2022-2023学年江西省南昌市第二中学高一下学期情期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市第二中学高一下学情期中考试数学试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动

C．单位向量都相等 D．向量的模可以比较大小

【答案】C

【分析】利用向量的模的定义判断选项AD；利用向量的性质判断选项B；利用向量相等的定义判断选项C.

【详解】选项A：向量与向量长度均为线段的长度，故相等.判断正确；

选项B：因为同方向且模长相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动.判断正确；

选项C：虽然单位向量的模长相等，但方向不一定相同，

故单位向量不一定相等.判断错误；

选项D：向量的模是实数，因而可以比较大小.判断正确.

故选：C

2．若，则，，的大小顺序是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序.

【详解】当时，，，

则，则

故选：C

3．在四边形中，，则一定有（    ）

A．四边形是矩形 B．四边形是菱形

C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算可得，进而可得且即可求解.

【详解】因为，所以，

即且，

所以四边形的一组对边平行且相等，

所以四边形是平行四边形，

故选：D.

4．的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原题并不符合两角和差的正余弦展开式，所以先探究下面的公式：

即，；

同理，．

【详解】

.

故选B.

【点睛】化简求值时要看角的形式，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系，合理选择和、差角，辅助角，倍角（降幂）等方法进行．

5．已知，是方程的两根，且，，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.

【详解】由题知，，是方程的两根，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

6．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则在上的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图像可知，，，求出周期，从而可求出，再由图像过点，可求出的值，则可得的解析式，再由三角函数图像变换规律可求得的解析式，由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其值域

【详解】解：由图可得，，，则

因为，所以．

由，可得，，

即，

因为，所以，

故，

所以将的图像向右平移个单位长度后，得

所以．

因为，所以，

所以，

所以

故．

故选：A

7．已知函数（，）为偶函数，且，当取最小值时，的一个单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数结合诱导公式求出，再由知其图象关于点对称，则可求出，最后利用整体代入的方法求出函数的单调递减区间.

【详解】为偶函数，则，，

又，，

，

又，

函数图象关于点对称，

，，

其中最小的正数是，即，，

由，得，，

即减区间为，，是其中一个.

故选：B.

8．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果

【详解】因为，

其中，，

由于函数的图象关于对称，所以，

即，化简得，

所以，即，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正余弦函数的奇偶性计算判断作答.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应解析式为，

因函数是奇函数，则，即，

当时，，当时，，选项B，D满足，A，C不满足.

故选：BD

10．设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（    ）

A．在上有且仅有2个最大值点

B．在上有且仅有2个零点

C．的取值范围是

D．在上单调递增

【答案】ACD

【分析】由换元法结合正弦函数的图象以及性质逐一判断即可.

【详解】∵，，

∴，∴，

令，∴，

画出图象进行分析：

对于A选项：由图象可知：在上有且仅有，对应的这2个最大值点，故A选项正确；

对于B选项：当，即时，在有且仅有2个零点；

当，即时，在有且仅有3个零点，故B选项不正确；

对于C选项：∵在有且仅有3条对称轴，

∴，∴，

∴的取值范围是，故C选项正确；

对于D选项：∵，，∴，∴，

由C选项可知，，∴，

即在上单调递增，故D选项正确.

故选：ACD.

11．已知函数，，则（    ）

A．直线只是图象的一条对称轴

B．将图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到的图象

C．在区间上单调递减

D．函数的最大值为

【答案】ABD

【解析】将代入可判断A；利用三角函数图象的平移变换原则以及诱导公式可判断B；将代入，结合余弦函数的递减区间可判断C；根据两角和的正弦、余弦公式以及三角函数的性质可判断D.

【详解】对于A，当时，可得，显然是正弦函数的对称轴，故A正确；

对于B，将图象上所有的点向右平移个单位长度，

可得

，故B正确.

对于C，，则，

又余弦函数在区间上递减，在区间上递增，故C错误；

对于D，

，

所以函数的最大值为，故D正确.

