2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题含解析

  长郡中学2023年上学期高一期中考试

数学

命题人：饶金伟  审题人：李典芳

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ）

A. B. C. D.

2.定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

★3.与向量垂直的单位向量为（    ）

A.  B.或

C.  D.或

★4.一个球的外切正方体的表面积等于，则此球的体积为（    ）

A. B. C. D.

5.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（    ）

A.3 B. C. D.6

6.下列命题正确的为（    ）

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；

②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；

③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

④已知a，b，c为三条直线，若，，则.

A.①③ B.②③ C.②④ D.①②

★7.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（    ）

A.若为纯虚数，则 B.若，则

C.若，则的最大值为2 D.

★10.关于直线，与平面，，下列命题正确的是（    ）

A.若，，且，则

B.若，，且，则

C.若，，且，则

D.若，，且，则

11.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（    ）

A.  B.与所成的角为60°

C.与是异面直线 D.平面

12.已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（    ）

A.可能有5个不同的值

B.若，则与无关

C.若，则

D.若，，则与的夹角为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

★13.如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是______.

14.已知向量，，则向量的模的最大值是______.

★15.在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，，，，，则点直角坐标为______.

16.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知复数，，其中是实数.

（1）若，求实数的值；

（2）若是纯虚数，是正实数，求.

18.（12分）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.

（1）求两点间的距离；

（2）求大楼的高度.

19.（12分）已知在直角三角形中，，，.

（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积；

（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.

20.（12分）在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.

（1）若，求的面积；

（2）记边的中点为，求的最大值，并说明理由.

21.（12分）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，.

（1）若是的外心，求、的值；

（2）如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.

22.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

长郡中学2023年上学期高一期中考试

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.D  【解析】若向量与向量共线，

则存在实数，使，∴，∴解得.

2.C  【解析】设复数的平方根为，则，

化简得，所以，，解得，或，，

即复数的平方根为或.

5.C  【解析】由正弦定理得，外接圆直径为，得.

设球心到平面的距离为，则.

∴三棱锥的外接球半径为.

6.D  【解析】对于①，设平面平面，因为，平面，

所以，同理，，故、、三点共线，①正确；

对于②，因为，所以，可以确定一个平面，

因为，，，，所以，所以，又，

所以，因为，所以或，又，

所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；

对于③，直线、异面，、异面，则，可能平行、相交或异面，所以③错误；

对于④，，，则，可能平行、相交或异面，所以④错误.

7.A  【解析】即为向量与的夹角，设，，且，则，，所以，，

所以，故.

8.B  【解析】在中，由正弦定理，

，

∴.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.BCD  【解析】对于A，为纯虚数，所以即，所以A错误；

对于B，，因为，所以，从而，所以B正确；

对于C，由复数模的三角不等式可得，所以C正确；

对于D，，所以D正确.

11.ACD  【解析】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：

，，故，A正确，B错误；

与是异面直线，C正确；

平面平面，平面，平面，D正确.故选ACD.

12.BC  【解析】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有0个、有1个、有2个，记，分别得的取值为：，，，则至多有3个不同的值，A错误；

若，则，此时，，，又，为非零向量，则，与无关，B对；

若，则，

，，则，C对；

若，则，，，

∵，，

∴，解得，∴，D错误.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

14.  【解析】∵，

则，

当时，有最大值，且为.

15.

16.  【解析】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，，故四边形为平行四边形，进而，

又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.

设，则.，.

从而，，

，，

故，

故异面直线与所成角的余弦值是.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】（1）∵，，，

∴，从而解得；……（5分）

（2）依题意得：

，

因为是纯虚数，所以从而或；……（7分）

又因为是正实数，所以.

当时，，……（8分）

因为，，，，…，，，，，，

所以

，

所以.……（10分）

18.【解析】（1）因为，

在中，因为，，

所以；……（6分）

（2）在中，因为，，

所以，

又因为，

所以.……（12分）

19.【解析】（1）在直角三角形中，由，，

即，得，若以为轴旋转一周，

形成的几何体为以为半径，高的圆锥，

则，其表面积为；……（6分）

（2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的距离最短，则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离，，

在中，由余弦定理得.……（12分）

20.【解析】（1）在中，，

∴，

则由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，，则，

∵，∴，

∴，

∴，

∵，∴，即，

当时，为正三角形，，∴；……（6分）

（2）由余弦定理可知：，∵，，∴，

∵边的中点为，∴，

∴，

∴，又∵，∴，∴，

∴，∴，当且仅当时，等号成立，

故的最大值为.……（12分）

21.【解析】（1）设的中点为，显然，

，

由，

设的中点为，显然，

，

由，

即，；……（6分）

（2）因为是的平分线上某点，

所以，所以由，，

由，当且仅当时取等号，即时取等号，此时，，

所以，

所以.……（12分）

22.【解析】（1）∵平面，平面，∴，

∵在荾形中，，且，、平面，

∴平面，∵平面，∴平面平面；……（6分）

（2）连接，则平面平面，

由（1）知平面，则，，，

故是二面角的平面角.

∵，，、平面，

∴平面，∴.

在荾形中，，，则是等边三角形，

则易知，又，∴，

故，

∴，即二面角的余弦值为.……（12分）