2023年高考数学题型猜想预测卷三角函数含解析

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 猜题13 第17-18题 三角函数（上海精选归纳）
一、解答题
1．（2021秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角，，的对应边分别是，，，且，，，求的面积．
【答案】(1)最大值0，此时；最小值，此时；
(2)或.
【分析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简，由定义区间求最大值和最小值时的值；
（2）由函数值求得角，余弦定理求得边，由面积公式计算面积.
【解析】（1），
，
因为，有，所以，
的最大值0，此时，
的最小值，此时；
（2），所以，由为三角形内角得，
因为，，由余弦定理得，解得或，
由，得或.
2．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数，
(1)若当时，函数的值域为，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.
【答案】(1)；
(2)对称中心为，单调减区间为，的单调增区间为.

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数的值；
（2）整体法求解函数的对称中心和单调区间.
【解析】（1）


，，
，又，
，因此，
∴，解得：.
（2）由（1）知，令，
整理得，
的图像的对称中心为，
令，整理得：，
得单调减区间为，
令，整理得：，
故的单调增区间为.
3．（2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值．
【答案】(1)函数的最小正周期为，单调递增区间是
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【解析】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为，
令，解得，
故函数的单调递增区间是.
（2）解：，即，
，则，，可得，
由余弦定理以及基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
故，即面积的最大值为.
4．（2020春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形.

(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数性质，根据周期公式即可得答案；
（2）结合题意得，进而根据正弦和角公式求解即可.
【解析】（1）解：
，
因为为正三角形，且高为，
所以，，
所以，函数的周期，即，解得；
所以
（2）解：因为，
所以，，即，
因为，所以
所以，，
所以，

5．（2021春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知函数，；
(1)求的单调增区间与值域；
(2)在中，，，分别是角，，的对边，已知，，的面积为，求的值.
【答案】(1)单调增区间；值域；
(2)或.

【分析】（1）根据二倍角公式化简，整体法即可求解单调区间和值域，
（2）代入得或，进而根据三角形面积公式以及正弦定理即可求解.
【解析】（1），
则解得；
因为，即单调增区间为且，则.
（2），则或，则或，
当时，
且，；
由正弦定理可知，化简得,解得，,所以.
同理，当时，且，，
由正弦定理可知，化简得，解得，,即.
6．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，函数，当时，.
(1)求常数的值；
(2)设且，求的单调增区间.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由求出的范围，则利用正弦函数的性质可求出的范围，从而可求出的范围，再结合已知条件列方程组可求出的值；
（2）由（1）求出的解析式，再由，可得，，然后由可求出的单调增区间.
【解析】（1）当时，，所以.
所以，则.
因为，所以，解得，；
（2），，
即.
因为，所以，所以，
所以，.
令，.
解得，
所以的单调增区间为.
7．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知函数为常数，且，函数的图像关于直线对称．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，利用正弦函数的性质求，即可得解函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求解；
（2）由题意可求，根据范围，可求的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求，根据三角形面积公式即可求解.
【解析】（1）因为

，
函数的图像关于直线对称，所以，
所以，因为，所以，
所以，最小正周期为；
（2），所以，
又，所以，所以，因为，
由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为．
8．（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若函数的图像关于直线对称，求的最小值；
(2)若存在 ，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的对称轴即可求出，可得答案；
（2）由，确定 ，可得 范围，讨论其是否为0，即可求得答案.
【解析】（1）由题意得

，
令，得，
所以 ，
又，所以的最小值为.
（2）当 时， ， ，
，
所以当时，即，不合题意；
当时，即，
则 .
9．（2023·上海静安·统考一模）平面向量，函数.
(1)求函数y=的最小正周期；
(2)若，求y=的值域；
(3)在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【解析】（1），
所以，
最小正周期为.
（2）设，，，
在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．
（3），即，
因为为三角形内角，所以．
，即，解得.
所以△的面积为.
10．（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．
(1)求；
(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据正弦型函数的对称性即可求解；
（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理可求与，在中利用余弦定理即可求.
【解析】（1），，
因为的图象关于对称，所以，
所以.
又，所以；
（2），因为，
所以或，
所以或.
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
因为点为边靠近的三等分点，所以，
由余弦定理得，即，解得，
所以，
在中，由余弦定理得
，所以．
11．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知向量，且，
(1)求函数在上的值域；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据向量的数量积为求得解析式进而求得值域.
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.
【解析】（1）由已知，，所以
所以，又因为
所以，所以，即
在上的值域为
（2）由（1）知：所以

，又
所以，所以，又因为 由余弦定理可得：
，所以
所以 ，当且仅当时取“=”
故面积的最大值为
12．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）已知，函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值；
(3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.
【答案】(1)的值域为；
(2)a的最大值为；
(3)或满足条件，理由见解析.

