2022-2023学年天津市天津中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年天津市天津中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

故选：C

2．函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ）

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

【答案】C

【分析】设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.

【详解】解：设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，

当或或时，，

当或时，，

所以函数在，和上递增，

在和上递减，

所以函数的极小值点为，极大值点为，

所以函数有两个极大值点、两个极小值点.

故选：C．

3．下列求导不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断．

【详解】A：；

B：；

C：；

D：．

故选：C．

4．函数在上的最值是（    ）

A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是

C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是

【答案】A

【分析】利用导数研究函数的单调性，再求出端点处的函数值以及极值进行比较.

【详解】因为，所以，

由有：或，由有：，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D错误.

故选：A.

5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为30cm，要使其体积最大，则其高应为（  ）

A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm

【答案】B

【分析】设出圆锥的高，求出底面半径，得出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．

【详解】由题意知，设圆锥的高为，.

∴，∴

令，解得,所以在上单调递增.

，解得，所以在上单调递减.

所以当时，取得最大值.

故选：B．

6．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的根的情况，判断在处取得极小值时，实数的取值范围即可.

【详解】，有两个根，

若函数在处取得极小值，则，解得，

故选：B

7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．

【详解】解：因为有两个不同的极值点，

所以在有2个不同的零点，

所以在有2个不同的零点，

所以，

解可得，．

故选：．

8．已知点A为曲线上的动点，若以点A为切点的切线的倾斜角为.则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知，利用导数以及导数的几何意义、均值不等式、直线的斜率与倾斜角的关系计算求解.

【详解】因为，，所以，

设，以点A为切点的切线斜率为，

则，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，所以，

所以切线的倾斜角，故A，B，C错误.

故选：D.

9．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.

【详解】因为，，，所以构造函数，

因为，由有：，

由有：，所以在上单调递减，

因为，，,

因为，所以，故A，B，D错误.

故选：C.

10．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.

【详解】函数的导数为，

令，则或，

上单调递减，上单调递增，

所以0或是函数y的极值点，

函数的极值为：，

函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.

故选B.

【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

二、填空题

11．已知函数的导函数，且满足，则______.

【答案】/3.5

【分析】对给定等式两边求导，令，解方程作答.

【详解】对两边求导得：，

当时，，解得，

所以，

故答案为：.

12．函数的极大值点为___________.

【答案】

【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.

【详解】由题意知：定义域为，

，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

是的极大值点.

故答案为：.

13．若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】分离参数可得不等式对任意恒成立，设，求出函数在上的最小值后可得结果．

【详解】∵关于的不等式对任意恒成立，

∴对任意恒成立．

设，则，

∴当时，单调递减；当时，单调递增．

∴，

∴．

∴实数的取值范围是．

故答案为．

【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：恒成立或恒成立，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．

14．已知函数在处取得极值0，则______．

【答案】11

【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．

【详解】，则，即，解得或

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，

令，得或；令，得．

所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．

故答案为：11．

15．已知函数，若是奇函数，则______．

【答案】

【分析】首先利用复合函数求导法则求出，然后利用辅助角公式化简，根据奇函数性质可得到，最后结合的范围即可求解.

【详解】因为，

所以，

若为奇函数，则，即，

所以，

又因为，所以．

故答案为：.

16．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.

【详解】对任意都存在使成立，

所以得到，

而，所以，

即存在，使，

此时，，

所以，

因此将问题转化为

存在，使成立，

设，则，

，

当，，单调递增，

所以，

即，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1．

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

【答案】（1）f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；

（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．从而a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立，从而f（x）在（﹣2，3）上为减函数，得a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

解 f′（x）=ex﹣a，

（1）若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，

即f（x）在R上递增，

若a＞0，ex﹣a≥0，∴ex≥a，x≥ln a．

因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．

（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．

∴a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立．

又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜ex＜e3，只需a≥e3．

当a=e3时f′（x）=ex﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，

即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，

∴a≥e3．

故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

【解析】利用导数研究函数的单调性．

18．f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0

（Ⅰ）求实数a，b的值

（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

【答案】（Ⅰ）a=3   b=﹣12（Ⅱ）f（1）=﹣6

【详解】试题分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b

（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．

解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b

从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，

从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3

又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1

f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；

当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．

19．已知函数.

(1)求曲线的单调区间；

(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)

【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系，通过求导解不等式求单调区间.

(2)通过转化，把函数的零点问题转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的单调性、极值以及大致图象进行求解.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，由有：，

由有：，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由(1)有：的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以在单调递增，在单调递减，在时取得极大值，

又，，即，

所以在上大致图象为：

函数在上有两个零点等价于与在有两交点，

所以实数的取值范围为.

20．已知函数.

(1)求 在点处的切线方程;

(2)求证：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；

（2）由题知，进而构造函数，研究最小值即可证明；

【详解】（1）解：由题知，，，

所以，切点为，斜率为，

所以，所求切线为.

（2）证明：，即

令，则

令，，则在恒成立，

所以，在上单调递增，有，

所以，在恒成立，即在上单调递增，

所以，，即，

综上，当时，.