2022-2023学年湖南省108所学校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖南省108所学校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，

根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.

故选：B.

2．用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（    ）

A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台

【答案】D

【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.

【详解】

对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；

对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；

对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；

对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.

故选：D.

3．复平面内表示复数的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.

【详解】根据复数的除法运算求解，

所以，复平面内表示该复数的点为，

所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.

故选：C.

4．已知，为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】由，即成立，故充分性成立；

取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

所以，即函数为奇函数，排除AB，

当时，，排除D.

故选：C

6．如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.

【详解】在中，根据正弦定理可得，

在中，

，

故选：A

7．如图，在中，点O在BC上，，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可推得，又，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.

【详解】由题意可得，三点共线，则共线.

则存在唯一实数，使得，，

即，

整理可得，.

又，所以，，

所以，且，，

又，

当且仅当，即，时等号成立.

所以， 的最小值为.

故选：D.

8．已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】由可推得，.令，根据函数的最大值，即可得出，进而得出答案.

【详解】由可得，，

即.

因为，，所以，

所以，.

令，

因为，，所以.

又对，恒成立，所以，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】CD

【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解.

【详解】由题意，向量满足且，

所以向量在向量上的投影向量的模为.

故选：CD

10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．若为锐角三角形，则

D．

【答案】ABC

【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.

【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；

对于B项，由A知，.

由正弦定理可得，，所以.

由，根据正弦定理可得，

，所以，所以，故B项正确；

对于C项，由已知可得，，所以，

因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确；

对于D项，，故D项错误.

故选：ABC.

11．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，，展开即可得出B项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C项；根据，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得出D项.

【详解】对于A项，因为，

所以，故A项正确；

对于B项，由已知可得，，

即，

所以，，故B项正确；

对于C项，.

由已知，，可知，所以，

所以，，故C项错误；

对于D项，因为，，，所以，

所以，.

又，所以，故D项正确.

故选：ABD.

12．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．若函数为偶函数，则

B．若时，且在上单调，则

C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则

D．若函数在上至少有两个最大值点，则

【答案】BD

【分析】由已知求出的表达式，代入即可判断A；求出的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B项；先解，然后得出相邻交点最小的距离为，最大距离为.结合已知列出的不等式，求解即可判断C项；由已知可推出，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出的取值范围，进而判断D项.

【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，

则，故A项错误；

对于B项，时，，

因为，所以，

因为在上单调，所以有，解得，故B项正确；

对于C项，由题意，则，或，

则或，

所以，相邻交点最小的距离为，最大距离为.

由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不大于，

所以，，且，

所以，，故C项错误；

对于D项，，

故，所以，所以.

因为，所以.

由于，所以，

则①，解得；

②，解得；

③，解得.

④当时，，满足在上至少有两个最大值点.

综上所述，.

故选：BD

【点睛】思路点睛：D项，先化简函数表达式，进而根据已知得出的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出的取值范围.

三、填空题

13．幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.

【答案】

【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.

【详解】因为幂函数的图象过点，

所以，解得，

即，当时，，

所以函数恒过定点.

故答案为：

14．若，则___________.

【答案】

【分析】因为，根据诱导公式可得，然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，.

故答案为：.

15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则___________.

【答案】

【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.

【详解】由题意周期秒，所以角速度（rad/s），

当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，如图，

此时，

因为水车半径米，水车中心离水面距离米,

所以，，

所以P到水面距离，

即，

故答案为：

16．定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.

【详解】由当时，，可得的图象在该区间内关于直线对称；

由当时，，可得的图象在该区间内关于点对称.

结合已知条件，作出函数的部分图象如下图

由图象可设，且时，都有，且.

设，则，.

因为，当时，，所以，.

当时，，所以.

又函数满足，

所以，，

所以，.

令，解得，即.

所以，.

故答案为：

四、解答题

17．已知关于的方程，.

(1)当时，在复数范围内求方程的解；

(2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案；

（2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案.

【详解】（1）当时，方程为，

配方可得，，

两边开方可得，，

所以，方程的解为.

（2）要使方程有虚根，则，

所以，所以.

又，所以，

所以，.

18．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）．

（1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域；

（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．

【答案】（1）S＝102－－x，定义域为[5，20]；（2）当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．

【分析】（1）由已知得到AD＝，进一步得到EF,FG的长度用x表示，即可得到S；

（2）利用基本不等式即可求得最大值.

【详解】解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1，

所以S＝(x－2)(－1)＝102－－x，

因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20，

所以S＝102－－x，定义域为[5，20]．

（2）S＝102－－x≤102－2＝102－20，

当且仅当x＝10∈[5，20]时取等号，

答：当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．

19．如图，在四边形ACBD中，AB与CD交于点M，且.

(1)若，，求，的值；

(2)若，，，，求，满足的等量关系.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知条件可推得，，进而得出.根据，即可得出的值；

（2）根据数量积公式，求出.进而求出，又根据数量积公式有，即可得出.同理可得出，联立即可得出关系式.

【详解】（1）由已知可得，.

又，所以.

所以，.

又，所以.

又，所以，.

（2）由已知可得，，

则，

则.

则，

又,

所以，，则.

.

又，

所以，.

所以，有，

整理可得，.

20．函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为.

(1)求的解析式；

(2)将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出，再由过点求出，代入求A，即可得出函数解析式；

（2）根据图象平移得出解析式，利用三角恒等变换化简，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.

【详解】（1）由图象过与知为函数的对称轴，

所以，即，

所以，

又函数图象经过，所以，即，

又，所以，

因为图象过点，所以，解得，

所以函数解析式为.

（2）的图象向左平移个单位长度可得，

得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到，

所以

，

当，即时，有最大值，

此时.

21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.

(1)求的大小；

(2)若，，求BC的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得，然后根据余弦定理即可求得，进而根据角的范围，即可得出答案；

（2）在以及中，分别根据余弦定理，结合，整理化简可得.在中，根据余弦定理推出.联立两个方程，即可得出答案.

【详解】（1）由正弦定理以及已知可得，，

整理可得，.

由余弦定理可得，.

又，所以.

（2）

在中，由余弦定理可得，.

在中，由余弦定理可得，.

又，所以，

即，整理可得.

因为，

在中，由余弦定理可得，，

即，

整理可得，.

联立可得.

所以，.

22．已知是定义在上的奇函数，.

(1)若时，的最大值为2，求的值；

(2)设直线，与函数的图象分别交于A，B两点，直线，与函数的图象分别交于C，D两点，若存在，且，使得，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据，求出，然后代入函数验证奇偶性.化简得到，结合的单调性，根据与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；

（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出.令，代入整理可得，令换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出的取值范围.

【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以，

即，所以.

当时，，，

因此，为奇函数.

所以，.

当时，单调递增，

若，则恒成立，不符合题意；

若，则单调递增，此时，所以；

若，则单调递减，此时，所以.

综上所述，或.

（2）由题意可得，，，，，

则，.

由可知，，

即，

设，

由题意可得，存在，使得.

.

令，该函数关于单调递增，且时，.

设，由题意可知在上不单调，

当时，不符合题意；

当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

因此，解得.