【分析】(1)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求的值域；(2)由已知可得在上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最大值；(3)结合已知条件及正弦函数图象及性质可求u的值；
【解析】（1）因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值域为；
（2）因为，，
所以，
化简得，
因为函数在区间上是严格增函数，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，因为，所以，又，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，又函数在上单调递减，所以当时，取最小值，最小值为，所以，所以a的最大值为；
（3）因为，，所以不等式可化为，
令，则，，作函数的图象，

又当时，，
由图象可得当或时，方程在上没有解，方程没有解；
当时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图，

则，，，所以该数列不是等差数列，
当时，方程在内有两个解，设方程的解为，且，，作函数，，图象如下，

方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为，
设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾，
当时，方程在内有一个解，设方程的解为，且，作函数，，图象如下，

方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，
设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾，
若，则方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件；
当时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，，
所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，，所以，所以该数列为等差数列，
综上所述，当或时，方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列.
13．（2021秋·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标申长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．求的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）化简得到，根据偶函数的性质结合周期公式计算得到，，得到函数解析式，代入计算得到答案.
（2）根据题意得到，根据三角函数单调性解不等式得到答案.
【解析】（1）
.
为偶函数，对，恒成立，
因此.
即，
整理得到.
，且，，又，故，.
，，故，.
故.
（2）根据题意：.
当，即时，函数单调递减.
即 的单调减区间为.
14．（2022·上海奉贤·统考模拟预测）已知函数f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），将函数的图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝是g(x)一个零点．
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；
(2)求函数y＝g(x)在上的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为；

【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的零点求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【解析】（1）函数；
将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
由于，整理得：，
故或，
整理得或，
即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于，
所以k＝0，ω＝3，故，
所以函数y＝f(x)的最小正周期为；
（2）由于函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
令，
整理得；
由于，故函数的单调递增区间为；
令，
整理得；
由于，整理得函数的单调递减区间为．
所以函数y＝g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为．
15．（2022·上海徐汇·统考三模）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，代入点、的坐标，可分别求出、的值，可得出函数的解析式；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值.
【解析】（1）解：由图象可知，函数的最小正周期为，.
因为点在函数的图象上，所以，即.
又，则，从而，即.
又点在函数的图象上，所以由，得.
此时，则在附近单调递增，合乎题意，
所以函数的解析式为.
（2）解：由，所以，，
因为，
，
，则，所以，或，可得或，
当时，因为，可得.
又因为，所以，
解得；
当时，因为，可得，
因为，所以，
解得.
所以或.
16．（2022·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
【解析】（1）可知，
因为直线是图象的一条对称轴，故，
解得，而，故，则，
则周期，
再令，则，
故的递减区间为.
（2）可知



因为，故，
则在即取最小值，其最小值为.
17．（2022春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）在中，记（角的单位是弧度制），的面积为S，且，.
(1)求的取值范围；
(2)就（1）中的取值范围，求函数的最大值、最小值.
【答案】(1)；
(2)；.

【分析】（1）利用三角形的面积公式，根据已知中的条件，确定出的表达式，再根据是三角形中的一个内角，即可求出的取值范围；
（2）结合（1）的结论，利用降幂公式和辅助角公式，将函数转化成正弦型函数的形式，再利用整体代换法求其最值.
【解析】（1）（1），，
，，
即，又，由正切函数图象知：
的取值范围为：
（2）
，
，

.
18．（2022春·上海闵行·高三校考期中）已知（）.
(1)的周期是，求当，方程的解集；
(2)已知，，，求的值域.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）由题意得后整体代换法求解
（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解
（1）
的周期是，故，原方程为，
则，解得或，
故原方程的解集为或
（2）
，
，
时，，
则，
19．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.
(1)求角B大小；
(2)设，当时，求的最小值及相应的x.
【答案】(1)
(2)当时，有最小值.

【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值.
【解析】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即，,
则，
∵，∴，
又∵ ,∴;
（2）


,
∵,∴,，
则的最小值，其中，即当时，有最小值.
20．（2021·上海黄浦·统考一模）已知直线与函数、的图像分别交于M、N两点．
(1)当时，求的值；
(2)求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点．
【答案】(1)；
(2)；最小正周期为；零点为或或或.