故选：ABD

12．下列说法中，正确的是（    ）

A．存在，的值，使

B．不存在无穷多个，的值，使

C．对于任意的，，都有

D．不存在，的值，使

【答案】AD

【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可.

【详解】令，则，，此时，故A正确；

令，，，此时，故B错误；

由两角和的余弦公式可知，对于任意的和，，故C错误；

不存在，的值，使，若存在和，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．在矩形中，，，则____．

【答案】5

【分析】利用向量数量积的性质即可求得的值.

【详解】矩形中，，则

又，，

则

故答案为：5

14．____．

【答案】/

【分析】利用二倍角的正弦公式即可求得该式的值.

【详解】

故答案为：

15．的值为______.

【答案】

【分析】将已知条件中的，分别用，代替，然后利用两角和差的余弦公式进行化简即可.

【详解】原式

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数的求值，考查两角和差的余弦公式的应用，考查运算能力，属于基础题.

16．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_______.

【答案】或

【解析】由诱导公式可知,令,结合函数图像,讨论最大值为和1两种情况,进而求出 的取值范围.

【详解】解: 令.则由可得

则.要使其既有最小值又有最大值

若最大值为 则,解得

若最大值为,则,解得.综上所述: 或.

故答案为: 或.

【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.

四、解答题

17．求值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）1；        （2）2

【分析】（1）将按两角和的正切公式展开，整理即可得出答案；

（2）切化弦后通分，根据辅助角公式化简得到，根据诱导公式化简，即可得出答案.

【详解】（1）因为，

所以，

整理可得，.

（2）

.

18．已知．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据化简原式的分子分母，然后分式上下同除，将原式变形为的表示形式，由此计算出原式的值；

（2）先根据正切的二倍角公式计算出的值，然后根据角的关系：，结合两角和的正切公式求解出的值.

【详解】（1）因为，所以且，

所以；

（2）因为，所以，

.

【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是找到与的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解.

19．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)在中，若，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简可得，然后即可得出周期；

（2）由（1）结合已知即可推出，根据的范围，可得，进而得出.代入化简可得，然后根据的范围，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，，

所以函数的最小正周期.

（2）由（1）知，，所以.

因为，所以，所以，所以，

所以，则，

所以，.

因为，，所以，

所以，，

所以，的取值范围为.

20．已知函数，其中，．

(1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心；

(2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围．

【答案】(1)的单调增区间是，无单调递减区间；对称中心为，

(2)

【分析】（1）由正切函数的单调区间和对称中心可得结果；

（2）换元转化为在上恰有20个根，根据正切函数的图象列式可得结果.

【详解】（1）由于，，，∴，

由，解得，

所以的单调增区间是．无单调递减区间，

令，求得，，故的图象的对称中心为，．

（2）由题意可知，当时，

即在上恰有20个根，所以，解得．

综上，的取值范围是

21．如图，扇形钢板的半径为，圆心角为，现要从中截取一块四边形钢板，其中顶点在扇形的弧上，分别在半径上，且 ．

(1)设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；

(2)求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大，并求出最大值．

【答案】(1)详见解析；

(2)时四边形钢板的面积最大，最大值为．

【分析】（1）利用割补法和三角函数即可求得四边形钢板的面积的解析式，进而得到的取值范围；

（2）先化简的解析式，利用三角函数的性质即可求得最大值及对应的值.

【详解】（1）扇形钢板的半径为，圆心角为，，

则，，

则四边形钢板的面积

其中的取值范围为；

（2）

又，则，则，

则，

则当，即时四边形钢板的面积最大，最大值为．

22．已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.

(1)求的值及的单调递减区间；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）化简，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；

（2）化简，

令，得到，结合函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数

，

因为的最小值为，

所以的最小正周期，解得，所以，

由，

解得，

所以的单调递减区间为.

（2）解：由

，

因为，可得

令，则，

所以，，即，即

令，可得，

又由函数在为递减函数，所以，

所以，解得，即实数的取值范围是.