综上,.
31.已知函数,.
(1)当时,求的值域;
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)
(2)当或时,无极值点,当 时,有1个极大值点,无极小值点.
【分析】(1)通过求导判断出的单调性,即可求出的值域;
(2)对参数进行讨论,通过讨论每种情况下的单调性,进而判断出极值的情况.
(1)
因为,所以,
设,,
因为,所以,单调递减,
则,即,
所以在上单调递减,
,
所以的值域为:
(2)
因为,所以,
设,,
因为,则,
(1)当,即时,,单调递减,,
即,单调递减,无极值,
(2)当,即时,,单调递增,,
即,单调递增,无极值,
(3)当 即时,在上单调递减,
则存在,使得,即,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
因为,所以,,
①当,即时,,即恒成立,
即,单调递增,无极值,
②当,即时,,
则存在,使得,
时,,,单调递增,
时,,,单调递减,
是的极大值点,
综上所述,当或时,无极值点,
当 时,有1个极大值点,无极小值点.
32.已知函数.
(1)若,当时,求证:为单调递减函数;
(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)若,当时,对求导,令,解不等式即可求出答案.
(2)在上恒成立转化为,
令,求在的最小值即可.
(1)
若,则,
,
因为,,
,,
,在为单调递减函数;
(2)
,即,
令,,
则,
令,
,,,单调递减,
,,单调递增,
而,,
故在恒成立,
故在恒成立,
所以在为减函数,
所以,故,
所以实数a的取值范围是.
33.已知函数.
(Ⅰ)当时,求在上的最值;
(Ⅱ)若对一切,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)最大值1,最小值;(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)当时, 求得函数的导数,得到函数的单调性和最值,即可求解;
(Ⅱ)由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值,结合导数对分类讨论求,最后结合函数的单调性和性质,即可求解.
【解析】(Ⅰ)由函数,则,
当时, 可得
令,即,解得;
令,即,解得;
所以在递增,在递减,所以,
又,所以,
所以在上的最大值为1,最小值为.
(Ⅱ)由函数,则,解得,
又由,
因为,则,可得,
所以,
(i)当时,,所以在递增,
所以恒成立;
(ii)当时,
当时,单调递增;当时,单调递减,
所以,,,
所以,使得,
所以当时,;当是,,
所以在单调递减,在单调递增,
又因为,
所以,所以,即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,恒成立问题的求解,以及三角函数的应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
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