【分析】（1）当时，，即求；
（2）由题可得，可得最小正周期，由可得，再结合条件即求.
（1）
当时，，
可得；
（2）
∵，
∴，
∴函数的最小正周期为，
由，可得，
∴，又，
∴可取，
故在区间内的零点为或或或.
21．（2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和递增区间；
(2)已知等差数列满足，公差，求数列的前项和.
【答案】(1)最小正周期为，增区间为
(2)

【分析】（1）先用恒等变换化为，使用求解最小正周期，整体法求解递增区间；
（2）先求出的通项公式，进而求出当为奇数时，，当为偶数时，，从而利用分组求和法求出数列的前项和为.
（1）


所以的最小正周期为，令，，
解得：，，
所以的递增区间为.
（2）
因为等差数列满足，公差，所以，
故，
当为奇数时，，当为偶数时，，
设数列的前项和为，则
22．（2022·上海·高三专题练习）设函数，.
(1)若，，函数是偶函数，求方程的解集；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值,即可得解；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
(1)
因为，函数为偶函数，
所以当时，，即，
因为，
所以可取，相应的值为.
所以，即方程为 .
解得
所以方程解集为：.
(2)






.
所以函数的值域为：.
23．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知向量，且，
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间；
（2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值.
【解析】（1）∵，∴，即，
所以，
令，，解得：，，
因为，所以 ，解得：，
因为，所以，所以，
函数在上的单调递减区间为；
（2），即，
因为，所以，所以，解得：，
因为，所以，从而，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
即，解得：，
由面积公式得：，当时，等号成立，
所以面积的最大值为
24．（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）设函数，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数.
(1)求和的值；
(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题可得，，即求；
（2）利用正弦定理可得，进而可得，再利用二倍角公式、和差角公式及辅助角公式可得，然后利用正弦函数的性质即求.
【解析】（1）∵函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，
∴，解得，
又为偶函数，
∴，又，
∴.
（2）∵，
∴，
即，
又，∴，
∴又，
∴，
由（1）知，
∴
，
又，所以，
∴，
∴的取值范围为.
25．（2021·上海崇明·统考一模）已知函数的最小正周期为8．
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，[](k∈Z)；
(2)．

【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒
(1)
由已知可得，，
∵的最小正周期，∴，
∴，
由得，
∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；
(2)
∵，由(1)有，
即，
由，知；
∴，
故

﹒
26．（2021春·上海金山·高三校考阶段练习）已知的函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期T=，单调递增区间为
(2)

【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数的单调递增区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据题意可知m小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m的取值范围.
【解析】（1）∵


所以函数的最小正周期T=，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为.
（2）由题意可知，不等式有解，即，
因为，所以，
故当，即时取得最大值，且最大值.
∴即实数m的取值范围为.
27．（2021秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）设函数，.
(1)求解关于x的不等式：；
(2)若方程在上有根，求实数a的取值范围；
(3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)a＜1．
(3)

【分析】（1）利用绝对值不等式的解法即可求解.
（2）由题意可得函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零点，
h（0）h（1）＝（2a+1）•（2a﹣2）＜0，由此求得a的范围；
（3）对任意的，都有，即，分别求两边函数的最值即可.
（1）
由题意可得，
即，
即，
两边同时平方可得，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）
∵方程f（x）＝3x在上有根，
∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零点．
由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是减函数，
故有h（0）h（1）＝（2a+1）•（2a﹣2）＜0，
求得a＜1．
（3）
对任意的，都有，
即
，
时，的最小值为，
时，的最小值为
故在上的最小值为
（x）＝cos2x+2asinx＝﹣sin2x+2asinx+1
令t＝sinx，因为，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其对称轴为t＝a，
故a≤﹣1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是减函数，最大值为﹣4a，
此时﹣4a＜1，a＞，无解；
当﹣1＜a＜1时，当t＝a时y有最大值a2 +1，
此时a2 +1＜1，即，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1
当a≥1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函数，最大值为0
此时0＜1，显然恒成立，
综上：a的范围
28．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若存在，（其中），使得，求，的值．
【答案】(1)
(2)，

【分析】（1）利用和差和余弦的二倍角公式，再结合辅助角公式把化简后，套用周期公式即可；
（2）根据（1）小问求出再 上的范围，再结合已知条件可求出答案.
(1)

，
则函数的最小正周期为．
(2)
由，可知，当时，，
则，
由于存在，（其中），使得，则，，即，
，则，，解得，．
29．（2021秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）已知函数.
(1)求方程在区间的解集；
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用三角恒变换公式化简函数，再在指定区间上求方程的根即可.
(2)根据给定条件借助三角形射影定理求出角B，进而求得角A的范围即可求解作答.
(1)
依题意，，
则方程化为：，而，即，
于是得，或，或，或，
解得，或，或，或，
所以方程在区间的解集为.
(2)
在中，角的对边分别是，因，即，
由三角形射影定理得：，即，而，则有，
于是得，又A>0，C>0，因此，，，则，
由(1)知，，
所以的取值范围是.
30．（2021秋·上海静安·高三校考期中）设函数，且是最大值.
(1)求的最小值；
(2)在（1）的条件下，如果在区间上的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据是最大值，求得的值.
（2）由题意根据，根据的最小值为，求出a的值.
（1）
解：∵函数

，且是最大值，
∴，.
解得，，故的最小值为，
故.
（2）
解：如果在区间上的最小值为，
因为，所以，
∴当时，函数取得最小值为，
解得.
31．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设方程在上的两个解为和（），求的值；
(3)在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.
【答案】(1)最大值，最小值
(2)
(3)

【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；
（2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；
（3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求.
(1)
由题意知，又，
故当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值.
(2)
令，化简得，
解得或．
由于，故，．
于是．
令，则，
因此．
(3)
由题意知，
由于，解得．
在△中，由正弦定理知，
故，，
代入题目条件得
在△中，由余弦定理知，
将上式代入得，
解得，
因此△的面积．
32．（2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.
(1)解不等式；
(2)若，且的最小值是，求实数的值.
【答案】(1)，；(2).
【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；
(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出的值.
【解析】(1)∵




由，得，
解集为，
(2)

∵，∴，，
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；
②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；
③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，.
【点睛】解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.
33．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简得，再利用对称性求出函数的解析式；
（2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解.
【解析】（1）

由于函数的图像与函数的图像关于轴对称，
设上任一点关于轴对称的点在的图像上，
即，故；
（2）因为，
所以
所以，令，
则等式成立等价为在上成立，
，
当时，取得最小值；当时，取得最大值，
故得取值范围是
34．（2021·上海·统考模拟预测）已知函数，．
（1）若函数在区间上递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数的图像关于点对称，且，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先利用二倍角和辅助角公式化简，再结合三角函数的图像和性质可求实数a的取值范围；
（2）根据对称问题及，求解范围，再结合图像即可确定点Q的坐标．
【解析】==
令得，所以在单调递减，
又因为在区间上递减，
所以，即实数a的取值范围为：
（2）因为，则，
又因为函数的图像关于点对称，所以是函数的一个零点.
令得
所以的坐标为
35．（2021秋·上海嘉定·高三校考阶段练习）已知函数
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）函数在区间上恒成立，求的取值范围
【答案】1）T＝π，f（x）的减区间为 （k∈Z）；
（2）m的范围是．
【分析】（1）利用辅助角公式或二倍角公式公式将函数转化为y＝sin（ωx+φ）的形式，再利用公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，将正弦放到区间上，解不等式得到函数的单调减区间，
（2）不等式恒成立问题，先求得f（x）≥0的x的取值范围，再根据与所求区间联系，求得m的值．
【解析】（1）由，
由二倍角公式得，
则，
，
则，
由 ，
所以，
所以f（x）的减区间为（k∈Z）；
（2）由f（x）≥0，
则，
即，
所以，
所以，（k∈Z），
当k＝1时，x∈，f（x）≥0恒成立，
所以，
所以m的范围是.
36．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数的部分图像如图所示.

(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图像，求方程在的解集.
【答案】(1)；对称中心为，；
(2).

【分析】（1）结合函数的部分图像特征可求的解析式及对称中心；
（2）根据图象变换可得的解析式，从而方程可求.
【解析】（1）根据函数的部分图像，
可得，∴.
再根据五点法作图，，∴，
故.
令，解得，此时.
所以函数的对称中心为，.
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
令，

所以，解得
故方程在的解集为.
37．（2022秋·上海徐汇·高三位育中学校考期中）已知．
(1)求函数在上的严格增区间；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到，利用整体法求解出函数的单调递增区间，得到答案；
（2）先求出的解析式，得到，由对称性得到，得到的最小值，求出答案.
【解析】（1），
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得：，
故函数在上的严格增区间为；
（2），
的图像关于点对称，故，
，
故，解得：，
因为，所以当时，取得最小值，
故的最小值为.
38．（2020秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知函数的图象过点，最小正周期为，且最小值为－1.
（1）求函数的解析式.
（2）若在区间上的取值范围是，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由最值求得，由周期求得，由点的坐标及的范围可求得，得解析式；
（2）由得，结合余弦函数性质可得结论．
【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，
因为最小正周期为，所以=3.
可得，
又因为函数的图象过点（0，），所以，而，所以，
故.
（2）由，可知，
因为，且cos=－1，，
由余弦曲线的性质的，，得，
即.
【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是解题关键．
39．（2020秋·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考阶段练习）函数，.
（1）把的解析式改写为(，)的形式；
（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
（3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值.
【答案】（1）；（2），最大值，最小值；（3）.
【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数的解析式为；
（2）由（1）知，求得的最小正周期为，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；
（3）根据三角函数的图象变换，求得函数，得到，令，求得或，结合函数区间上至少有20个零点，求得，即可得到实数的最小值.
【解析】（1）由题意，函数

.
即的解析式为.
（2）由（1）知，所以函数的最小正周期为，
因为，则，
所以当，即时，函数取得最小值，最小值为；
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
即函数的最小值为，最大值为.
（3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得，
则函数，
令，即，即，解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，
则满足，即实数的最小值为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.